新人教版九年级数学下册第26章反比例函数知识点归纳和典型例题.pdf

新人教版九年级数学下册第26章反比例函数知识点归纳和典型例题（一）知识结构（二）（三）（二）学习目标（四）1理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式（k 为常数，），能判断一个给定函数是否为反比例函数（五）2能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点（六）3能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（k为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题（七）4对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型（八）5进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法（九）（三）重点难点（十）1重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用（十一）2难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握（十二）二、基础知识（十三）（一）反比例函数的概念（十四）1（）可以写成（）的形式，注意自变量 x 的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；（十五）2（）也可以写成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；（十六）3反比例函数的自变量，故函数图象与 x 轴、y 轴无交点（十七）（二）反比例函数的图象（十八）在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量 x 的取值不能为 0，且 x 应对称取点（关于原点对称）（十九）（三）反比例函数及其图象的性质（二十）1函数解析式：（）（二十一）2自变量的取值范围：（二十二）3图象：（二十三）（1）图象的形状：双曲线（二十四）越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直越小，图象的弯曲度越大（二十五）（2）图象的位置和性质：（二十六）与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线（二十七）当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；（二十八）当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大（二十九）（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上（三十）图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的 另一支上（三十一）4k 的几何意义（三十二）如图1，设点 P（a，b）是 双曲线上任意一点，作 PA x轴于 A点，PB y轴于 B点，则矩形PBOA 的面积是（三角形 PAO 和三角形 PBO 的面积都是）（三十三）如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点 Q也在双曲线上，作QC PA的延长线于 C，则有三角形PQC 的面积为（三十四）（三十五）图1 图2（三十六）5说明：（三十七）（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论（三十八）（2）直线与双曲线的关系：（三十九）当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称（四十）（3）反比例函数与一次函数的联系（四十一）（四）实际问题与反比例函数（四十二）1求函数解析式的方法：（四十三）（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式（四十四）2注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上（四十五）（五）充分利用数形结合的思想解决问题（四十六）三、例题分析（四十七）1反比例函数的概念（四十八）（1）下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（）（四十九）Ay=3x B C 3xy=1 D（五十）（2）下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（）（五十一）AB CD（五十二）答案：（1）C；（2）A（五十三）2图象和性质（五十四）（1）已知函数是反比例函数，（五十五）若 它 的 图 象 在 第 二、四 象 限 内，那 么k=_（五十六）若 y 随 x 的增大而减小，那么k=_（五十七）（2）已知一次函数 y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第 _象限（五十八）（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第 _象限（五十九）（4）已知 ab0，点 P（a，b）在反比例函数的图象上，（六十）则直线不经过的象限是（）（六十一）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限（六十二）（5）若 P（2，2）和 Q（m，）是反比例函数图象上的两点，（六十三）则一次函数 y=kx+m的图象经过（）（六十四）A第一、二、三象限B第一、二、四象限（六十五）C第一、三、四象限D第二、三、四象限（六十六）（6）已知函数和（k0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）（六十七）（六十八）AB CD（六十九）答案：（1）1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B（七十）3函数的增减性（七十一）（1）在 反比 例 函 数的图 象 上 有两 点，且，则的值为（）（七十二）A正数B负数 C非正数D非负数（七十三）（2）在函数（a 为常数）的图象上有三个点，则函数值、的大小关系是（）（七十四）ABCD（七十五）（3）下列四个函数中：；（七十六）y 随 x 的增大而减小的函数有（）（七十七）A 0个B 1个C 2个D3个（七十八）（4）已知反比例函数的图象与直线 y=2x和 y=x+1的图象过同一点，则当x0时，这个反比例函数的函数值y 随 x 的增大而（填“增大”或“减小”）（七十九）答案：（1）A；（2）D；（3）B（八十）注意，（3）中只有是符合题意的，而是在“每一个象限内”y 随 x 的增大而减小（八十一）4解析式的确定（八十二）（1）若与成反比例，与成正比例，则y 是 z的（）（八十三）A 正比例函数 B 反比例函数C 一次函数D不能确定（八十四）（2）若正比例函数y=2x 与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则 m=_，k=_，它们的另一个交点为_（八十五）（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值（八十六）（4）已知一次函数y=x+m 与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P（x 0，3）（八十七）求 x 0的值；求一次函数和反比例函数的解析式（八十八）（八十九）（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间 x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与 x 成反比例（如图所示），现测得药物 8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为 6毫克 请根据题中所提供的信息解答下列问题：（九十）药物燃烧时 y 关于 x 的函数关系式为 _，自变量 x 的取值范围是 _；药物燃烧后 y 关于 x 的函数关系式为 _（九十一）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_分钟后，学生才能回到教室；（九十二）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效为什么？（九十三）答案：（1）B；（2）4，8，（，）；（九十四）（3）依题意，且，解得（九十五）（4）依题意，解得（九十六）一次函数解析式为，反比例函数解析式为（九十七）（5），；（九十八）30；消毒时间为（分钟），所以消毒有效（九十九）5面积计算（一）（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与 x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为、，则（）（一一）A B CD（一二）（一三）第（1）题图第（2）题图（一四）（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC/y 轴，BC/x 轴，ABC的面积 S，则（）（一五）AS=1 B1S2 CS=2 DS2（一六）（3）如图，RtAOB的顶点 A在双曲线上，且SAOB=3，求 m的值（一七）（一八）第（3）题图第（4）题图（一九）（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和 P2两点，过 P1分别作 x 轴、y 轴的垂线 P1Q1，P1R1，垂足分别为 Q1，R1，过 P2分别作 x 轴、y 轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为 Q 2，R 2，求矩形 O Q 1P1 R 1和 O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小（一一）（5）如图，正比例函数y=kx（k0）和反比例函数的图象相交于 A、C两点，过 A作 x 轴垂线交 x 轴于 B，连接 BC，若ABC面积为 S，则 S=_（一一一）（一一二）第（5）题图第（6）题图（一一三）（6）如图在 RtABO中，顶点 A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB x轴于 B且 SABO=（一一四）求这两个函数的解析式；（一一五）求直线与双曲线的两个交点A、C 的坐标和 AOC的面积（一一六）（7）如图，已知正方形OABC 的面积为 9，点 O为坐标原点，点 A、C分别在 x 轴、y 轴上，点 B在函数（k0，x0）的图象上，点 P（m，n）是函数（k0，x0）的图象上任意一点，过P分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足为 E、F，设矩形 OEPF 在正方形 OABC 以外的部分的面积为S（一一七）求 B点坐标和 k 的值；（一一八）当时，求点 P的坐标；（一一九）写出 S关于 m的函数关系式（一二）答案：（1）D；（2）C；（3）6；（一二一）（4），矩形 O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2 的周长为，前者大（一二二）（5）1（一二三）（6）双曲线为，直线为；（一二四）直线与两轴的交点分别为（0，）和（，0），且 A（1，）和 C（，1），（一二五）因此面积为 4（一二六）（7）B（3，3），；（一二七）时，E（6，0），；（一二八）（一二九）6综合应用（一三）（1）若函数 y=k1x（k10）和函数（k2 0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和 k2（）（一三一）A互为倒数 B符号相同 C绝对值相等 D符号相反（一三二）（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于 A、B两点：A（，1），B（1，n）（一三三）求反比例函数和一次函数的解析式；（一三四）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围（一三五）（3）如图所示，已知一次函数（k0）的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B两点，且与反比例函数（m 0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于 x 轴，垂足为 D，若 OA=OB=OD=1（一三六）求点 A、B、D的坐标；（一三七）求一次函数和反比例函数的解析式（一三八）（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于 A、B两点，连结 OC，OD（O是坐标原点）（一三九）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；（一四）双曲线上是否存在一点P，使得 POC 和POD 的面积相等若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由（一四一）（5）不解方程，判断下列方程解的个数（一四二）；（一四三）答案：（一四四）（1）D（一四五）（2）反比例函数为，一次函数为；（一四六）范围是或（一四七）（3）A（0，），B（0，1），D（1，0）；（一四八）一次函数为，反比例函数为（一四九）（4）反比例函数为，；（一五）存在（2，2）（一五一）（5）构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；（一五二）构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解