高考数学创新型试题的背景.docx

高考数学创新型试题的背景一、教材背景()求出满足等式3n+4n+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n。点评:()中的不等式就是著名的贝努利不等式,它是以前人教社教材上的一个例题,2003年4月教育部颁布的普通高中数学课程标准(实验)(以下简称标准),已将它安排在选修系列4第5专题“不等式选讲”除以(n+3)n,再利用第()问的结论,并排除n不小于6的情况,问题便可解决。本题第()问可看成源于教材(或课程标准),第()问需要利用()的结论,第()问要利用()的结论,三个问题逐步深入,其解题的主要方法是“套公式”。从本质上讲,这个让考生感到很难的压轴题可以归结为用教材的知识和方法来解决。二、高等数学背景高等数学的一些基本思想和基本问题为设计创新型试题提供了广阔而又深刻的背景,这是因为高等数学为背景试题能有效考查学生学习的潜能。许多高考创新型试题都有比较深刻的高等数学背景,这类题目立意深远、形式新颖,在平常教学中很少碰到,考生遇到这类题目,会感到难以入手,一般需要自主学习和分析新的材料,并对新的数学信息进行迁移,才能解决问题。例2(2006年全国卷理科第21题)已知函数f()=对任意的实数(0,1)恒有f()>1,求a的取值范围。点评:本题()小题含有拉格朗日中值定理的背景。例3(2022年福建卷理科第16题)设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a,bP都有a+b、a-b、ab、P(除数b0),则称P是一个数域。例如有理数集Q是数域;数集F=a+a,bQ也是数域,有下列命题:整数集是数域;若有理数集Q哿M,则数集M必为数域;数域必为无限集;存在无穷多个数域。其中正确的命题的序号是_。(把你认为正确的命题的序号填上)点评:本题以近世代数中“域”的概念为背景,可谓背景深刻,能有效考查思维的抽象性、深刻性、发散性和创造性。例4(2006年广东卷理科第20题)A是定义在2,4上且满足如下条件的函数渍()组成的集合:对任意的(1,2),都有渍(2)(1,2);存在常数l(0例5(2005年全国卷I理科第22题)()设函数f()=log2+(1-)log2(1-)(0()设正数P1,P2,P3,P2n满足P1+P2+P3+P2n,证明P1log2P1+P2log2P2+P3log2P3+P2nlog2P2n-n。点评:本题是以函数g()=log2凹凸性为背景设计的。第()问特别难,它含有琴生不等式的背景。两个问题若用琴生不等式来解可在几步内完成。以函数的凹凸性为背景的试题比较多,比如2004年全国卷理科第22题,2006年全国卷理科第20题,2006年四川卷理科第22题等。以高等数学为背景的试题很多,几乎在每年的各套试卷中都可找到。需要指出的是,不宜将高等数学的一些定理和背景知识作为教学的补充内容,因为这样做既会加重学生学习的负担,也与高考考查创新型试题的初衷相悖。三、实际生活背景例6(2022年江西卷理科第11题)一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”,封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”,下面四个平面区域(阴影部分)的周率从左到右依次记为r1,r2,r3,r4,则下列关系中正确的为()。(A)r1>r4>r3(B)r3>r1>r2(C)r4>r2>r3(D)r3>r4>r1四、新课程背景最近几年,一些创新型试题命制的价值取向是重视新课程的背景,体现标准的精神,出现了不少以新课程为背景的新题好题。如2022年全国卷理科的第10题涉及选修4-5“不等式选讲”中的柯西不等式的背景;全国卷理科的第16题涉及选修1-2“推理与证明”中的类比推理;北京卷理科第14题涉及选修3-2“信息安全与密码”的数论函数(高斯函数)、选修4-3“数列与差分”的差分方程组;重庆卷理科的第22题和湖北卷理科的第15题都有选修1-2“推理与证明”中的归纳推理(猜想)的背景;湖南卷理科的第10题涉及“新定义”的自主学习与主动探究,江西卷理科的第16题也涉及主动探究;陕西卷理科的第12题涉及到选修3-2的信息安全与密码。又如2022年全国卷理科的第22题考查了考生动手画图的技能(已多年未考);全国卷理科的第10题以高中选修课的选课为背景考查排列组合,第12题要将正方体的平面展开图通过折叠还原为正方体,考查学生的实际操作能力;北京卷理科第8、20题通过阅读理解、信息迁移考查学生分析问题和解决问题的能力;湖北卷理科的第8、12、13等题通过“家电下乡”、“直方图”、“中星九号卫星覆盖区域”等情境考查了考生的数学应用意识,第10题以古埃及的数学为背景考查了选修1-2“推理与证明”中的归纳推理(猜想);四川卷理科第16题,上海卷理科第22题,湖南卷理科第8、21题的涉及“新定义”的自主学习与主动探究;江西卷理科第11题、四川卷文科第5题(黄金矩形)涉及“数学文化”,江西卷理科第17、22题体现了数学的结构美;上海卷理科第20题(文科第21题)以学习心理学的理论为背景,考查了分析问题、解决问题以及应用电子计算器进行近似计算的能力;海南(宁夏)卷理科第17题要求考生设计一个方案(包括指出需要测量的数据,用文字和公式写出计算两点距离的步骤),体现了数学建模思想,有效考查了分析问题和解决问题的能力,等等。这些创新型试题立意鲜明、设计巧妙、影响深远,它们充分体现了新课程理念,对高中数学教师认真学习和研究标准以及实施高中数学课程起到了很好的导向作用。当然,课改实验区的试卷如广东卷、海南(宁夏)卷、山东卷、江苏卷等更加充分地体现了新课程理念,值得认真研究。五、竞赛数学背景设计以竞赛数学为背景的试题,对绝大多数未参加竞赛培训的考生是不公平的,因此,高考命题不宜以竞赛数学为背景设计试题。如果真想设计以竞赛数学为背景的试题,那么需要设计一些“梯子”(必要的提示),让考生有梯可攀,这样就可消除竞赛味,体现高考公平。例7(2007年四川卷理科第21题)已知函数f()=2-4,设曲线y=f()在点(n,f(n)处的切线与轴的交点为(n+1,0)(N),其中1为正实数。()用n表示n+1;()求证:对一切正整数n,n+1n的充要条件是12;()若1=2,记an=lg,证明数列an成等比数列,并求数列n的通项公式。点评:本题考查了递推数列,暗含了高等数学中不动点的思想,第()问巧妙设计了一个辅助数列,好比给考生一个梯子,使考生有梯可攀,非常巧妙地利用了竞赛题的背景但又没有竞赛味,这样设计对参不参加数学竞赛培训的考生都是公平的。六、数学文化背景例8(2007年北京卷文理科第13题)2002年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的。弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)。如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为,那么co2的值等于。点评:本题以数学史中我国古代数学家赵爽的弦图为背景,考查三角变换公式和平面几何的有关知识。此题的难度虽不大,但试题的背景材料非常新颖,展示了数学文化的魅力。试题以2002年8月在北京召开的国际数学家大会为背景,大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的。体现了古代数学家智慧与当代数学家成就的融合。赵爽是我国古代(三国时期)著名的数学家,赵爽的弦图是他在勾股方圆图注中,为证明勾股定理所创造的图形。这个美妙的弦图被2002年国际数学家大会作为会徽,表达了当代数学家对我国古代数学家赵爽的数学智慧的敬仰。赵爽利用他的弦图,通过大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个直角三角形的面积的计算,简洁明快地证明了著名的勾股定理(在西方又称毕达哥拉斯定理)。这种以我国古代数学史为背景的试题,使考生受到数学文化的教育,对于激发考生的民族自豪感,学习数学家的探索精神是有益的。