考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)技巧规范篇第一篇第2讲四种策略搞定填空题(20200812123245).pdf

第 2 讲四种策略搞定填空题题型分析 高考展望 填空题的基本特点是：(1)题目小巧灵活，结构简单；(2)答案简短明确，不反映过程，只要结果；(3)填空题根据填写内容，可分为定量型(填写数值，数集或数量关系)和定性型(填写某种性质或是有某种性质的对象).根据填空题的特点，在解答时要做到四个字“快”“稳”“全”“细”.快 运算要快，力戒小题大做；稳 变形要稳，不可操之过急；全 答案要全，力避残缺不齐；细 审题要细，不能粗心大意.高考必会题型方法一直接法根据题目中给出的条件，通过数学计算找出正确答案.解决此类问题需要直接从题设条件出发，利用有关性质或结论等，通过巧妙变化，简化计算过程.解题过程要灵活地运用相关的运算规律和技巧，合理转化、巧妙处理已知条件.例 1在 ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且cos Bcos Cb2ac，则角 B 的值为_.答案23解析方法一由正弦定理，即asin Absin Bcsin C2R，得 a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，代入cos Bcos Cb2ac，得cos Bcos Csin B2sin Asin C，即 2sin Acos Bsin Ccos Bcos Csin B0，所以 2sin Acos Bsin(BC)0.在 ABC 中，sin(BC)sin A，所以 2sin Acos Bsin A0，又 sin A0，所以 cos B12.又角 B 为ABC 的内角，所以B23.方法二由余弦定理，即cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab，代入cos Bcos Cb2ac，得a2c2b22ac2aba2b2c2b2a c，整理，得a2c2b2 ac，所以 cos Ba2 c2b22acac2ac12，又角 B 为ABC 的内角，所以B23.点评直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.变式训练1已知数列 an满足 a11，an1 an2n，则 S2 016_.答案321 0083解析由题意得an an12n，an2 an1 2n1?an2an2，因此 a1，a3，a5，构成一个以1 为首项，2 为公比的等比数列；a2，a4，a6，构成一个以2 为首项，2 为公比的等比数列；从而 S2 016(a1a3a2 015)(a2a4a2 016)121 008122121 008123(21 0081).方法二特例法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例.例 2(1)若函数 f(x)sin 2xacos 2x 的图象关于直线x8对称，则 a_.(2)在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c.若 c2(a b)26，C3，则 ABC的面积是 _.答案(1)1(2)323解析(1)由题意，对任意的xR，有 f(8x)f(8x)，令 x8，得 f(0)f(4)，得 a 1.(2)方法一ABC 为等边三角形时满足条件，则 SABC332.方法二c2(ab)26，c2 a2b22ab 6.C3，c2a2b22abcos 3a2b2ab.由 得 ab60，即 ab6.SABC12absin C12632332.点评求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.变式训练2(1)若 f(x)ln(e3x1)ax 是偶函数，则a_.(2)如图，在 ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB，AC 于不同的两点 M，N，若 ABmAM，ACnAN，则 mn 的值为 _.答案(1)32(2)2解析(1)由题意知，函数f(x)的定义域为R，又因为函数为偶函数，所以f(13)f(13)0，即 ln(e1 1)a3 ln(e1)a30，ln e123a0，解得 a32，将 a32代入原函数，检验知 f(x)是偶函数，故 a32.(2)用特殊值法，可设 ABACBM1，因为 ABmAM，所以 m12，过点 C 引 AM 的平行线，并延长MN，两线相交于点E，则 AEBC2OC，易得 AN23AC，因为 AC nAN，所以 n32，可知 mn12322.方法三数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果.这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率或截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确、规范地作出相应的图形.例 3(1)已知点P(x，y)的坐标x，y 满足x2y 10，|x|y10，则 x2 y2 6x9 的取值范围是_.(2)已知函数f(x)x|x2|，则不等式f(2x)f(1)的解集为 _.答案(1)2，16(2)1，)解析(1)画出可行域如图，所求的 x2y26x9(x3)2y2是点 Q(3，0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线 xy10(x0)的距离 d 的平方，d2min|301|12 122(2)22.最大值为点Q 到点 A 的距离的平方，d2max16.取值范围是 2，16.(2)函数 yf(x)的图象如图，由不等式f(2x)f(1)知，2x21，从而得到不等式f(2x)f(1)的解集为 1，).点评数形结合在解答填空题中的应用，就是利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点.准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果.变式训练3已知函数f(x)log2x，x0，3x，x0且关于 x 的方程 f(x)xa0 有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是_.答案(1，)解析方程 f(x)xa0 的实根也就是函数y f(x)与 yax 的图象交点的横坐标，如图所示，作出两个函数的图象，显然当a1 时，两个函数图象有两个交点，当a1 时，两个函数图象的交点只有一个.所以实数a 的取值范围是(1，).方法四构造法构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法.例 4(1)若 aln 12 01712 017，b ln 12 01612 016，cln 12 01512 015，则 a，b，c的大小关系为 _.(2)如图，在边长为2 的正方形ABCD 中，点 E、F 分别是边AB、BC 的中点，AED、EBF、FCD 分别沿着DE、EF、FD 折起，使 A、B、C 三点重合于点A，若四面体AEFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为_.答案(1)abc(2)62解析(1)令 f(x)ln xx(0 x1)，则 f(x)1x1，0 x0，f(x)为增函数.又12 01712 01612 015，ab0，所以sin 35，cos 45不合题意，舍去，所以 tan 43，所以 tan 2 2tan 1tan22431432247.4.一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着1 点至 6 点，甲、乙二人各掷骰子一次，则甲掷得的向上的点数比乙大的概率为_.答案512解析一共有 36 种情况，其中甲掷得的向上的点数比乙大的有：(6，1)、(6，2)、(6，3)、(6，4)、(6，5)、(5，1)、(5，2)、(5，3)、(5，4)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(3，1)、(3，2)、(2，1)，共 15 种，所以所求概率为1536512.5.已知两个单位向量a，b 的夹角为60，cta(1t)b，若 b c0，则 t_.答案2解析方法一如图所示，在OAB 中，|OA|OB|1，AOB60，延长 BA 到 C 使 BOC90，则 A 为 BC 的中点，cOCOA ACOABA2ab，则 t2.方法二由已知 b c0，即 ta b(1t)b2 0，12t(1t)0，因此 t2.6.在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 a，b，c 成等差数列，则cos Acos C1 cos Acos C_.答案45解析令 a3，b4，c5，则 ABC 为直角三角形，且 cos A45，cos C0，代入所求式子，得cos Acos C1cos Acos C450145045.7.直线 ykx 3 与圆(x2)2(y3)24 相交于 M、N 两点，若|MN|2 3，则 k 的取值范围是 _.答案33，33解析由题意，得圆心到直线的距离d|k23 3|1 k2|2k|1k2，若|MN|2 3，则 4d2(3)2，解得33k33.8.设函数 f(x)x2x，x0，x2，x0，若 f(f(a)2，则实数a 的取值范围是 _.答案，2解析f(x)的图象如图，由图象知，满足 f(f(a)2 时，得 f(a)2，而满足f(a)2 时，得 a2.9.已知平行四边形ABCD，点 P 为四边形内部或者边界上任意一点，向量APxAByAD，则 0 x12，0 y23的概率是 _.答案13解析由平面向量基本定理及点P为 ABCD 内部或边界上任意一点，可知 0 x1且 0y1，又满足条件的x，y 满足 0 x12，0y23，所以 P(A)23121113.10.某程序框图如图所示，若a3，则该程序运行后，输出的x 值为 _.答案31解析第一次循环，x2317，n2；第二次循环，x27115，n3；第三次循环，x2151 31，n 4，程序结束，故输出x31.11.e416，e525，e636(其中 e 为自然对数的底数)的大小关系是 _.答案e416e5250 得 x2，即函数 f(x)在(2，)上单调递增，因此有 f(4)f(5)f(6)，即e416e525e636.12.设变量 x，y 满足约束条件y3x2，x2y10，2xy8，则yx1的最小值是 _.答案1解析作出变量x，y 满足的平面区域，如图阴影部分所示，yx1表示的几何意义是平面区域内的一点与点P(1，0)连线的斜率，结合图形可知，PA 的斜率最小，所以yx1的最小值为2311.13.已知椭圆x24y231 的左焦点F，直线 xm 与椭圆相交于点A，B，当 FAB 的周长最大时，FAB 的面积是 _.答案3解析不妨设 A(2cos ，3sin )，(0，)，FAB 的周长为2(|AF|3sin )2(2cos 3sin )44sin(6).当 3，即 A(1，32)时，FAB 的周长最大.所以 FAB 的面积为S12233.14.三棱锥 PABC 中，D，E 分别为 PB，PC 的中点，记三棱锥DABE 的体积为V1，PABC 的体积为V2，则V1V2_.答案14解析如图，设 SABD S1，SPABS2，E 到平面 ABD 的距离为 h1，C 到平面 PAB 的距离为h2，则 S22S1，h2 2h1，V113S1h1，V213S2h2，所以V1V2S1h1S2h214.15.已知函数f(x)2x a，g(x)xex，若对任意x10，1，存在 x21，1，使 f(x1)g(x2)成立，则实数a 的取值范围为_.答案2e，1e解析f(x)2xa 为增函数，x10，1，f(x1)的范围是 a，2a，易知 g(x)也为增函数，当 x21，1时，g(x2)的范围是 1e，e，由题意得 a1e，2ae.2ea1e.16.若数列 an，bn的通项公式分别是an(1)n2 016a，bn2 1n2 017n，且 anbn，对任意 n N*恒成立，则实数a 的取值范围是 _.答案2，32)解析由题意，当n 为偶数时，a21n恒成立，可得 a32；当 n 为奇数时，a21n恒成立，可得 a 2，故 2a32.17.设 f(x)是 x212x6展开式的中间项，若f(x)mx 在区间22，2 上恒成立，则实数m 的取值范围是 _.答案5，)解析由于 Tk1Ck612kx123k，故展开式中间的一项为T31C36123 x352x3，f(x)mx?52x3mx 在22，2 上恒成立，即 m52x2，又52x25，故实数 m 的取值范围是m5.18.设 M，N 分别是曲线f(x)x3 x2(xe)与 g(x)aln x(xe)上一点，MON 是以 O为直角顶点的直角三角形(其中 O 为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数 a 的取值范围是 _.答案(0，2 e2e1解析 MON 是以 O 为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点恰好在y 轴上，M，N 两点的横坐标互为相反数，设 M(t，t3 t2)，N(t，aln t)(te)，由题意知 OM ON0，有 t2(t2 t3)aln t0，整理得1a(t1)ln t(te)，令 h(x)(x1)ln x(xe)，则 h(x)ln x11x0，h(x)在e，)上是增函数，h(t)h(e)e12，1ae 12，解得 0 a2e2e1.