重庆市云阳县2019-2020学年高二上学期期中考试试题数学(文)【含解析】.pdf

重庆市云阳县2019-2020 学年高二上学期期中考试试题数学（文）一、选择题1.不等式112x的解集是（）A.1,0,2B.1(0,)2C.,02,D.(0,2)【答案】C【解析】【分析】移项通分后将分式不等式转化为一元二次不等式，解一元二次不等式求得结果.【详解】由112x得：112022xxx，即220 x x，解得：0 x或2x不等式的解集为：,02,故选：C【点睛】本题考查分式不等式的求解，关键是能够通过移项通分将问题转化为一元二次不等式的求解问题.2.椭圆22149xy的焦点坐标是（）A.(0,5)B.(5,0)C.(13,0)D.(0,13)【答案】A【解析】【分析】由椭圆方程得到椭圆的焦点在y轴上，且5c，即可求解椭圆的焦点坐标，得到答案.【详解】由题意，椭圆22149xy，即22194yx，可得椭圆的焦点在y轴上，且945c，所以椭圆的焦点坐标为(0,5).故选：A.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，以及椭圆的几何性质，其中解答中熟记椭圆的标准方程，以及熟练应用椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.已知nS是等差数列na的前n项和，若67824aaa，则13S等于（）A.26 B.52 C.76 D.104【答案】D【解析】【分析】根据等差数列下标和性质可求得7a，由13713Sa可求得结果.【详解】由等差数列性质可得：6787324aaaa，解得：78a11313713131381042aaSa故选：D【点睛】本题考查等差数列性质的应用，关键是能够熟练应用等差数列下标和的性质，属于基础题.4.已知等比数列na中，520a，155a，则20a的值是（）A.52B.52C.5 D.5【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为q，列出方程组，求得512q，利用等比数列的通项公式，即可求解20a的值，得到答案.【详解】由题意，设等比数列的公比为q，因为520a，155a，可得45114151205aa qaa q，所以1014q，所以512q，当512q时，1532051520()22aa q；当512q时，1532051520()22aa q，所以20a的值是52.故选：B.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，列出方程组求得等比数列的公比，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.双曲线22491xy的渐近线方程是（）A.490 xyB.940 xyC.230 xyD.320 xy【答案】C【解析】【分析】把双曲线方程化为2211149xy，得到11,23ab，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由题意，双曲线22491xy可化为2211149xy，所以11,23ab，所以双曲线的渐近线方程为23byxxa，即230 xy.故选：C.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的渐近线方程的形式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6.已知实数x满足：():3p xx；():q xxa.若()p x是()q x的充分不必要条件，则实数a一定满足（）A.3aB.3aC.3aD.3a【答案】D【解析】【分析】由推出关系可得到a的取值范围.【详解】由题意可得：3xxa，xa3x3a故选：D【点睛】本题考查根据充分不必要条件求解参数范围问题，关键是能够明确推出关系，属于基础题.7.命题p：“0,)x，有0 xx成立.”则命题p的否定是（）A.:(,0)px，有0 xx成立.B.:(,0)px，有0 xx成立.C.:0,)px，有0 xx成立D.:0,)px，有0 xx成立.【答案】C【解析】【分析】根据含全称量词命题的否定规则可直接写出结果.【详解】由含全称量词命题的否定的规则可得p：0,x，有0 xx成立故选：C【点睛】本题考查含量词的命题的否定，关键是熟练掌握否定的规则，即全称量词变特称量词、特称量词变全称量词，只否定结论.8.已知抛物线2:2(0)Cypx p的焦点为F，它的准线与对称轴交点为A,若C上一点P满足横坐标与纵坐标之比为3，且PAF的面积为2 3，则点P的坐标是（）A.(6,2)B.(23,2)C.(62,2 6)D.(12,4 3)【答案】C【解析】【分析】设为(3,)Pa a，代入抛物线的方程，求得2 3ap，得到(6,2 3)Ppp，根据PAF的面积，解得2p，即可求解，得到答案.【详解】由题意，抛物线2:2(0)Cypx p的焦点(,0)2pF，它的准线与对称轴交点(,0)2pA，因为抛物线C上一点P满足横坐标与纵坐标之比为3，可设为(3,)Pa a，代入抛物线的方程，可得223apa，解得2 3ap，即(6,2 3)Ppp，又由PAF的面积为2 3，即12 32 32pp，解得2p，所以点(62,2 6)P.故选：C.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的标准方程，合理应用抛物线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知函数1()xf xx,设()naf n，nN,则数列na满足：1na；1na；数列na是递增数列；数列na是递减数列.其中正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求得数列的通项公式1nnan，化简为11nan，即可得到1na，再由10nnaa，得到1nnaa，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数1()xf xx,设()naf n，nN，即1nnan，因为111nnann，因为nN，所以10n，所以1na，所以正确；又由11111111011(1)nnaannnnn n，即1nnaa，所以数列na是递增数列，所以正确.故选：B.【点睛】本题主要考查了数列的通项公式，以及数列的单调性的判定，其中解答中熟练应用数列的通项公式，熟练数列的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.已知实数x，y满足：55xy且33xy，则 3xy 的取值范围是（）A.16316xyB.11311xyC.434xyD.13313xy【答案】B【解析】【分析】设3()()xym xyn xy，得出3()2()xyxyxy，结合不等式的性质，即可求解，得到答案.【详解】由题意，设3()()xym xyn xy，整理得3()()xymn xmn y，可得31mnmn，解得1,2mn，即3()2()xyxyxy，又由55xy且33xy，则62()6xy，所以11()2()11xyxy，即11311xy.故选：B.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质的应用，其中解答中得出3()2()xyxyxy，再结合不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.11.若,a bR满足231ab，则关于23ab的最小值说法正确的是（）A.当且仅当15ab时，取得最小值25.B.当且仅当14a，16b时，取得最小值26.C.当且仅当14ab时，取得最小值20.D.当且仅当15a，13b时，取得最小值19.【答案】A【解析】【分析】由232366()(23)49baabababab，结合基本不等式，即可求解，得到答案.【详解】由题意，因为,a bR满足231ab，则23236666()(23)4913225babaababababab，当且仅当66baab，即ab时，又由231ab，解得15ab时等号成立，即当且仅当15ab时，取得最小值25.故选：A.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最小值问题，其中解答中合理利用基本不等式的“1”的代换求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12.如图，双曲线C的焦点是1F，2F，顶点是1A，2A，点P在曲线C上，圆O以线段12A A为直径.点M是直线1FP与圆O的切点，且点M是线段1FP的中点，则双曲线C的离心率是（）A.2B.3C.2 D.5【答案】D【解析】【分析】连接2,OMPF，根据圆的性质，可得1OMPF，又由,O M分别为121,F FPF的中点，得到12PFPF，且222PFOMa，再由双曲线的定义，得到14PFa，利用勾股定理得到,a c的方程，即可求解.【详解】由题意，连接2,OMPF，根据圆的性质，可得1OMPF，又由,O M分别为121,F FPF的中点，所以2/OMPF，则12PFPF，且222PFOMa，又由双曲线的定义，可得122PFPFa，所以1224PFPFaa，在直角12PF F中，2221212PFPFF F，即222(4)(2)(2)aac，整理得225ac，所以5cea.故选：D.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义应用，离心率的求解，以及圆的性质的应用，其中解答中合理利用圆的性质和双曲线的定义，利用勾股定理列出关于,a c的方程是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.二、填空题13.抛物线22yx的准线方程为_【答案】18y【解析】【分析】先将抛物线化为标准方程，进而可得出准线方程.【详解】因为抛物线22yx的标准方程为：212xy，因此其准线方程为：18y.故答案为18y【点睛】本题主要考查抛物线的准线，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.14.已知数列na的前n项和1nSn,则5a的值是 _.【答案】120【解析】【分析】利用554aSS可求得结果.【详解】由1nSn得：515S，414S5541115420aSS故答案为：120【点睛】本题考查数列中na与nS关系的应用，关键是熟练掌握12nnnaSSn，属于基础题.15.关于函数2()(1)fxx，2()2g xxx.有下列命题：对xR,恒有()()fxg x成立.12,x xR,使得12fxg x成立.“若()()f ag b,则有0a且0b.”的否命题.“若0a且0b,则有()()g af b.”的逆否命题.其中，真命题有_.（只需填序号）【答案】【解析】【分析】设2210h xfxg xx，可判定是真命题；令121,1xx，得到12fxg x，可判定是真命题；根据二次函数的性质和四种命题的等价关系，可判定是真命题，是假命题.【详解】由题意，设222(1)(2)210h xfxg xxxxx，所以fxg x，即对xR,恒有()()f xg x成立，所以是真命题；令121,1xx，可得(1)0,(1)1fg，此时12fxg x，即12,xxR,使得12fxg x成立，所以是真命题；因为当0a时，函数2(1)f aa在(,0)a单调递减，所以01f af，当0b时，函数22()2(1)1g bbbb在(0,)单调递减，所以(0)0)gg b，所以命题“若0a且0b,则有()()g af b”是真命题，所以是假命题；又由命题“若0a且0b,则有()()g af b”与命题“若()()f ag b,则有0a且0b”互为逆否关系，所以命题“若()()f ag b,则有0a且0b”是真命题，所以是真命题，综上可得，是真命题.故答案为：.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，其中解答中数练应用一元二次函数的图象与性质，以及四种命题的等价关系，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.16.下图 1，是某设计员为一种商品设计的平面logo样式.主体是由内而外的三个正方形构成.该图的设计构思如图2,中间正方形A B C D的四个顶点,分别在最外围正方形ABCD的边上,且分所在边为a，b两段.设中间阴影部分的面积为S阴影，最内正方形A B C D的面积为S内.当10ab，且SS阴影内取最大值时，定型该logo的最终样式，则此时a，b的取值分别为 _.【答案】105 22105 22ab或10522105 22ab【解析】【分析】设abt，其中1010t，求得1010,22ttab，根据图形求得S阴影和S内的表达式，得到22212()(100)2SSab abtt阴影内，利用基本不等式，即可求解.【详解】由题意，设abt，其中1010t，又由10ab，联立方程组可得1010,22ttab，又由阴影部分的三角形为直角边分别为,a b的直角三角形，所以阴影部分的面积为1422Sabab阴影，最内正方形A B C D的边长为a b，所以面积为2()Sab内，则2222101012()2(100)222ttSSab abttt阴影内2221100()125022tt，当且仅当22100tt时，即5 2t时等号成立，当5 2t时，105 2105 2,22ab；当5 2t时，105 2105 2,22ab.故答案为：105 22105 22ab或105 22105 22ab.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中认真审题，得到SS阴影内的表达式，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题17.已知:(7)(5)0pxx；:(4)(8)0qxx.(1)当pq为真时，求实数x的取值范围；(2)当pq为假，同时pq为真时，求实数x的取值范围.【答案】(1)5,4(2)8,5)(4,7【解析】【分析】解不等式求得p为真、q为真分别对应的解集；（1）由pq为真可得,p q全真，两解集取交集可得结果；（2）由pq和pq的真假性可得,p q一真一假，则分为p真q假和p假q真两种情况求得解集.【详解】当p为真时，由750 xx得：57x当q为真时，由480 xx得：84x（1）当pq为真时，,p q均为真54x，即x的取值范围为5,4（2）当pq假，pq为真时，,p q一真一假当p真q假时，47x；当p假q真时，85xx的取值范围为：8,54,7【点睛】本题考查根据复合命题的真假性求解参数范围的问题，关键是能够准确确定两个基础命题的真假性.18.已知函数2()24fxxx.(1)关于x的一元二次方程2()230f xmxm的两个根是1x，2x,当122xx时，求实数m的取值范围；(2)求关于x的不等式()2440f xmxm的解集.【答 案】（1）2(2,)3；（2）当1m时，解 集 为(,2)(2,)；当1m时，解 集(,2)(2,)m；当1m时，解集(,2)(2,)m.【解析】【分析】(1)设22()2(1)43g xxmxm，结合二次函数的图象与性质，得到(2)0g，即可求解，得到答案；(2)关于x的不等式可化为(2)(2)0 xxm，分类讨论，即可求解.【详解】(1)由题意，设222()()232(1)43g xf xmxmxmxm,若方程2()230f xmxm的两个根满足122xx，结合二次函数的图象与性质，可得只需(2)0g，即23440mm，解得223m，即实数m的取值范围是2(2,)3.(2)关于x的不等式()2440f xmxm，可得22(1)40 xmxm，即(2)(2)0 xxm，当1m时，可得2(2)0 x，解得2x，所以不等式的解集为(,2)(2,)；当1m时，解得2xm或2x，所以不等式的解集(,2)(2,)m；当1m时，解得2x或2xm，所以不等式的解集(,2)(2,)m.【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，以及一元二次不等式的解法，其中解答熟练应用一元二次函数的图象与性质，以及熟记应用一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19.已知na满足11nnanan，且11a.（1）求数列na的通项公式；（2）若2nnabn,则求出数列nb的前n项和nS.【答案】（1）1nan；（2）342(1)(223)nSnnn.【解析】【分析】(1)由11nnanan，且11a，得到321121nnnaaaaaaaa，即可求解；(2)由11 11(2)22nbn nnn，利用裂项法，即可求解.【详解】(1)由题意，数列na满足11nnanan，且11a，可得3211211212131nnnanaaaananaa，即数列的通项公式为1nan.(2)由1111(2)22nbn nnn，所以111111111112132435112nSnnnn1 111113233232 121222(1)(2)42(1)(2)nnnnnnnn.【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的求解，以及数列的“裂项法”求和，其中解答中数列利用数列的递推关系式，合理利用“累积法”和“裂项法”求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20.过抛物线22(0)ypx p焦点F作倾斜角为4的直线，交抛物线于A，B两点，点A在x轴上方.(1)当线段AB中点的纵坐标是2 时，求抛物线的方程；(2)求AFBF的值.【答案】（1）24yx（2）32 2【解析】【分析】（1）求得抛物线的焦点坐标，设直线:2pAB xy，联立方程组，运用韦达定理和中点公式，求得p的值，即可得到抛物线的标准方程；（2）设直线:2pAB xy，联立方程组，解方程求得交点的纵坐标，再由抛物线的定义，化简即可求解.【详解】(1)由题意，设211,2yAyp，222,2yByp，直线:2pAB xy，则由222pxyypx，整理得2220ypyp，可得122yyp，因为线段AB的中点的纵坐标是2，可得1224yyp，解得2p，所以抛物线的方程为24yx.（2）由222pxyypx，可得2220ypyp，解得1(21)yp，2(21)yp，由抛物线的方程，可得221212,22yyxxpp，由抛物线定义212212222222222232 2222ypypAFpypBFypy.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、方程以及简单的几何性质的应用，其中解答中设出直线的方程，联立方程组，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21.已知数列na的前n项和22nSnn.数列nb是等比数列，且112ba，223ba.(1)分别求出数列na，nb的通项公式；(2)若nnnacb,则求出数列nc的前n项和nT.【答案】（1）21nan；12nnb（2）125102nnnT【解析】【分析】（1）运用数列的递推式1112),(nnnanS aSS，化简可得na，再由nb是等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解；（2）求得1212nnnnancb，利用乘公比错位相减法，即可求得数列的前n项和，得到答案.【详解】(1)由题意，数列na的前n项和22nSnn，当1n时，可得112123Sa，当2n时，2212(1)2(1)21nnnaSSnnnnn，当1n时，13a适合上式，所以数列的通项公式为21nan，又由1121ba，2232ba.因为数列nb是等比数列，即数列nb构成首项为1，公比为2q的等比数列，所以nb的通项公式为12nnb.(2)由1212nnnnancb，则数列nc的前n项和nT，可得012n 13572n12222nT；则123n13572n122222nT，两式相减，可得12113111212212222nnnnTn 1nn 1nn11(1)2n122n12n52232551222212，所以125102nnnT.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.22.已知椭圆E的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(1,0)F,2(1,0)F,短半轴长为2.(1)求椭圆E的标准方程；(2)过焦点2F的直线l交椭圆E于A，B两点，满足11F AF B,求直线l的方程.【答案】（1）22154xy；（2）220 xy或220 xy.【解析】【分析】(1)由题意，求得1c，2b，得到225abc，即可求得椭圆的标准方程；(2)设直线:1lxny，设1122(,),(,)A x yB xy，联立方程组，求得1212,yyy y，再根据11F AF B，代入直线的方程得到21212n1 y y2n yy40，代入求得n的值，即可求解.【详解】(1)由题意，椭圆E的两个焦点分别为1(1,0)F,2(1,0)F，短半轴长为2，可得1c，2b，则225abc，所以椭圆E的标准方程22154xy；(2)由题意知直线l与x轴不重合，设直线:1lxny，设1122(,),(,)A xyB xy，联立方程组2245201xyxny，整理得22458160nyny,可得1228n4n5yy，122164n5y y，又由11F AF B，则110F A F B，得11221,1,0 xyxy，代入直线可得11222,2,0nyynyy，即21212n1 y y2n yy40，代入可得222168nn1()2n()404n54n5，解得214n，所以直线l的方程为112xy，即直线l的方程为：220 xy或220 xy.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.