九年级数学上册24圆教案(新版)新人教版.pdf

精品教案可编辑第二十四章圆1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念,理解弧、弦、圆心角的关系,探索并了解点和圆的位置关系.2.探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.3.探索圆周角、圆心角及所对的弧的关系,理解并证明圆周角定理及其推论.4.了解直线和圆的位置关系,掌握切线的概念,探索切线与过切点的半径之间的关系,能判定一条直线是否为圆的切线.5.了解三角形的内心和外心,会利用基本作图方法作三角形的外接圆、内切圆.6.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系,会利用基本作图方法作圆的内接正方形和正六边形.7.会计算弧长、扇形的面积.1.积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动,了解概念,掌握定理及公式.2.通过探究活动中小组合作交流,培养学生合作意识.3.在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中,让学生体会分类讨论的数学思想和归纳的数学方法.4.通过平移、旋转等方式,认识直线与圆、圆与圆的位置关系,使学生明确图形在运动变化过程中的特点和规律,进一步发展学生的推理能力.5.探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义,提高学生计算能力和数学思维.1.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.3.结合相关图形性质的探索和证明,进一步培养推理能力及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.4.对学生进行辩证唯物主义世界观的教育.与三角形、四边形一样,圆也是基本的平面图形,也是“空间与图形”的主要研究对象,是人们生活中常见的图形.学生在前面学习了一些基本的直线型三角形、四边形等图形的基础上,进一步研究一个基本的曲线图形圆,对圆的概念和性质进行系统梳理,并结合一些图形性质的证明,进一步发展学生的逻辑思维能力.在小学学过圆的基础上,进一步学习研究圆的概念和性质,圆的许多性质比较集中地反映了事物内部量变与质变、一般与特殊、矛盾的对立统一等关系,把这种针对具体图形的结论和方法推广,能使学生实现由具体到抽象、由特殊到一般的认识上的飞跃,提高学生的思维能力,圆锥侧面积的计算还可以培养学生的空间观念,所以圆这一章在初中数学学习中占有重要地位.通过本章的学习,对学生今后继续学习数学,尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用.本章的学习是高中阶段圆锥曲线的学习基础.【重点】1.垂径定理及其推论的推导及应用.精品教案可编辑2.圆周角定理及其推论的推导及应用.3.切线的性质及判定、切线长定理的应用.4.正多边形的有关计算.5.弧长、扇形面积及圆锥的侧面积的相关计算.【难点】1.垂径定理及其推论的推导及应用.2.圆周角定理及其推论的推导及应用.3.圆锥的侧面展开图的理解.1.“圆”这部分内容处于学生初步掌握了推理论证方法的基础上进一步巩固和提高的阶段,不仅要求学生能熟练地用综合法证明命题,通过探索,展示推理过程,而且要求了解反证法.教学中要重视推理论证的教学,进一步提高学生的思维能力.另外,这部分内容涉及的图形很多是圆和直线型图形的组合,题目比较复杂,教学时多帮助学生复习有关直线型图形的知识,做到新旧结合,加强解题思路的分析,使学生学会把复杂问题化为简单问题,把一般问题化为特殊问题.2.圆是平面图形中一种基本图形,它是一种特殊的曲线,圆的许多性质是通过与圆有关的线段和角体现的.在教学中,要注意结合相关内容,体现这种研究圆的思路.圆是日常生活中应用较广的一种几何图形,这部分内容与实际生活联系紧密,所以应在教学中创设较多的生活情境问题,帮助学生从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题.3.本章涉及的数学思想方法较多,如分类讨论思想、建模思想、化归思想、数形结合思想、从特殊到一般的方法等,在教学中多给学生自主探究的机会,让学生体会这些思想方法在学习中的重要作用,同时提高学生分析问题和解决问题的能力.4.圆是一种特殊曲线,它有独特的对称性,不仅是轴对称图形、中心对称图形,而且还有旋转不变性,它的对称性在本章性质的探究活动及实际生活中应用广泛,所以在本章教学中,要重视利用圆的对称性进行证明和计算.24.1 圆的有关性质24.1.1 圆(1 课时)24.1.2 垂直于弦的直径(1 课时)24.1.3 弧、弦、圆心角(1 课时)24.1.4 圆周角(2 课时)5 课时24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系(1 课时)24.2.2 直线和圆的位置关系(2 课时)3 课时24.3 正多边形和圆1 课时24.4 弧长和扇形面积2 课时24.1圆的有关性质1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念.2.探索并证明垂径定理.3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系.4.理解并证明圆周角定理及其推论,并能应用其解决有关计算和证明.精品教案可编辑1.结合相关图形性质的探索和证明,进一步发展推理能力.2.在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中,让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学方法.3.结合相关图形性质的探索和证明,进一步培养综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.1.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作交流的良好学习习惯.【重点】1.垂径定理.2.圆心角、弦、弧之间的关系.3.圆周角定理.【难点】探索并证明圆的有关性质,并解决一些实际问题.24.1.1圆1.理解圆的定义,掌握弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧等基本概念.2.通过对圆的相关概念的理解,能够从图形中识别“弦、直径”、“弧、优弧、劣弧”、“半圆、等圆、等弧”.3.能应用圆的有关概念解决问题.1.通过观察生活中存在的大量的圆形,提高学生识图能力,体会数学与生活息息相关.2.通过探索圆的概念的过程,学会用猜想归纳的方法解决问题.1.经历动手实践、观察思考、分析概括的学习过程,养成自主探究、合作交流的良好习惯.2.引导学生对图形的观察、发现,激发学生的好奇心和求知欲.【重点】与圆有关的概念.【难点】理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等概念.【教师准备】多媒体课件16.【学生准备】预习教材 P7980.精品教案可编辑导入一:【课件 1】圆是常见的图形,生活中的许多物体都给我们以圆的形象(如图所示).过渡语 我们观察到的都是什么图形?圆是我们生活中常见的几何图形之一,它在几何中有重要地位.圆的有关知识,我们将在这一章中了解认识.导入二:思考并回答:1.你能举出生活中圆的哪些例子?2.为什么车轮都做成圆形?能不能做成正方形或长方形?3.如图所示,A,B表示车轮边缘上两点,点O表示车轮的轴心,那么A,O之间的距离与B,O之间的距离有什么关系?【师生活动】学生思考后回答,教师适当点评,导出本节课课题.设计意图 通过欣赏图片,让学生感受生活中处处有数学,激发学生学习本章的兴趣.同时让学生体会圆是实际生活中常见的图形,结合小学对圆的初步接触,让学生回忆圆的知识,思考圆的特征,为后面给出圆的定义做准备,这样从已有的知识体系自然地构建出新知识.过渡语 实际生活中存在着大量的圆的图形,今天让我们一起认识什么是圆.一、共同探究1活动 1:思考并动手实践你怎样画圆?你能说出圆的形成有几种方法吗?【师生活动】学生思考后会用圆规作圆,教师引导还有没有其他画圆的方法,小组合作交流,共同观察思考圆的特征,老师点评.活动 2:自主学习课本79 页【学生活动】互相交流圆的概念及表示方法.【课件 2】圆的定义:如图所示,在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.精品教案可编辑以点O为圆心的圆,记作O,读作“圆O”.活动 3:根据圆的定义思考1.篮球是圆吗?太阳是圆吗?(强调定义中的同一平面内.)2.以 3 cm 为半径画圆,能画出几个圆?为什么?(无数个,圆心不确定.)3.以O为圆心画圆,能画出几个圆?为什么?(无数个,半径不确定.)【师生活动】学生思考、操作,小组合作交流,展示结果,教师点评.教师强调:圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,圆心和半径两个元素确定一个圆.设计意图 通过自学教材形成概念,培养自主学习、合作交流的能力.通过动手操作和生活实例形成圆的概念,体会数学中的建模思想.追加思考,让学生更深入地理解圆的概念,提高学生分析问题的能力.二、共同探究2【课件 3】思考并回答下列问题.1.圆上各点到定点(圆心O)的距离有什么规律?2.到定点的距离等于定长的点又有什么特点?【师生活动】学生思考后,小组合作交流,教师引导学生通过动手画图得到上述问题2的结论,学生回答问题后,教师点评,并归纳总结.【课件 4】1.圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r).2.到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.教师追问:你能不能用动态的观点归纳圆的定义?圆的第二定义:圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.三、共同探究3【课件 5】(教材例 1)矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.求证A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.思路一教师引导学生思考并回答:圆的定义为,矩形的对角线的性质为.分析题意,题目中已知条件为:,所求证结论为,要证明A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上,只需证明,由矩形的性质:可得.【师生活动】学生独立回答问题后,教师点评并分析如何建立几何模型.证明:四边形ABCD为矩形,OA=OC=AC,OB=OD=BD,AC=BD.OA=OC=OB=OD.A,B,C,D四个点在以点O为圆心,OA为半径的圆上.(如图所示)思路二小组活动,共同探究,思考下列问题:1.圆上的点到圆心的距离有什么特点?2.要证明点在圆上,只需要证明什么?3.矩形的对角线有什么性质?4.如何把矩形的问题转化到圆上,进而解决问题?精品教案可编辑5.你能写出证明过程吗?【师生活动】小组讨论,教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生讨论后小组展示讨论结果,教师及时补充.证明:四边形ABCD为矩形,OA=OC=AC,OB=OD=BD,AC=BD.OA=OC=OB=OD.A,B,C,D四个点在以点O为圆心,OA为半径的圆上.设计意图 师生共同探讨,通过探索证明点在同一个圆上的方法,找到几何问题之间的联系,为学习更多圆的知识做铺垫,同时提高学生利用圆的基本知识解决问题的能力.四、共同探究4活动 1:自主学习课本80 页【学生活动】互相交流和圆有关的概念及表示方法.【课件 6】1.弦、直径.连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.如图中,AB,AC是弦,AB是直径.2.弧、半圆.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.以A,B为端点的弧记作,读作“圆弧AB”或“弧AB”.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆.大于半圆的弧叫做优弧,用三个点表示,如图中的;小于半圆的弧叫做劣弧,如图中的.3.等圆、等弧.能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出:半径相等的两个圆是等圆;反过来,同圆或等圆的半径相等.在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.活动 2:思考下列问题1.直径是弦正确吗?弦是直径呢?直径是最长的弦吗?2.半圆是弧正确吗?弧是半圆呢?半圆是最长的弧吗?3.长度相等的两条弧是等弧吗?为什么?【师生活动】小组合作交流,学生展示后教师点评,强调易错点.设计意图 通过学生自主学习,掌握和圆有关的概念,培养学生自学能力,同时通过活动2 加深学生对概念的辨析与再认识.知识拓展 1.圆上各点到圆心的距离都等于半径.2.到圆心的距离等于半径的点都在圆上.3.圆可以看作到定点的距离等于定长的点的集合.4.圆是一条封闭的曲线,是指圆周而不是指圆面,圆由圆心确定位置,由半径确定大小.5.弦是一条线段,它的两个端点都在圆上.6.直径是弦,但弦不一定是直径,直径是圆中最长的弦.精品教案可编辑1.圆的定义.(1)在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.(2)圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.2.圆的元素:圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.3.和圆有关的概念:弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧.1.下列说法正确的是()A.直径是弦,弦是直径B.半圆是弧,弧是半圆C.等弧的长度相等D.长度相等的两条弧是等弧解析:直径是弦,但弦不一定是直径,所以 A 错误;半圆是弧,但弧不一定是半圆,所以 B错误;等弧是能够重合的弧,所以等弧的长度相等,但长度相等的弧不一定是等弧,所以 C 正确,D 错误.故选 C.2.如图所示,在O中,弦的条数是()A.2B.3C.4D.以上均不正确解析:观察可得AB,BC,BD,CD都是O的弦.故选 C.3.圆O的半径为 3 cm,则圆O中最长的弦长为.解析:圆O的半径是3 cm,圆O的直径是6 cm,又直径是圆中最长的弦,圆O中最长的弦长为6 cm.故填 6 cm.4.证明对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上.已知:如图所示,四边形ABCD中,对角线ACBD,E,F,G,H分别为DA,AB,BC,CD的中点.求证:点E,F,G,H在同一个圆上.证明:E,H分别为DA,DC的中点,在DAC中,EHAC,同理得FGAC,EFDB,HGDB,EH FG,EFHG,四边形EFGH是平行四边形,又ACBD,精品教案可编辑EHHG,四边形EHGF为矩形,E,H,G,F在同一个圆上.24.1.1圆一、共同探究1圆的第一定义:二、共同探究2圆的第二定义:三、共同探究3例 1四、共同探究4和圆有关的概念:一、教材作业【必做题】教材第 81 页练习的1,2 题.【选做题】教材第 89 页习题 24.1 的 1 题.二、课后作业【基础巩固】1.下列说法正确的是()A.周长相等的两个圆是等圆B.长度相等的两条弧是等弧C.同一条弦所对的两条弧是等弧D.半径确定了,圆也就确定了2.如图所示,AB是O的弦,AOB=80 ,则A等于()A.50 B.55 C.65 D.80 3.过圆内的一点(非圆心)有条弦,有条直径.4.圆内最长的弦长为10 cm,则圆的半径等于cm.5.如图所示的圆中有条直径,条弦,以点A为一个端点的劣弧有条.精品教案可编辑6.如图所示,已知OA,OB,OC是O的三条半径,AOC=BOC,M,N分别为OA,OB的中点.求证MC=NC.7.如图所示,AB是O的弦(非直径),C,D是AB上的两点,并且AC=BD.求证OC=OD.【能力提升】8.如图所示,AB是O的直径,AC是弦,D是AC的中点,若OD=4,求BC的长.9.如图所示,AB是O的直径,点C在O上,CDAB,垂足为D,已知CD=4,OD=3,求AB的长.10.如图所示,CD是O的直径,EOD=84,AE交O于点B,且AB=OC,求A的度数.精品教案可编辑【拓展探究】11.如图所示,两正方形彼此相邻且大正方形ABCD的顶点A,D在半圆O上,顶点B,C在半圆的直径上,小正方形BEFG的顶点F在半圆O上,B,E两点在半圆O的直径上,点G在大正方形的边AB上,若小正方形的边长是4 cm,求该半圆的半径.【答案与解析】1.A(解析:周长相等的两个圆半径相等,所以是等圆,所以 A 正确;长度相等的弧不一定能重合,所以 B 错误;同一条弦所对的两条弧构成一个圆,不一定相等,所以 C 错误;半径确定圆的大小,圆心确定圆的位置,两者共同确定一个圆,所以 D 错误.故选 A.)2.A(解析:OA=OB,A=B,AOB+A+B=180 ,A=50.故选 A.)3.无数一(解析:过圆内一点(非圆心)有无数条直线与圆相交,根据弦的定义可知过圆内一点(非圆心)有无数条弦;两点确定一条直线,所以过圆心和该点只有一条直径.)4.5(解析:圆内最长的弦长为 10 cm,又直径是圆中最长的弦,圆的直径是10 cm,圆的半径是 5 cm.故填 5.)5.134(解析:根据圆的有关定义可得图中AB是直径,AB,CD,EF是弦,以A为一个端点的劣弧有,.)6.证明:OA,OB为O的半径,OA=OB,M是OA中点,N是OB中点,OM=ON,又AOC=BOC,OC=OC,MOCNOC,MC=NC.7.证明:分别连接OA,OB.OB=OA,A=B.又AC=BD,AOCBOD,OC=OD.8.解:AB是O的直径,OA=OB,D是AC的中点,AD=DC,OD是ABC的中位线,BC=2OD=8.9.解:连接OC.CD=4,OD=3,在Rt ODC中,OC=5,AB=2OC=10.10.解:连接OB.AB=OC,AB=BO,BOC=A,EBO=BOC+A=2 A,由OB=OE,得E=EBO=2 A,EOD=E+A=3 A,而EOD=84 ,3A=84 ,A=28.11.解析:设大正方形边长为2x,根据勾股定理可得半圆半径,连接圆心和小正方形右上顶点,也可得直角三角形,已知小正方形的边长,利用勾股定理即可求解.精品教案可编辑解:设大正方形的边长为2x,半圆的半径为R,则BO=x,AB=2x,小正方形的边长为 4 cm,BE=EF=4,连接OA,OF,由勾股定理,得R2=OB2+AB2=OE2+EF2,即x2+4x2=(x+4)2+42,解得x=4 或x=-2(舍去),R=4 cm.该半圆的半径为4 cm.本节课由观察图形导入新课,让学生体会圆在实际生活中无处不在,可激发学生探究圆的知识的欲望.本节课的主要学习方式为自主学习、合作交流、共同探究、归纳总结,学生通过观察、操作、交流、归纳,理解圆及和圆有关的概念,由于本节课内容较为简单,故给了学生充分展示的舞台,学生交流后展示,其他组学生补充,让学生真正体会数学概念的形成过程,提高学生归纳总结能力.例题的探究与讨论,让学生体会到几何之间的互相转化,提高学生运用知识解决问题的能力.由于这节课内容较少,加上小学对圆的认识,误认为学生会通过自学掌握所有知识,教学时概念的形成过程中有点过于急躁,造成学生对概念中的细节问题掌握不牢固.对形如例1 这样的几何问题,不能找到新旧知识的联系,造成解题困难,在今后的教学中,应注重培养学生逻辑思维能力.圆是一种常见的几何图形,它的应用非常广泛,许多实际问题往往可以归结为圆的问题加以研究.在教学中要重视圆的概念的形成和构建,在概念的学习过程中,让学生体验从问题出发到解决图形问题的过程,体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.教学中多给学生交流的空间,通过与同学、老师之间的合作交流,体验数学学习带来的快乐.练习(教材第 81 页)1.提示:拿一根 5 m 长的绳子,站定一个位置,当做圆的圆心,再让另一个人拉紧绳子,绕走一圈,并画出走的轨迹即可.2.解:=0.575(cm).3.证明:如图所示,取AB的中点O,连接CO.在 RtABC中,AO=BO,ACB=90 ,CO=AB,即CO=AO=BO.A,B,C三点在同一个圆上,圆心为点O.精品教案可编辑本节课主要探究圆的定义和圆的有关概念,是对小学里已学过的圆的认识的巩固,也为本章即将探究的圆的性质打下基础.本节课的重点是通过观察、操作、归纳,理解圆的两种定义,理解弦(直径)、弧(优弧、劣弧、半圆)、等圆、等弧等和圆有关的概念,并通过讨论等活动提高学生用圆的相关知识解决实际问题的能力.课前准备生活中圆形图片,由生活实例入手,激发学生探究圆的知识的欲望,然后引导学生自主学习课本有关概念,通过合作交流解决疑难问题并强化知识点,把课堂真正交给学生,给学生足够的时间思考和探索.教师只是一个引导者,引导学生经历知识的形成过程,从而达到强化学习重点,提高学习能力,发展创新精神的目的.圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10,最小距离是2,求此圆的半径是多少.解析题目中说到最大距离和最小距离,我们首先想到的就是直径,然后过点P作圆的直径,从而得到圆的半径.通常情况下,我们进行的都是在圆内的有关计算,这逐渐成为一种习惯,使得我们忽略了圆外的情况,所以经常会出现漏解的情况.解:如图所示,分两种情况:(1)当点P为圆O内一点时,过点P作圆O的直径,分别交圆O于A,B两点,由题意可得AP=2,BP=10,所以圆O的半径为=6.(2)当点P在圆外时,作直线OP,分别交圆O于A,B两点,由题意可得BP=10,AP=2,所以圆O的半径为=4.综上所述,所求圆的半径为6 或 4.24.1.2垂直于弦的直径1.通过观察试验,理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.3.会用垂径定理解决有关的证明与计算问题.精品教案可编辑1.通过探索圆的对称性及相关性质,培养学生动手操作能力及观察、分析、逻辑推理和归纳概括能力.2.经历探究垂径定理及其推论的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.1.通过探究垂径定理的活动,激发学生探究、发现数学问题的兴趣,培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质.2.培养学生观察能力,激发学生的好奇心和求知欲,并从数学学习活动中获得成功的体验.【重点】垂径定理及其应用.【难点】探索并证明垂径定理,利用垂径定理解决一些实际问题.【教师准备】多媒体课件15.【学生准备】圆形纸片、预习教材P8183.导入一:【课件 1】赵州桥(如图所示)是我国隋代建造的石拱桥,距今约有 1400 年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为 37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).过渡语 要解决这个实际问题,我们的知识储备还不够,通过这节课的学习,我们将能解决这类和圆有关的实际问题.导入二:复习提问:1.什么是轴对称图形?2.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?3.你是用什么方法解决上述问题的?(教师引导折叠课前准备的圆形纸片.)4.直径是圆的对称轴这种说法正确吗?【师生活动】学生思考后小组合作交流,学生回答后教师点评,指出“直径是圆的对称轴”这种说法错误的原因.【课件 2】圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.设计意图 通过实际问题导入新课,让学生感受数学来源于生活,又应用于生活.通过复习旧知识和创设动手操作活动,激发学生的学习兴趣,引出本节内容,为本节课的学习进行铺垫.过渡语 我们知道了圆是轴对称图形,并且直径所在直线就是它的对称轴,那么今天我们就利用圆的对称性来探究圆还有哪些性质.一、共同探究1思路一在自己课前准备的纸片上作图.精品教案可编辑1.任意作一条弦AA.2.过圆心O作弦AA的垂线,得直径CD交AA于点M.3.观察图形,你能找到哪些相等线段?4.你能证明你的结论吗?写出你的证明过程.5.如果沿着CD折叠,你能不能得到相等的弧?6.图形中的已知条件、结论分别是什么?你能用语言叙述这个命题吗?【师生活动】让学生独立思考、尝试证明,然后小组合作交流,共同探究结论.教师在巡视过程中帮助有困难的学生.学生回答问题,并展示自己的证明过程,教师适时点评.【课件 3】证明:连接OA,OA,在OAA中,OA=OA,OAA是等腰三角形.又AACD,AM=MA.即CD是AA的垂直平分线.这就是说,对于圆上任意一点A,在圆上都有关于直线CD的对称点A,因此O关于直线CD对称.把圆沿着直径CD折叠时,点A与点A重合,AM与AM重合,分别与,重合.因此,AM=AM,.即直径CD平分弦AA,并且平分,.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.思路二动手操作:1.把课前准备的圆形纸片(O)对折,使圆的两半部分重合;2.把得到的折痕记作CD;3.在O上任取一点A,过点A作折痕CD的垂线,沿垂线折叠,得到新的折痕,两条折痕的交点为M,即垂足为M.4.将纸片打开,新的折痕与圆交于另一点A.(如上图所示)【思考】1.通过上面的操作,你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么?2.你能不能把刚才的操作当成条件,观察到的结果作为结论,归纳出一个正确的命题?【师生活动】互相交流操作结果及思考后得到的结论,教师对学习有困难的学生给予帮助,学生展示后教师点评.由折叠可得A与A重合,分别与,重合.AM=MA,.即直径CD平分弦AA,并且平分,.归纳结论:垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.精品教案可编辑设计意图 通过学生动手操作、观察、分析、交流,教师引导归纳出垂直于弦的直径的性质,经历知识的形成过程,培养学生观察能力和归纳概括能力,提高分析问题、解决问题的能力,同时感受圆的对称美.二、共同探究2【思考】1.垂径定理的条件和结论分别是什么?条件:过圆心;垂直于弦.结论:平分弦;平分弦所对的劣弧;平分弦所对的优弧.2.条件改为:过圆心;平分弦.结论改为:垂直于弦;平分弦所对的劣弧;平分弦所对的优弧.这个命题正确吗?说明理由.【师生活动】学生口述理由,教师点评.3.你能用语言叙述这个结论吗?【学生活动】尝试用语言叙述结论,教师及时补充.【课件 4】推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.4.为什么要求“弦不是直径”?否则会出现什么情况?设计意图 把定理的条件和结论用序号标识,加深对定理和推论的理解和记忆,有利于解决易混淆的题目,同时培养了学生解决问题的意识和能力.三、共同探究3过渡语 经过这节课的学习,让我们看看能不能解决新课导入中的实际问题吧.教材例 2 讲解【共同分析】1.如何根据赵州桥的实物图画出几何图形?2.结合所画图形思考:(1)桥的跨度是弧所对的,弧的中点到弦的距离是,它与所在圆的半径之间的关系是.(2)如何找到弧的中点?(根据垂径定理,过圆心作弦的垂线与弧相交.)(3)如何把圆的半径转化为三角形中的线段?(连接半径,构造直角三角形.)(4)构造的直角三角形中三边之间有什么特点?(一边是弦长的一半,另两边的长的差等于拱高.)(5)直角三角形中已知一边、另外两边之间的关系,如何求另两边长?(设未知数,用勾股定理列方程求解.)【师生活动】教师引导,师生共同完成思考题后,学生书写解题过程,教师点评.【课件 5】解:如图所示,用表示主桥拱,设所在圆的圆心为O,半径为R.精品教案可编辑经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与相交于点C,连接OA.根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高.由题设可知AB=37 m,CD=7.23 m,所以AD=AB=37=18.5(m),OD=OC-CD=R-7.23.在 RtOAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,即R2=18.52+(R-7.23)2.解得R 27.3(m).因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.【思考】1.在圆中解决有关弦的问题,常作什么辅助线?2.在圆中解决有关弦的问题,常用什么方法?【师生活动】学生思考回答后,教师归纳总结.在圆中解决有关弦的问题时,常常过圆心作弦的垂线段作为辅助线,这样可以把垂径定理和勾股定理结合,得到圆的半径r、弦心距d、弦长a的一半之间的关系式:r2=d2+.设计意图 教师引导学生共同分析、解决问题,降低了例题的难度,体会建模思想在数学中的应用,同时掌握一类题型的解题方法,作辅助线的方法,提高了学生分析问题、解决问题的能力和归纳总结能力.知识拓展 1.由垂径定理可以得到以下结论:(1)若直径垂直于弦,则直径平分弦及其所对的两条弧.(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.(3)垂直且平分一条弦的直线过圆心.综上所述,可以知道在过圆心;垂直于弦;平分弦;平分弦所对的劣弧;平分弦所对的优弧这五个条件中满足其中任意两个,就可以推出另外三项,简称 5.2.3 定理.2.利用垂径定理及其推论可以证明平分弧、平分弦,证明垂直,证明一条线段是直径.3.利用垂径定理的推论可以确定圆心的位置:在圆中找两条不平行的弦,分别作两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点即为圆心.4.由于垂直于弦的直径平分弦,因此可以在圆中构造直角三角形,利用勾股定理列方程求弦长(或半径).5.圆心到弦的距离叫做弦心距.1.圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.2.垂径定理、推论及其应用.3.垂径定理和勾股定理相结合,可将圆的问题转化为直角三角形问题.4.圆中常作的辅助线:连半径、过圆心作弦的垂线.精品教案可编辑1.如图所示,AB是O的直径,CD是弦,CDAB于点E,则下列结论不一定成立的是()A.COE=DOEB.CE=DEC.OE=BED.解析:由垂径定理可知B,D 均成立;由OCEODE可得 A 也成立;不一定成立的是OE=BE.故选 C.2.如图所示,已知O的半径为13,弦AB的长为 24,则点O到AB的距离是()A.6 B.5C.4 D.3解析:过O作OCAB于C,OC过O,AC=BC=AB=12,在 Rt AOC中,由勾股定理得OC=5.故选 B.3.如图所示,P为O内一点,OP=3 cm,O的半径为5 cm,则经过P点的最短弦长为,最长弦长为.精品教案可编辑解析:当弦与OP垂直时,弦最短,连接OA,由勾股定理可得AP=4(cm),OPAB,AB=2AP=8 cm,即最短弦长为8 cm.过P点经过圆心的弦最长,最长弦长为10 cm.答案:8 cm10 cm4.如图所示,AB是O的弦,半径OCAB于点D.(1)若AB=8 cm,OC=5 cm,求CD的长;(2)若OC=5 cm,OD=3 cm,求AB的长;(3)若AB=8 cm,CD=2 cm,求O的半径.解:连接OA,则AO=OC.(1)OCAB,AD=AB=4 cm,在 RtOAD中,OD=3(cm),CD=OC-OD=2 cm.(2)在 Rt OAD中,AD=4(cm),OCAB,AB=2AD=8 cm.(3)设O的半径为r,则OD=r-2,OCAB,AD=AB=4 cm,在 RtOAD中,OA2=DO2+AD2,r2=(r-2)2+42,解得r=5,O的半径为 5 cm.24.1.2垂直于弦的直径一、共同探究1垂径定理:二、共同探究2垂径定理的推论:三、共同探究3例 2一、教材作业【必做题】教材第 89 页习题 24.1 的 2,8,9,10,11题.【选做题】教材第 91 页习题 24.1 的 15 题.二、课后作业精品教案可编辑【基础巩固】1.如图所示,如果AB为O的直径,弦CDAB,垂足为E,那么下列结论中错误的是()A.CE=DEB.C.BAC=BADD.ACAD2.如图所示,O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为 3,则弦AB的长是()A.4 B.6 C.7 D.83.如图所示,将半径为4 cm 的圆折叠后,圆弧恰好经过圆心,则折痕的长为()A.4 cm B.2 cmC.cm D.cm4.如图所示,在O中,已知半径为5,弦AB的长为 8,那么圆心O到AB的距离为.精品教案可编辑5.圆是轴对称图形,对称轴是,它有条对称轴.6.如图所示,在O中,若ABMN于点C,AB为直径,试填写三个你认为正确的结论:,.7.如图所示,已知弧AB,请你利用尺规作图的方法作出弧AB所在圆的圆心,说出你的作法.8.如图所示,在O中,弦AB的长为 8 cm,圆心O到弦AB的距离为3 cm.求O的半径.9.某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图所示,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶距离为10 cm,则修理人员应准备内径多大的管道?【能力提升】10.如图所示,一条公路的转弯处是一段圆弧CD,点O是所在圆的圆心,E为上一点,OECD,垂足为F.已知CD=600 m,EF=100 m,求这段弯路的半径.精品教案可编辑11.如图所示,O的直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,DEB=30 ,求弦CD的长.12.如图所示,圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20 cm,水深GF=2 cm.若水面上升2 cm(EG=2 cm),求此时水面宽AB为多少.【拓展探究】13.如图所示,台风中心位于点P,并沿东北方向PQ移动,已知台风移动的速度为30 千米/时,受影响区域的半径为200 千米,B市位于点P的北偏东75 方向上,距离点P320 千米处.(1)说明本次台风会影响B市;(2)求这次台风影响B市的时间.【答案与解析】精品教案可编辑1.D(解析:AB为O的直径,弦CDAB,垂足为E,则AB是垂直于弦CD的直径,满足垂径定理,因而CE=DE,是正确的,所以 A,B 正确;由ACEADE可得BAC=BAD,所以 C 正确;根据条件可以得到AB垂直平分CD,因而AC=AD,所以 D 是错误的.故选 D.)2.D(解析:连接OA,O的直径为 10,OA=5,由垂径定理知点M是AB的中点,AM=AB,圆心O到弦AB的距离OM的长为 3,由勾股定理可得AM=4,AB=8.故选 D.)3.A(解析:作ODAB于D,连接OA.根据题意得OD=OA=2 cm,再根据勾股定理得AD=2 cm,根据垂径定理得AB=4 cm.故选 A.)4.3(解析:作OCAB于C,连接OA,OCAB,AC=BC=AB=8=4,在 RtAOC中,OA=5,OC=3,即圆心O到AB的距离为 3.故填 3.)5.直径所在的直线无数(解析:根据圆的对称性可得结论,注意“圆的直径是圆的对称轴”是错误的,对称轴是直线,直径是线段.)6.CM=CN(解析:根据垂径定理可得出CM=CN,答案不唯一.)7.解:作法:如图所示,连接AB,任意作一弦AC,然后分别作弦AB,AC的垂直平分线,相交于一点P,则点P即为所求作的弧AB所在圆的圆心.8.解:过点O作OCAB于点C,连接OB,则AC=BC=AB,AB=8 cm,BC=4 cm,在 RtBOC中,OC=3 cm,OB=5(cm).即O的半径是5 cm.9.解:如图所示,过O作OCAB于C,连接AO,AC=AB=60=30(cm),CO=AO-10,设O的半径为rcm,CO为(r-10)cm,在 Rt AOC中,AO2=AC2+OC2,即r2=302+(r-10)2,解得r=50.内径为 2 50=100(cm).修理人员应准备内径为100 cm的管道.精品教案可编辑10.解:连接OC.设这段弯路的半径为R m,则OF=OE-EF=R-100,OECD,CF=CD=600=300,根据勾股定理,得OC2=CF2+OF2,即R2=3002+(R-100)2,解得R=500.所以这段弯路的半径为500 m.11.解:如图所示,过O作OFCD,交CD于点F,连接OD,F为CD的中点,即CF=DF,AE=2,EB=6,AB=AE+EB=2+6=8,OA=4,OE=OA-AE=4-2=2,在 RtOEF中,DEB=30 ,OF=OE=1,在 RtODF中,OF=1,OD=4,根据勾股定理得DF=,则CD=2DF=2.12.解:连接OA,OC.设O的半径是R,则OG=R-2,OE=R-4.OFCD,CG=CD=10 cm.在 Rt COG中,根据勾股定理,得R2=102+(R-2)2,解得R=26.在 RtAOE中,根据勾股定理,得AE=8(cm).根据垂径定理,得AB=16 cm.13.解:(1)台风中心位于点P,并沿东北方向PQ移动,B市位于点P的北偏东75 方向上,QPG=45 ,NPB=75 ,BPG=15 ,BPQ=30.如图所示,过B作BHPQ于点H,在 Rt BHP中,由条件知PB=320,则BH=320=160,160CDB.AB=CDC.ABCDD.无法确定解析:在同圆或等圆中,相等的弧所对的弦相等,所以由得AB=CD.故选 B.2.如图所示,已知AB是O的直径,C,D分别是的三等分点,AOE=60 ,则COE等于()精品教案可编辑A.40 B.6