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2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）-1-/13 2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）本试卷共4 页，满分150 分，考试时间120 分钟。祝考试顺利注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。3.填空题和解答题用0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。1、已知|(1,0)(0,1),|(1,1)(1,1),Pa ammRQb bnnR是两个向量集合，则PQA 1，1 B.-1，1 C.1，0 D.0，1 2.设 a 为非零实数，函数11(,)1axyxRxaxa且的反函数是A、11(,)1axyxRxaxa且 B、11(,)1axyxRxaxa且C、1(,1)(1)xyxRxax且 D、1(,1)(1)xyxRxax且3、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和 n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为A、13 B、14C、16 D、1124.函数cos(2)26yx的图象F按向量a平移到F,F的函数解析式为(),yf x当()yf x为奇函数时，向量a可以等于.(,2)6A.(,2)6B.(,2)6C.(,2)6D5.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为.18A.24B.30C.36D6.设222212012122).2nnnnnxaa xa xaxax（，则2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）-2-/13 22024213521lim(.)(.)nnnaaaaaaaa.1A.0B.1C2.2D7.已知双曲线22122xy的准线过椭圆22214xyb的焦点，则直线2ykx与椭圆至多有一个交点的充要条件是A.1 1,2 2K B.11,22KC.22,22K D.22,22K8.在“家电下乡”活动中，某厂要将100 台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4 辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用。每辆甲型货车运输费用400 元，可装洗衣机20 台；每辆乙型货车运输费用 300 元，可装洗衣机10 台。若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为A.2000 元 B.2200元 C.2400元 D.2800元9.设球的半径为时间t的函数R t。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径A.成正比，比例系数为C B.成正比，比例系数为2CC.成反比，比例系数为C D.成反比，比例系数为2C10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：他们研究过图1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2 中的 1，4，9，16，这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是A.289 B.1024 C.1225 D.1378 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）-3-/13 11.已知关于x的不等式11axx0 的解集是1(,1)(,)2.则a .12.样本容量为200 的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在6,10)内的频数为，数据落在2,10)内的概率约为 .13.如图,卫星和地面之间的电视信号沿直线传播,电视信号能够传送到达的地面区域,称为这个卫星的覆盖区域.为了转播2008 年北京奥运会,我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36000km.已知地球半径约为6400km,则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 km.(结果中保留反余弦的符号).14.已知函数()()cossin,4f xfxx则()4f的值为 .15已知数列na满足：1a m（m 为正整数），1,231,nnnnnaaaaa当为偶数时，当为奇数时。若6a 1，则 m所有可能的取值为_。三、解答题：本大题共6 小题，共75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16（本小题满分10 分）（注意：在试题卷上作答无效）一个盒子里装有4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量xy，求的分布列和数学期望。17（本小题满分12 分）（注意：在试题卷上作答无效）已知向量(cos,sin),(cos,sin),(1,0)aaa bc2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）-4-/13（）求向量bc的长度的最大值；（）设a4，且()abc，求cos的值。18（本小题满分12 分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥SABCD 的底面是正方形，SD平面 ABCD，SD=2a，2ADa点 E是 SD上的点，且(02)DEa（）求证：对任意的(0,2，都有ACBE（）设二面角C AED 的大小为，直线BE 与平面ABCD所成的角为，若tantan1，求的值19、（本小题满分13 分）（注意：在试题卷上作答无效）已知数列na的前 n 项和11()22nnnSa（n 为正整数）。（）令2nnnba，求证数列nb是等差数列，并求数列na的通项公式；（）令1nnncan，12.nnTccc试比较nT与521nn的大小，并予以证明。20、（本小题满分14 分）（注意：在试题卷上作答无效）过抛物线22(0)ypx p的对称轴上一点,00A aa的直线与抛物线相交于M、N2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）-5-/13 两点，自M、N向直线:l xa作垂线，垂足分别为1M、1N。（）当2pa时，求证：1AM1AN；（）记1AMM、11AM N、1ANN的面积分别为1S、2S、3S，是否存在，使得对任意的0a，都有2212SSS成立。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。21.(本小题满分14 分)（注意：在试题卷上作答无效）在R 上 定 义 运 算1:43pqpcqbbc（b、c为 实 常 数）。记212fc，22fb，R.令21fff.如果函数f在1处有极什43,试确定 b、c 的值；求曲线yf上斜率为c 的切线与该曲线的公共点；记|11g xfxx的最大值为M.若Mk对任意的b、c 恒成立，试示k的最大值。2009 年高考湖北理科数学卷解析1【答案】A【解析】因为(1,)(1,1)ambnn代入选项可得1,1PQ故选 A.2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）-6-/13 2【答案】D【解析】同文2 3【答案】C【解析】因为22()()2()mninmimnnmi 为实数所以22nm 故 mn 则可以取1、26，共 6 种可能，所以1166616PCC4【答案】B【解析】同文科7 5【答案】C【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是24C，顺序有33A 种，而甲乙被分在同一个班的有33A 种，所以种数是23343330C AA6【答案】B【解析】令0 x得2021()22nna令1x时201222(1)2nnaaaa令1x时201222(1)2nnaaaa两式相加得：2202222(1)(1)222nnnaaa两式相减得：22132122(1)(1)222nnnaaa代入极限式可得，故选B 7【答案】A【解析】易得准线方程是2212axb所以222241cabb即23b所以方程是22143xy联立2 ykx可得22 3+(4k+16k)40 xx由0可解得 A 8【答案】B【解析】同文8 9.【答案】D【解析】由题意可知球的体积为34()()3V tR t，则2()4()()cVtRt R t，由此可得4()()()cR tR t R t，而球的表面积为2()4()S tRt，所以2()4()8()()vS tR tR t R t表，2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）-7-/13 即228()()24()()()()()()ccvR t R tR t R tR tR t R tR t表，故选 D 10.【答案】C【解析】同文10 11.【答案】-2【解析】由不等式判断可得a0 且不等式等价于1(1)()0a xxa由解集特点可得11022aaa且12.【答案】64 0.4【解析】同文15 13.【答案】12800arccos853【解析】如图所示，可得AO=42400，则在Rt ABO中可得 cosAOB=853所以8212800arccos53lRAOB R14.【答案】1【解析】因为()()sincos4fxfxx所以()()sincos4444ff()214f故()()cossin()144444fff15.【答案】4 5 32【解析】（1）若1am为偶数，则12a为偶,故223 a224amma当4m仍为偶数时，46832mmaa故13232mm当4m为奇数时，4333114aam63144ma故31414m得 m=4。（2）若1am为奇数，则213131aam为偶数，故3312ma必为偶数63116ma，所以3116m=1 可得 m=5 16.解析：依题意，可分别取5、6、11 取，则有O B C A 2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）-8-/13 1123(5),(6),(7)441616164321(8),(9),(10),(11)16161616ppppppp的分布列为5 6 7 8 9 10 11 p1162163164163162161161234321567891011816161616161616E.17.解析：（1）解法 1：(cos1,sin),bc=则222|(cos1)sin2(1cos).bc21cos1,0|4bc，即0|2.bc当cos1时，有|2,bc所以向量bc的长度的最大值为2.解法 2：|1b|=，|1c，|2|bc|b+c当cos1时，有|(2,0)bc|=，即|2bc|=，bc的长度的最大值为2.（2）解法 1：由已知可得(cos1,sin),bc=()coscossinsincoscos()cosa bc。a(b+c)，()0abc，即cos()cos。由4，得cos()cos44，即2()44kkz。22()4kkkz或，,于是cos0cos1或。解法 2：若4，则22(,)22a，又由(cos,sin)b，(1,0)c得22222()(,)(cos1,sin)cossin22222abca(b+c)，()0abc，即cos(cos1)0sin1cos，平方后化简得cos(cos1)02009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）-9-/13 解得cos0或cos1，经检验，cos0cos1或即为所求18.（）证法1：如图 1，连接 BE、BD，由地面 ABCD是正方形可得AC BD。SD 平面 ABCD，BD是 BE在平面 ABCD 上的射影，AC BE（）解法1：如图 1，由 SD 平面 ABCD知，DBE=,SD 平面 ABCD，CD平面 ABCD,SD CD。又底面 ABCD是正方形，CDAD，而 SD AD=D，CD 平面 SAD.连接 AE、CE，过点 D在平面 SAD内作 DE AE于 F，连接 CF，则 CFAE，故 CDF是二面角C-AE-D 的平面角，即CDF=。在 Rt BDE中，BD=2a，DE=atan2DEBD在 Rt ADE中,22,2ADa DEaAEa从而222AD DEaDFAE在Rt CDF中，22tanCDDF.由tantan1，得2222.12222.由(0,2，解得2，即为所求.（I）证法 2：以 D为原点，,DA DC DS的方向分别作为x，y，z 轴的正方向建立如图 2 所示的空间直角坐标系，则 D（0，0，0），A（2，0，0），B（2a，2a，0），C（0，2a，0），E（0，0a），(2,2,0),(2,2,)ACaaBEaaa2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）-10-/13 222200AC BEaaa，即ACBE。（II）解法 2：由（I）得(2,0,),(0,2,),(2,2,)EAaa ECaaBEaaa.设平面 ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由nEAEC，n得0,2xz0,z2n(,2)0,2yz0,n EAn EC即取，得。易知平面ABCD 与平面 ADE的一个法向量分别为(0,0,2)DCaDSa 与（0，2,0）.22sin,cos422DC nDS BEDSBEDCn.0，,02，222tantansincos22422.由于(0,2，解得2，即为所求。19.解析：（I）在11()22nnnSa中，令 n=1，可得1112nSaa，即112a当2n时，21111111()2()22nnnnnnnnnSaaSSaa，11n1112a(),212nnnnnaaan即2.112,1,n21nnnnnnbabbbn即当时，b.又1121,ba数列nb是首项和公差均为1 的等差数列.于是1(1)12,2nnnnnnbnnaa.(II)由（I）得11(1)()2nnnncann，所以23111123()4()(1)()2222nnTn2341111112()3()4()(1)()22222nnTn由-得231111111()()()(1)()22222nnnTn2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）-11-/13 111111()133421(1)()122212332nnnnnnnnT535(3)(221)3212212(21)nnnnnnnnnTnnn于是确定521nnTn与的大小关系等价于比较221nn与的大小由2345221 1;2221;2231;2241;225;可猜想当3221.nnn时，证明如下：证法 1：（1）当 n=3 时，由上验算显示成立。（2）假设1nk时122 22(21)422(1)1(21)2(1)1kkkkkkk所以当1nk时猜想也成立综合（1）（2）可知，对一切3n的正整数，都有221.nn证法 2：当3n时01210112(11)2221nnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCnn综上所述，当1,2n时521nnTn，当3n时521nnTn20 题。本小题主要考察抛物线的定义和几何性质等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力。（14 分）解：依题意，可设直线MN 的方程为1122,(,),(,)xmya M xyN xy，则有12(,),(,)Ma yNa y由22xmyaypx消去 x 可得2220ympyap从而有121222yympy yap于是21212()22()xxm yyam pa又由2112ypx，2122ypx可得222121222()(2)44y yapx xapp2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）-12-/13（）如图1，当2pa时，点(,0)2pA即为抛物线的焦点，l为其准线2px此时1112(,),(,),22PPMyNy并由可得212y yp证法 1：1112(,),(,)AMp yANp y2221112110,AMANpy yppAMAN即证法 2：1112,AMANyyKKpp1121211221,AMANy ypKKAMANpp即.()存在4，使得对任意的0a，都有22134SS S成立，证明如下：证法 1：记直线l与 x 轴的交点为1A,则1OAOAa。于是有11111121111231112211)221211)22SMMA MxaySM NAAa yySNNA Nxay（2221312112222212121212124()()()()4()SS Sa yyxayxayayyy yx xa xxay y将、代入上式化简可得2222222(48)2(24)4(2)am papapam paa p m pa2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）-13-/13 上式恒成立，即对任意22130,4aSS S成立证法 2：如图 2，连接11,MNNM,则由212112,2y yap ypx可得1122211122222OMONypypyypKKxyy yapa,所以直线1MN经过原点O，同理可证直线1NM也经过原点O 又1OAOAa设1111121112,M AhN AhMMdNNd则11 121212322111,2()(),.222Sd h Sa hha hhSd h（2）当1()byfx时，函数得对称轴x=b 位于区间 1,1之外此时max(1),(1),()Mggg b由2(1)(1)4,()(1)(1)0ffbfbfb有若10,max(1),()bgg b则f(1)f(-1)f(b),g(-1)于是2111max(1),()(1)()(1)()(1)222Mffbffbffbb若01b，则f(=1)f(1)f(b)，max(1),()gg bg(1)于是21111max(1),()(1)()(1)()(1)2222Mffbffbffbb综上，对任意的b、c 都有12M而当，10,2bc时，21()2g xx在区间 1,1上的最大值12M故MK对任意的b，c 恒成立的k 的最大值为12