最新江苏省常州市实验中学高三数学高考模拟测试卷一.pdf
数学试卷一、选择题1.一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000 人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在2000,3500范围内的人数为 _.二、填空题2.已知全集1,2,3,4,5U，1,2A，1,2,4B，则UABe_.3.复数i2i的虚部是 _.4.如图是某算法的流程图，其输出值a 是_5.在数字 1、2、3、4 中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为_.6.已知实数,x y满足2001xyxyx则2zxy 的最小值是 _7.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，一条渐近线方程为20 xy，则它的离心率为_8.在等差数列na中，若392712aaa，则13a_.9.函数0,0,2fxAsimxA的部分图像如图所示，则将yfx的图象向右平移6个单位后，得到的图像解析式为_.10.已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱锥的体积为_11.过点4,0P的直线 l 与半圆22:140Cxyy交于,A B两点，当ACB面积最大时，直线 l 的斜率为 _.12.已知ABC为等边三角形，2AB，设点,P Q 满足,1APAB AQACuuu ruu u r u uu ru uu r，R，若32BQ CPu uu ruuu r，则_.13.已知正实数,a b满足435ab，则1312ab的最小值为_.三、解答题14.若不等式3ln1mxx对0,1x恒成立,则实数 m 的取值范围是_.15.已知函数2 3sinsin2coscos22fxxxxx.（1）求fx的最小正周期；（2）在ABC中，,a b c分别是ABC、的对边，若4,1,fAbABC的面积为32，求a 的值.16.如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD平面ABE，BEBC，F 为 CE 上的一点，且BF平面 ACE（1）求证：AEBE；（2）求证：/AE平面BFD17.如图所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OMR，45MOP，OB 与 OM 之间的夹角为.（1）将图书馆底面矩形ABCD 的面积 S表示成的函数.（2）求当为何值时，矩形ABCD 的面积 S有最大值？其最大值是多少？(用含 R 的式子表示)18.已知椭圆22;14xEy的左、右顶点分别为A、B，圆224xy上有一动点,p p在 x 轴上方，1,0C，直线PA交椭圆 E 于点 D，连结 DCPB、.(1)若90ADC，求ADC的面积 S；(2)设直线 PBDC、的斜率存在且分别为12,KK，若12KK，求 的取值范围19.已知数列na中，122,3aa，其前 n 项和nS满足1121nnnSSS，其中2n，*nN.(1)求证：数列na为等差数列，并求其通项公式.(2)设2nnnba，nT为数列nb的前 n 项和，求使2nT的 n 的取值范围。20.设函数e2xfxax，其中 e 是自然对数的底数（1）若ea，求fx的极小值；（2）求fx的单调区间；（3）已知1a，若对所有的0,x，都有10 xkfxx成立，求正整数k 的取值集合参考答案1.答案：700 解析：由图2000,3500收入段的频率是0.00050.00050.00045000.7；则在2000,3500收入段应抽出人数为0.71000700.故答案为：700.2.答案：3,5解析：1,2,4AB，3,5UABe.故答案为：3,5.3.答案：25解析：4.答案：31 解析：经过第一次循环得到结果为3a，此时不满足判断框的条件经过第二次循环得到结果为7a，此时不满足判断框的条件经过第三次循环得到结果为15a，此时不满足判断框的条件经过第二次循环得到结果为31a，此时满足判断框的条件执行输出a，即输出31.故答案为：31.5.答案：56解析：在数字1、2、3、4中随机选两个数字，基本事件总数246nC，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，选中的数字中至少有一个是偶数的概率为2224516CpC。故答案为：.566.答案：1解析：画出可行域，得在直线20 xy与直线0 xy的交点1,1A处，目标函数2zxy的最小值为1.故答案为1.7.答案：52解析：8.答案：4 解析：9.答案：sin 26yx解析：由图象知1151,41264AT，2T，由 sin 21,62得sin23266fxx则图象向右平移6个单位后得到的图象解析式为sin 2sin 2666ysx10.答案：3 解析：11.答案：147解析：半圆22:140Cxyy的圆心坐标为1,0，半径2r，211sinsin2sin22ABCSCA CBACBrACBACB当 sin1ACB，90ACB时，ACB的面积最大，而此时ACB为等腰直角三角形，斜边222 2ABrr，设直线 l 的方程为4yk x，即40kxyk，由直线 l 与半圆 C 相交知0k，则22210442221kkABrk232 1kk，22922kk，227k，解得147k或147k（舍去）。故答案为：147.12.答案：12解析：点,P Q 满足,1APAB AQACuuu ruu u r u uu ruuu r，R，1BQAQABACABuuu ruuu ruuu ruuu ruuu r，CPAPACABACu uu ruuu ruuu ruuu ruuu r，又ABC为等边三角形,32,2ABBQ CPuu u r uuu r，2,60ABACAB ACuuu ruuu ruuu r u uu r，1cos602222AB ACABACuuu ru uu ru uu ruuu r，312ACABABACuuu ru uu ruuu ruuu r，2223112ABAB ACACu uu ruuu r u uu ruuu r，234214 12，解得12故答案为：1213.答案：53解析：,0a b由 435ab可得：443615ab1312ab494463ab1494463154463abab9 444 63113156344abba9 444 631132156344abba151312153当且仅当9 444 636344abba即1,12ab时取等号1312ab的最小值为53.故答案为：5314.答案：2e,3解析：15.答案：（1）23sin 22cos2fxxx3sin2cos232sin 236xxx22T（2）由4fA，2sin 2346fAA，1sin 262A又A为ABC的内角，132666A，5266A，3A3,12ABCSb，31sin22bcA，2c22212 cos142 1232abcbA，3a解析：16.答案：（1）证明：平面ABCD平面 ABE，平面ABCDI平面ABEAB，ADAB，AD平面ABE，AE平面ABE，ADAE/ADBC，则 BCAE 又BF平面 ACE，AE平面 ACE,BFAEBCBFBI，AE平面 BCE，又BE平面 BCE AEBE（2）设ACBDGI，连接 FG，易知 G 是 AC 的中点，BF平面 ACE，CE平面 ACE,则 BFCE 而 BCBE，F 是 EC 中点在ACE中，/FGAE，AF平面BFD,FG平面BFD，/AE平面BFD解析：17.答案：（）由题意可知，点M 为PQ 的中点，所以OMAD.设 OM 于 BC 的交点为F，则2 sin,cosBCROFR.1cossin2ABOFADRR.所以222 sincossin2sincos2sinSAB BCRRRR2sin 21cos2R222sin 2,0,44RR.（）因为0,4，则 32,444.所以当242，即8时，S有最大值.2max21SR.故当8时，矩形ABCD 的面积 S有最大值221 R.解析：18.答案：(1)依题意2,0A，设11,Dx y则221114xy，由90ADC得1ADCDKK,1111121yyxx，212121111141212xyxxxx，解得112,23xx（舍去）1222 21,32323yS.（2）设22,D xy，动点P 在圆224xy上，1PBPAKK.又12KK,2222112yyxx，即22222222212114xxxxyx2222222211144 112244xxxxxx.又由题意可知22,2x，且21x则问题可转化为求函数14 12,2,12fxxxx且的值域.函数fx在其定义域内为减函数，函数fx的值域为,00,3从而的取值范围为,00,3解析：19.答案：1.由*11212,nnnSSSnnN可得111nnnnSSSS即112nnaan又211aa数列na是首项12a，公差为 1 的等差数列通项公式2111nann综上所述，结论为：数列na是等差数列，通项公式1nan.2.由题 1 知：1nan1212nnnnban数列nb的前 n 项和为nT则2111112312222nnnTnn2311111123122222nnnTnn两式相减可得231111111122222nnnTn211111212222nnnTn1121111212nnn332nn由2nT可得3322nn即3102nn设312nnfn则114321110222nnnnnnf nf nfn在*N 上单调递减110f，1120,3044ff当1,2nn时0fn，当*3nnN时0fnn的取值范围为3n且*nN综上所述，结论为：n的取值范围为3n且*nN.解析：20.答案：1.当ea时，函数ee2xfxx，则其导函数eexfx，令0fx，得1x，当1x时，eex，得0fx；当1x时，eex，得0fx；函数ee2xfxx在区间1,上单调递增，在区间,1上单调递减，函数ee2xfxx在1x处取得极小值12f，综上所述，结论是：函数ee2xfxx的极小值为2.2.函数e2xfxax，exfxa，当0a时，0a，e0 x在,上恒成立，得0fx在,上恒成立，fx的单调递增区间为,，无单调递减区间；当0a时，由e0 xfxa，得lnxa；由e0 xfxa，得lnxa；fx的单调递增区间为ln,a，单调减区间为,ln a，综上所述，结论是：当0a时，fx的单调递增区间为,，无单调递减区间；当0a时，fx的单调递增区间为ln,a，单调减区间为,ln a。3.当1a时，e2xfxx，e1xfx不等式10 xkfxx等价于e110 xxkx，当0,x时，0ee1x，得 e10 x，不等式e110 xxkx在0,上恒成立，等价于1e1xxkx在0,上恒成立，令1e1xxg xx，0,x，则2e11 e1e1xxxxgx，即2ee2e1xxxxgx，令e2xh xx，则e0 xhxx在0,x上恒成立，e2xh xx在0,上是单调增函数，又1e30h，22e40h，h x在0,上存在唯一零点，记为a，且1,2a，e20ah aa，从而 e2aa，当0,xa时，0h x，从而2ee20e1xxxxgx，当,xa时，0hx，从而2ee20e1xxxxgx，g x在0,a上单调递减，在,a上单调递增，min1e1xag xg aa1121aaaa，min1kg xa，1,2a，12,3a，又*kN，1k或2，正整数 k 的取值集合为1,2.综上所述，结论是：正整数k 的取值集合为1,2.解析：
