函数思想在解三角形中的应用.pdf

函数思想在解三角形中的应用 典例 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西 30且与该港口相距20 海里的A处，并正以30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值 解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S900t2400230t20cos9030900t2600t400 900t132 300，故当t13时，Smin103，v10313 303，即小艇以 303 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在B处相遇，如图所示由题意可得：(vt)2202(30t)222030tcos(9030)，化简得：v2400t2600t9004001t342675.由于 0t12，即1t2，所以当1t 2时，v取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013 海里/小时 题后悟道 解答本题利用了函数思想，求解时，把距离和速度分别表示为时间t的函数，利用函数的性质求其最值，第二问应注意t的范围 关于三角形中的最值问题，有时把所求问题表示关于角 的三角函数，再利用三角函数的性质来求解针对训练如图，在ABC中，已知B3，AC43，D为BC边上一点若ABAD，则ADC的周长的最大值为_解析：ABAD，B3，ABD为正三角形，在ADC中，根据正弦定理，可得ADsin C43sin23DCsin3C，AD8sin C，DC8 sin3C，ADC的周长为ADDCAC 8 sin C8sin3C43 8 sin C32cos C12sin C43 812sin C32cos C43 8sinC343，ADC23，0C3，3C323，当C32，即C6时，ADC的周长的最大值为843.答案：843