2016年江苏理科数学高考试题(含解析).docx

2016年江苏数学高考试题数学试题参考公式圆柱的体积公式：V =Sh，其中 S是圆柱的底面积，h为高。圆柱1圆锥的体积公式：VSh，其中 S是圆锥的底面积，h为高。3圆锥一、填空题：本大题共 14个小题,每小题 5分,共 70分.请把答案写在答题卡相应位置上。1.已知集合 =-1,2,3,6, = | -2 < < 3, 则A B= _.2.复数 = (1+ 2i)(3 - i), 其中 i为虚数单位，则 z的实部是_.ABxxzx2y23.在平面直角坐标系 xOy中，双曲线-=1的焦距是_.734.已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是_.3-2x -x25.函数 y=的定义域是.6.如图是一个算法的流程图，则输出的 a的值是.7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷 2次，则出现向上的点数之和小于 10的概率是8.已知a是等差数列，S 是其前 n项和.若 a+a =- 3，S =10，则 a 的值是.2nn12599.定义在区间0,3上的函数 y=sin2x的图象与 y=cosx的图象的交点个数是.10.如图，在平面直角坐标系 xOy中，F是椭圆 x2 y2b+=1(ab0)的右焦点，直线 y=与椭圆交于 B，2a2b2C两点，且ÐBFC = 90,则该椭圆的离心率是.1 (第 10 题)ìx + a,-1£ x < 0,ï(x) =aÎR .若11.设 f（x）是定义在R 上且周期为 2 的函数，在区间 1,1)上， fí25其中- x ,0 £ x <1,ïî59f (- ) = f ( ) ，则 f（5a）的值是.22ìx -2y + 4 ³ 0ï2x + y - 2 ³ 03x - y -3 £ 012. 已知实数 x，y 满足 í，则 x +y 的取值范围是.22ïî13.如图，在ABC中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分点，BC ×CA = 4，BF ×CF = -1，则 BE CE×的值是.14.在锐角三角形 ABC 中，若 sinA=2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最小值是.二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分 14 分）4在ABC中，AC=6，cos = ， = .B C54（1）求 AB 的长；（2）求cos( - )的值.A62 16.(本小题满分 14 分) A F A B.如图，在直三棱柱 ABC-A B C 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B B 上 ，且 B D，AC111111111 1求证：（1）直线 DE平面 A C F；11（2）平面 B DE平面 A C1F.1117.（本小题满分 14 分）- A B C D现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥 P，下部分的形状是正1111- A B C DPO四棱柱 ABCD(如图所示)，并要求正四棱柱的高的四倍.11111= 6m,PO = 2m,若 AB则仓库的容积是多少？1(1) 若正四棱柱的侧棱长为 6m,则当 PO 为多少时，仓库的容积最大？13 18. （本小题满分 16 分）x2+ y -12x -14y + 60 = 02如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆 M:及其上一点 A(2，4)(1) 设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x=6 上，求圆 N 的标准方程；(2) 设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B、C 两点，且 BC=OA,求直线 l 的方程；TA +TP =TQ,(3) 设点 T（t,o）满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q,使得,求实数 t 的取值范围。4 （本小题满分 16 分）19.f (x) = a + b (a > 0,b > 0,a ¹ 1,b ¹ 1)xx.已知函数12（1） 设 a=2,b= .f (x) =2 的根; 求方程f(2x) ³ mf(x) -6Î R若对任意 x,不等式恒成立，求实数 m 的最大值；( ) ( )g x = f x - 2（2）若0 < a <1,b1，函数有且只有 1 个零点，求 ab 的值。20.（本小题满分 16 分）( ) = 1,2,，100= 0 T = t ,t ,，t记UÎ.对数列 a n N* 和U 的子集 T，若T= Æ,定义 S;若，12knT( ) Î= 1,3,66a a a .现设 a n N* 是公比为 3 的等+= a + a +a .例如：T= +定义 S时， STt1t2tT1366nk = 2,4=30比数列，且当T时， S.T 求数列 a 的通项公式；n()T Í1,2,，kk 1£ k £100S< a；(1) 对任意正整数，若，求证：Tk +1Í U , D Í U ,S ³ SS + SC³ 2SD .D（3）设C,求证：CDC5 数学（附加题）21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做， 则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A【选修 41 几何证明选讲】（本小题满分 10 分）如图，在ABC 中，ABC=90°，BDAC，D 为垂足，E 是 BC 的中点，求证：EDC=ABD.B.【选修 42：矩阵与变换】（本小题满分 10 分）é1ùé1 2ù1 -êêëú已知矩阵 A =, 矩阵 B 的逆矩阵=2 ，求矩阵 AB.B-1êú0 - 2úûëû02C.【选修 44：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）1ìx =1+ tï在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为ï2（t 为参数），椭圆 C 的参数方程í3ïy =tïî2ìx =cosq,为（q 为参数）.设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长.íîy = 2sinqaaD.设 a0，|x-1| ，|y-2| ，求证：|2x+y-4|a.33【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分. 请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字6 说明、证明过程或演算步骤22. （本小题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：x-y-2=0，抛物线 C：y =2px(p20).（1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；（2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q.求证：线段 PQ 的中点坐标为（2-p，-p）；求 p 的取值范围.23.（本小题满分 10 分）7C 4C（1）求的值；3476（2）设 m，n N ，nm，求证：*（m+1）C +（m+2）C +（m+3）C +nC +（n+1）C =（m+1）Cmmmmmm+2.m+1m+2n1nn+2m7 参考版解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上已知集合 A = -1,2,3,6 ， B = x | -2 < x < 3 ，则=A B -1,2 ； i.由交集的定义可得 A B = -1,2 ( )( )复数 z = 1+ 2i 3 - i ，其中i 为虚数单位，则 的实部是z5；ii.由复数乘法可得 z = 5 + 5i ，则则 的实部是 5zx2y2在平面直角坐标系中，双曲线-=1的焦距是xOy732 10 ；iii.c = a + b = 10 ，因此焦距为2c = 2 10 22已知一组数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是0.1；()1iv.x = 5.1， = 0.4 + 0.3 + 0 + 0.3 + 0.4 = 0.1s2222225函数 y = 3 - 2x - x2 的定义域是 -3,1 ； x3- 2x - x20，解得 -3 1，因此定义域为 -3,1 v.如图是一个算法的流程图，则输出 的值是a8 b¬b-2a¬a+4NY输出a结束9；vi.a,b 的变化如下表：195795ab则输出时 = 9 a将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6 个点为正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是5；6( )vii.将先后两次点数记为 x, y ，则共有6´6 = 36 个等可能基本事件，其中点数之和大于等于 10 有30 5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4,6 , 5,5 , 5,6 , 6,4 , 6,5 , 6,6 六种，则点数之和小于 10 共有 30 种，概率为 = 36 6 已知 a 是等差数列， 是其前 项和若a + a = -3 ， S =10 ，则 a 的值是Sn221n59n20；()viii.设公差为d ，则由题意可得a + a + d = -3 ，5a +10d =10 ，2111解得 a = -4 ， d = 3，则 a = -4 + 8´ 3 = 20 19 定义在区间 0,3上的函数 y = sin 2x 的图象与 y = cosx 的图象的交点个数是7；ix.画出函数图象草图，共 7 个交点9 y1xO-1x22y22()b如图，在平面直角坐标系中， 是椭圆F+=1 > > 0 的右焦点，直线 = 与椭圆交于 , 两xOya byB C2ab点，且ÐBFC = 90° ，则该椭圆的离心率是yBCxOF6；3æ3öæ 3ö( )ba ba bx.由题意得 F c,0 ，直线 = 与椭圆方程联立可得-,，,，yBç÷ C ç÷ç÷ç÷22 22 2èøèøæçè3öæa b3 öa b由 ÐBFC = 90° 可得 BF ×CF = 0 ，BF çc +=,- ÷ CF = çc -，,- ÷，÷ç÷2222øèø3414312c236则 -+= 0 ，由b = a - c 可得=，则e = =c2a2b2222c2a243aìx + a, -1£ x < 0,ï( ) ( )设 f x 是定义在 上且周期为 2 的函数，在区间 -1,1 上 f x = 2Rí- x , 0 £ x <1,ï5î59æöæ ö( )其中 Î ，若 f - = f，则 f 5a 的值是a Rç÷ç ÷22è øèø2- ；5511912 1= - =1æöæöæ öæ öxi.由题意得 f - = f - = - + a ， f= f，ç÷ç÷ç ÷ç ÷2222è ø2è ø5 2 10èøèø529æ ö113æö÷ø由 f -= f可得 - + = ，则 = ，aaçç ÷2è ø2105è10 32( ) ( ) ( )则 5 = 3 = -1 = -1+ = -1+ = - f affa55ìx -2y + 4 ³ 0,ï已知实数 x, y 满足 2x + y - 2 ³ 0, 则 x + y 的取值范围是í22ï3x - y - 3 £ 0,îé4êù,13 ；úû5ëxii.在平面直角坐标系中画出可行域如下y43B21Ax4 3 2 11 2 3 41234x2+ y 为可行域内的点到原点距离的平方2可以看出图中 点距离原点最近，此时距离为原点 到直线 2 + - 2 = 0的距离，AAx y-2( )2 22 554= ，5d =，则 x+ y4 +1min( )图中 B 点距离原点最远，B 点为 x - 2y + 4 = 0与3x - y - 3 = 0 交点，则 B 2,3 ，( )则+=13 x2y2max如图，在 ABC 中， 是 BC 的中点， E,F 是上两个三等分点，BA×CA = 4， BF ×CF = -1，ADDA则 BE ×CE 的值是7；8BCDxiii.令 DF = a ， DB = b ，则 DC = -b ， DE = 2a ， DA = 3a ，则 BA = 3a - b ，CA = 3a + b ， BE = 2a - b ，CE = 2a + b ， BF = a - b ，CF = a + b ，11 则 BA×CA = 9a2- b2， BF ×CF = a2- b2， BE ×CE = 4a2- b ，25138由 BA×CA = 4， BF ×CF = -1可得9a2- b2= 4 ， a2- b2= -1，因此a2 = ,b2=，84´5 13 7= 8 8因此BE CE×= 42- =a b2-8在锐角三角形中，sin = 2sin sin ，则 tan tan tan 的最小值是ABCAB CABC8；( ) ()xiv.由sin A = sin - A = sin B + C = sin BcosC + cos BsinC ，sin = 2sin sin ，AB C可得sin cos + cos sin = 2sin sin （*），BCB C为锐角三角形，则cos > 0,cos > 0 ，B C由三角形ABCBC在（*）式两侧同时除以cos cos 可得 tan + tan =2tan tan ，BCBCBCtan B + tanC( )( )B C又 tan = -tan - = -tan + = -(#)，AA1- tan BtanCtan B + tanC则 tan tan tan = -´ tan tan ，ABCBC1- tan BtanC()22 tan B tanC由 tan + tan = 2tan tan 可得 tan tan tan = -，BCBCABC1- tan B tanC令 tan BtanC = t ，由 A,B,C 为锐角可得tan A > 0,tan B > 0,tan C > 0 ，由(#)得1- tan tan < 0，解得 >1BCt2t22tan Atan B tanC = -= -，1 11- t-t2t1 1 1 111 11æçö÷2- =- ，由 >1则 0 > - ³ - ，因此 tan tan tan 最小值为8，tABCt è t 2 ø44t2tt2当且仅当t = 2 时取到等号，此时tan B + tanC = 4 ， tan BtanC = 2 ，解得 tan = 2 + 2, tan = 2 - 2, tan = 4 （或 tan B,tan C 互换），此时 A,B,C 均为锐角BCA二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本小题满分 14 分）12 4在ABC 中，= 6 ，cos = ， = B CAC54 求的长；ABæçèö÷ø 求cos-的值A67 2 - 65 2 ；2041.cos = ， 为三角形的内角BB53sin B =5ABAC=sinC sin BAB 6= ，即：AB= 5 2 ；3252()a) cos A = -cos C + B = sin BsinC - cos BcosC2cos A = -10又A为三角形的内角7 2sin A =10317 2 - 6æö÷øcos A -=cos A + sin A =ç62220è（本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱ABC A B C-中， D,E 分别为 AB,BC 的中点，点 在侧棱上，FB B1111C且B D A F，A B1 1AC11111AB11求证： 直线 DE /平面 AC F ；11 平面 B DE 平面 AC F 111FB见解析；CE2.D,E 为中点，DE 为 DABC 的中位线DE/ACAD13 又ABC A B C-为棱柱，/AC AC11111DE/AC ，又AC Ì平面AC F1 1，且 ËDE AC F111111DE/ 平面 AC F ；11a)ABC A B C-为直棱柱， 平面AAA B C1111111 AA AC ，又 AC A B111111 1且= ，AA A B,Ì 平面AA A B1A1AA B B1 111111 AC 平面 AA B B ，111 1又又又DE/AC ，DE 平面，AA B B1 111A F1Ì 平面AA B BDE A F111，A F B D DE B D D= ，且DE B D B DEÌ 平面,11111 A F 平面 B DE ，又 A F Ì AC F11111平面 B DE 平面 AC F 111（本小题满分 14 分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P - A B C D ，下部分的形状是正四1111棱柱 ABCD - A B C D （如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的 4 倍POO O111111P 若 AB = 6 m ， PO = 2 m ，则仓库的容积是多少；DC111O1 若正四棱锥的侧棱长为6 m ，当312 m3； 2 3 m ；为多少时，仓库的容积最大？ABPO111DCOAB3.PO = 2 m ，则OO = 8 m ，111= S31× PO = ´6´ 2 = 24 m，V=S×OO = 6 ´8 = 288 m ，V23233P- A B C DABCD1ABCD- A B C DABCD111111 1 1 1V =V+V= 312 m ，3P- A B C DABCD- A B C D11111 1 1 1故仓库的容积为312 m3；14 a) 设= m ，仓库的容积为 ( )PO x V x1则= 4 m ， AO = 36 - x m ， A B = 2 × 36 - x m ，OOx221111 1( )()1= S3112= 24x - x32V× PO = ´ 72 - 2x2´ x = 72x - 2x33m ，333P- A B C DABCD111 1 1( )2V=S×OO = 72 - 2x2´ 4x = 288x - 8x m ，3 3ABCD- A B C DABCD111 1 12263( )V x =V()，+V= 24x - x+ 288x - 8x= -x+ 312x 0 < x < 63333P- A B C DABCD- A B C D11111 1 1 1( )( )()，V ' x = -26x2 + 312 = -26 x2 -12 0 < x < 6( )( )( )当 Î 0,2 3 时，V ' x > 0 ，V x 单调递增，x( )( )( )当 Î 2 3,6 时，V ' x < 0 ，V x 单调递减，x( )因此，当 x = 2 3 时，V x 取到最大值，即 PO = 2 3 m 时，仓库的容积最大1（本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 为圆心的圆 ： x + y -12x -14y + 60 = 0MM22( )及其上一点 A 2,4 设圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 = 6 上，求圆 的标准方程；NxMNxN 设平行于OA的直线l 与圆 相交于 B,C 两点，且 BC = OA，求直线l 的方程；M( ) 设点T t,0 满足：存在圆 上的两点 P 和Q ，使得TA + TP = TQ ，求实数t 的取值范围My( ) ( )2x + 5或 y = 2x -15 é2 - 2 21,2 + 2 21ù ；M x - 6 + y -1 =1 y =22ëû( )A4.因为 N 在直线 x = 6 上，设 N 6,n ，因为与 轴相切，x( ) ( )Ox则圆 N 为 x - 6 + y - n = n ， n > 0222( ) ( )又圆 N 与圆 外切，圆 ： x - 6 + x - 7 = 25 ，MM22( ) ( )则 7 - n = n + 5 ，解得n =1，即圆 N 的标准方程为 x - 6 + y -1 =1；22a) 由题意得OA = 2 5 ， k = 2 设l : y = 2x + b ，则圆心 到直线l 的距离MOA15 12 - 7 + b5 + bd =,52 +12( )( )5 + b5 + b22则 BC = 2 5 - d = 2 25 -， = 2 5 ，即 2 25 -BC= 2 5 ，2255解得 = 5或 = -15 ，即 ： = 2 + 5 或 = 2 -15 ；bblyxyxi.TA + TP = TQ ，即TA = TQ - TP = PQ ，即TA PQ=，( )TA = t - 2+ 4，22又10 ,PQ( )即 t - 2+ 4 10，解得 Î é2 - 2 21,2 2 21ù，+2t2ëûé2 2 21,2 2 21ù对于任意 Î -+，欲使TA = PQ ，tëû2TA此时£10 ，只需要作直线TA 的平行线，使圆心到直线的距离为 25 -，TA4必然与圆交于 、 两点，此时P QTA PQ=，即TA = PQ ，é2 2 21,2 2 21ù因此对于任意 Î -+，均满足题意，tëûé2 2 21,2 2 21ù综上 Î -+tëû（本小题满分 14 分）( )(x)已知函数 f x = a + b a > 0,b > 0,a ¹ 1,b ¹ 1 x1 设 a = 2 ， = b2( ) 求方程 f x = 2 的根；( )( ) 若对于任意 xÎR ，不等式 f 2x mf x - 6 恒成立，求实数 的最大值；m( ) ( ) 若0 < a <1，b >1，函数 g x = f x - 2 有且只有 1 个零点，求ab的值 x = 0 ； 4 ；1；11æ ö( )x( )5. f x = 2 +，由 f x = 2 可得 2 += 2，xç ÷x2è ø2x16 ( )( )则 22- 2´ 2 +1= 0 ，即 2 -12= 0 ，则 2 =1， = 0 ；xxxxx11æö÷ø 由题意得2 + m 2 +- 6 恒成立，2xçx22x2xè11令 = 2 + ，则由2 > 0可得 2 2 ´= 2 ，ttxxx2x2xt2+ 44此时t - 2mt - 6 恒成立，即 = + 恒成立2mttt44 2 时 + 2 × = 4，当且仅当 = 2 时等号成立，tttttt因此实数 的最大值为4 mélnaùxæ öb( ) ( )( )g x = f x - 2 = a + b - 2 ， '= ln + ln = ln+，úç ÷g x a a b b a bêxxxxxlnbaè øêëúûx lnb( ) æ b öa( )，则 h x 递增，由 0 < <1， >1可得 >1，令 h x =+abç ÷lnbaè a øln alnbæö ( )而 lna < 0,ln b > 0 ，因此 = log -时 h x = 0 ，x0ç÷èø0ba()( )( )因此 xÎ -¥, x 时， h x < 0 ， a lnb > 0 ，则 g ' x < 0 ；x0()( )( )xÎ x ,+¥ 时， h x > 0 ， a lnb > 0 ，则 g ' x > 0 ；x0( ) ()()( )( )则 g x 在 -¥, x 递减， x ,+¥ 递增，因此 g x 最小值为 g x ，000( )( ) 若 g x < 0， x < log 2时， a > a= 2，b > 0，则 g x > 0 ；log 2xax0a( )x > log 2 时， a > 0 ，b > blog 2 = 2，则 g x > 0 ；xxbb( )( ) ( )因此 x < log 2 且 x < x 时， g x > 0 ，因此 g x 在 x , x 有零点，1a10110( )( ) ( )x > l o g 且2 x > x 时， g x > 0 ，因此 g x 在 x , x 有零点，2b20202( )则 g x 至少有两个零点，与条件矛盾；( )( )( )( ) 若 g x ³ 0，由函数 g x 有且只有 1 个零点， g x 最小值为 g x ，00( )可得 g x = 0，0( )由 g 0 = a + b - 2 = 0 ，00因此 x = 0 ，017 ln alnblnaæö÷ø因此log -= 0 ，即 -=1 ，即ln + ln = 0，abçlnbèba( )因此ln ab = 0 ，则 =1ab（本小题满分 14 分） 记 = 1,2, ,100 对数列 a （ ÎN ）和 的子集 ，若 = Æ ，定义 = 0 ；Un*UTTSnT若T = t ,t , ,t ，定义 S = a + a + + a 例如： = 1,3,66 时， = + +TSa a a12kTt1tt1366T2k 现设 a （ ÎN ）是公比为3的等比数列，且当 = 2,4 时， = 30 n*TSnT 求数列 a 的通项公式；n 对任意正整数k （1k 100），若 Í 1,2, , ，求证： <；TkSak+1T 设C ÍU ， D ÍU ， ，求证： S + S 2S DSSCDCCD a = 3 ；详见解析；n-1na 6.当 = 2,4 时， = + = + 9 = 30 ，因此 = 3，从而 = =1， a = 3 ；a aTSa2a2aa12n-1T2423n3 -1ka)a a + +=1+ 3+ 3 + + 3 =< 3 =；Sa21ak +1k-k2T12k()()i. 设 A = ð C D ， B = ð C D ，则 A B = Æ ， S = S + S ， S = S + S，CDCAC D