湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测试题数学(理)【含解析】.pdf

湖北省武汉市部分学校2020 届高三上学期起点质量监测试题数学（理）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2|20Ax xx，则AR（）A.|12xxB.|12xxC.|12x xx或D.|12x xx或【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式220 xx即可得出结果【详解】由220 xx得12x其在R上的补集为|12x xx或，故选 D【点睛】本题考查集合的补集，是一道基础题。2.设121izii，则|z（）A.0 B.1 C.5D.3【答案】B【解析】【分析】先将 z 分母实数化，然后直接求其模。【详解】11122=2=211121iiiiziiiiiiiz（）（）（）（）【点睛】本题考查复数的除法及模的运算，是一道基础题。3.已知双曲线222:116xyEm的离心率为54，则双曲线E的焦距为（）A.4 B.5 C.8 D.10【答案】D【解析】【分析】通过离心率和a的值可以求出c，进而可以求出焦距。【详解】有已知可得54ca，又4a，5c，焦距210c，故选：D。【点睛】本题考查双曲线特征量的计算，是一道基础题。4.已知，是两个不重合的平面，直线a，:p a，:q，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】通过面面平行的判定定理以及面面平行的性质，可以得到:p a不能推出:q，:q可以推出:p a。【详解】一个面上有两相交直线都和另一个面平行，则这两个面平行，所以:p a不能推出:q。两个平面平行，其中一个面上的任何一条直线都和另一个平面平行，所以:q可以推出:p a，所以p是q的必要不充分条件，故选：B。【点睛】本题考查面面平行的判定定理以及面面平行的性质，是一道基础题。5.已知函数()sincos()f xaxxxx aR为奇函数，则3f（）A.6B.36C.6D.36【答案】A【解析】【分析】通过()()022ff求出0a，得到()f x，即可以求出()3f。【详解】()sincos()f xaxxxx aR是奇函数sincos222sin()cos()22()222()222()(002)22aafaafffaa()cosf xxx()cos()3336f，故选：A【点睛】因为函数是奇函数，所以通过特殊值法，快速求出a的值，是一道简单题。6.已知曲线1:2sin2Cyx，2:sin 2cos2Cyxx，则下面结论正确的是（）A.把曲线1C向右平移8个长度单位得到曲线2CB.把曲线1C向左平移4个长度单位得到曲线2CC.把曲线2C向左平移4个长度单位得到曲线1CD.把曲线2C向右平移8个长度单位得到曲线1C【答案】D【解析】【分析】将2:sin 2cos2Cyxx通过合一公式化为2:2 sin(2)4Cyx向右平移8就可以得到1C。【详 解】2:sin 2cos22 sin(2)4Cyxxx，把 曲 线2C向 右 平 移8个 长 度 单 位 得2 sin2()2 sin 284yxx即为1C，故选：D。【点睛】本题考查函数的平移变换，是一道基础题。7.已知函数()xef xax.若()f x 没有零点，则实数a的取值范围是（）A.0,)eB.(0,1)C.(0,)eD.(0,1)【答案】A【解析】【分析】选择特殊值，当0a时，函数很明显没有零点，排除BCD。【详解】当0a时，()xef xx，令=0 xex，则=00 xxee，恒成立，=0 xex无解，即()xef xx无零点。故选：A。【点睛】此题时一道选择题，可以代特殊值然后排除，是一道简单题。8.已知三棱锥PABC的四个顶点均在球O的球面上，2PAPBPC，且PA，PB，PC两两互相垂直，则球O的体积为（）A.163B.8 3C.4 3D.2 3【答案】C【解析】【分析】三 棱 锥PABC的 外 接 球，正 好 是 以PA，PB，PC这 三 条 棱 构 成 的 正 方 体 的 外 接 球，直 径2222222 3，即可求出球的体积。【详解】22222222 3R，3R，3344(3)3334VR，故选：C。【点睛】本题通过PA，PB，PC两两互相垂直，可以构造以PA，PB，PC为相邻的3 条棱的正方体，构造一个正方体，该正方体的外接球和三棱锥的外接球一样，就方便求球的半径了。9.圆周率是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1 的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n个人说“能”，而有m个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率的近似值为（）A.mmnB.nmnC.4mmnD.4nmn【答案】C【解析】【分析】把每一个所写两数作为一个点的坐标，由题意可得与1 不能构成一个锐角三角形是指两个数构成点的坐标在圆221xy内，进一步得到21141 1+mm n，则答案可求。【详解】总人数为+m n，写出的+m n组数可以看作是+m n个点，满足与1 不能构成一个锐角三角形是指两个数构成的坐标在圆221xy内，则21141 1+mm n，即4+mm n，故选：C。【点睛】本题是古典概型和几何概型的实际应用，是一道中等难度的题目。10.已知P是椭圆22:14xyEm上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM，PN的斜率分别为1k，2120kk k，若12kk的最小值为1，则实数m的值为（）A.1 B.2 C.1 或 16 D.2 或 8【答案】A【解析】【分析】先假设出点M，N，P的坐标，然后表示出两斜率的关系，再由12kk最小值为1 运用基本不等式的知识求最小值，进而可以求出m。【详解】设0000(,),(,),(,)M xyNxyP xy，000012,yyykxxxkyx00000020102yyyyyyyyxxxxxxkxxk2202202yyxx220220(1)(1)442xxxmxm24m=1，1m，故选：A。【点睛】本题大胆设点，表示出斜率，运用基本不等式求参数的值，是一道中等难度的题目。11.设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4 的正四面体一次.记事件A第一个四面体向下的一面出现偶数；事件B第二个四面体向下的一面出现奇数；C两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数.给出下列说法：()()()P AP BP C；()()()P ABP ACP BC；1()8P ABC；1()()()8P A P B P C，其中正确的有（）A.0 个B.1个C.2 个D.3 个【答案】D【解析】【分析】由题可知111(),(),()222P AP BP C，且()()()P ABP A P B，可求。然后事件,A B C不可能同时发生，则()0P ABC。【详解】111(),(),()222P AP BP C故对，111111111(),(),()224224224P ABP ACP BC故对，事件,A B C不可能同时发生，()0P ABC，故错故选：D。【点睛】本题考查事件同时发生的概率问题，是一道中等难度的题目。12.已知4ln 3a，3ln 4b，34lnc，则a，b，c的大小关系是（）A.cbaB.bcaC.bacD.abc【答案】B【解析】【分析】若对数式的底相同，直接利用对数函数的性质判断即可，若底不同，则根据结构构造函数，利用函数的单调性判断大小。【详解】对于,a b的大小：44ln3ln3ln81a，33ln 4lnln 644b，明显 ab；对于,a c的大小：构造函数ln()xf xx，则21ln()xf xx，当(0,)xe时，()0,()fxf x在(0,)e上单调递增，当(,)xe时，()0,()f xf x在(,)e上单调递减，3,()(3)eff即33lnln3,3lnln3,lnln 3,33ac对于,b c的大小：3ln 4ln 64b，3434lnln()c，6443()，cb故选：B。【点睛】将,a b c两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，对于结构类似的，可以通过构造函数来来比较大小，此题是一道中等难度的题目。二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.13.若312nxx的展开式中所有项系数和为81，则展开式的常数项为_.【答案】8【解析】【分析】在展开式中，令1x可得所有项系数和，可解得4n，再由通项公式可得常数项为8【详解】在312nxx的二项展开式中，令1x得所有项的系数和为381n，解得4n，所以4312xx的二项展开式中的通项为3444431441)(2)(2rrrrrrrTCxxCx，令4403r，得3r，常数项为31428C，故答案为：8.【点睛】本题考查了二项式定理属中档题。14.已知数列na满足11nnnaaa，12a，则2019a_.【答案】1【解析】【分析】利用递推关系可得数列的周期性，进而得出。【详解】1121nnnaaaa，2221a，212a，同理可得：34511,2,2aaa，3nnaa，20193 672 331aaa，故答案为：1。【点睛】本题考查了数列的递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题。15.已知平面向量a，b，e满足1e，1a e，1b e，4ab，则a b的最小值为 _.【答案】4【解析】【分析】由题意不妨设(1,0)e，(1,)am，(1,)bn，利用4ab求出a b的解析式，再利用配方法求最值。【详解】由1e，1a e，1b e，不妨设(1,0)e，(1,)am，(1,)bn，则(2,)abmn，又4ab，22)164(,)12mnmn，2 3mn，不妨取2 3mn2211(2 3)2 31(+3-4-4a bmnn nnnn），所以最小值为-4【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算与配方法的应用问题，是道中等难度的题目。16.若直线 ykxb 是曲线lnyx的切线，也是曲线2xye的切线，则k_.【答案】1 或1e【解析】【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得斜率和截距相等，从而求得切线方程的答案。【详解】设ykxb 与lnyx和2xye的切点分别为12122(,),(,ln)xx exx，由导数的几何意义可得1221xkex，曲 线 在2xye在 点121(,)xx e处 的 切 线 方 程 为11221()xxyeexx，即11221(1)xxyexx e，曲 线lnyx在 点22(,ln)xx处 的 切 线 方 程 为2221ln()yxxxx，即221ln1yxxx，则11222121(1)ln1xxexx ex，解得21x，或2xe，所以1k或1e。【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题。三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列na的前n项和2nSn.（1）求数列na的通项公式；（2）设21nnnbaa，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）21nan（2）2113483nnn【解析】【分析】（1）利用1nnnaSS求na的通项公式；（2）用裂项求和法求nb的前n项和。【详解】解：（1）由2nSn，知11a.当2n时，121nnnaSSn（1n也成立）.21nan.（2）由（1）知211111(21)(23)42123nnnbaannnn，12nnTbbb111111111453723212123nnnn2113483nnn【点睛】本题考查nS法求通项公式，裂项求和法求前n项和，是一道基础题。18.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知1cos2aBcb，且2 3a.（1）求A；（2）若ABC的面积2 3，求ABC的周长.【答案】（1）3A（2）62 3【解析】【分析】利用正弦定理以及两角和与差的三角函数转化求解C。通过三角形的面积以及余弦定理转化求解即可。【详解】解：（1）因为1cos2aBcb，由正弦定理知1sincossinsin2ABCB.又sinsin()CAB，所以1sincossin()sin2ABABB，即1cossinsin2ABB.1cos2A.0A，3A.（2）由2 3a，3A及余弦定理2222cosabcbcA，得2212bcbc.因为1sin2 32SbcA，所以8bc.由解得4,2,bc或2,4.bcABC的周长62 3abc.【点睛】（1）利用正弦定理进行边化角，对于式子中同时出现sincosAB与sinC，我们将sinC变为sin()AB，并用两角和与差的三角公式展开计算即可。（2）面积公式中有bc，余弦定理里面也有bc，两者可联立进行计算。本题是一道中等难度的题目。19.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，2BABPBDAP，2DADP.（1）求证：PABD；（2）求二面角PBDC的余弦值.【答案】（1）见解析（2）17【解析】【分析】取AP中点O，连接OB、OD，由已知可证OBAP，ODAP，可得AP平面OBD，可证APBD。由已知可得DAP是等腰三角形，分别以OP、OB、OD 为x、y、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz，求出面 PBD 与面ABD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角PBDC的余弦值。【详解】解：（1）取AP中点O，连接OB、OD.由DADP，BABP知，OBAP，ODAP.又OBODOAP平面OBD，又BD平面OBD，APBD.（2）法一：由题可得1OD，3OB，故22213ODOBBD，所以OBOD.所以可以O为原点，分别以OP、OB、OD 为x、y、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz.则(1,0,0)P，0,3,0B，(0,0,1)D，(1,0,0)A，0,3,1BD，1,3,0PB，(1,0,1)AD，1,3,0AB.设平面 PBD 的一个法向量为(,)nx y z，则0,0,n PBn BD即30,30.xyyz令1y得3,1,3n.同理可得平面ABD的一个法向量为3,1,3m.3131cos,777n m.又二面角PBDC为锐二面角所以二面角PBDC的余弦为17.法二：设二面角PBDO，ABDO的大小分别为，则321cos77OBDPBDSS，321cos77OBDPBDSS，31cos()2177.即二面角ABDP的余弦为17.而二面角PBDC与二面角ABDP大小互补、故二面角PBDC的余弦为17.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题。20.已知动点P到直线:2l x的距离比到定点(1,0)F的距离多1.（1）求动点P的轨迹E的方程（2）若A为（1）中曲线E上一点，过点A作直线l的垂线，垂足为C，过坐标原点O的直线OC交曲线E于另外一点B，证明直线AB过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）24yx（2）证明见解析，定点坐标为(2,0)【解析】【分析】利用直接法，求动点P的轨迹E的方程。设出直线AB方程以及,A B C，由O、C、B三点共线可得121220ty ymyy，将直线AB方程与24yx联立，可得2440ytym，利用韦达定理，可得14(2)(2)0tmmy，所以2m，得出直线过定点(2,0)。【详解】解：（1）设点(,)P x y，则22|2|1(1)xxy.当2x时，221(1)xxy，即222(1)(1)(1)xxyx，整理得24yx.当2x时，223(1)xxy，即222(3)(1)(3)xxyx，整理得288yx，由880 x知1x，矛盾，舍去.所求轨迹方程为24yx.（2）设:AB xtym，11,A x y，22,B xy，则12,Cy.由O、C、B三点共线知21220 x yy，即21220tym yy.所以121220ty ymyy.由24xtymyx得2440ytym，所以12124,4.yytyym由得1142 40tmmyty，即14(2)(2)0tmmy，此表达式对任意t恒成立，2m.即直线AB过定点，定点坐标为(2,0).【点睛】直接法是求轨迹方程的重要方法。当式子里面出现12y y，则设出直线联立方程，利用韦达定理代入计算，本题是一道中等难度的综合体。21.武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1 分，若继续游玩东湖记2 分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为12，游客之间选择意愿相互独立.（1）从游客中随机抽取3 人，记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）（i）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为mA，求数列mA的前 10 项和；（）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为nB，探讨nB与1nB之间的关系，并求数列nB的通项公式.【答案】（1）见解析（2）（i）10231024（）1212323nnBB，211332nnB【解析】【分析】（1）判断出X可能取值为3，4，5，6，分别求出概率，进而求出其数学期望。（2）（i）由题可得首项为12，公比为12的等比数列，并求其前10 项和。（）根据nB与1nB之间的关系1112nnBB，用待定系数法得1212323nnBB，进一步就可求出nB的通项公式。【详解】解：（1）X可能取值为3，4，5，6.311(3)28P X，31313(4)28P XC，32313(5)28P XC，33311(6)28P XC.X的分布列为X3 4 5 6 P18383818133134564.58888EX（2）（i）总分恰为m分的概率为12mmA，数列mA是首项为12，公比为12的等比数列，前 10 项和10101111023221102412S.（）已调查过的累计得分恰为n分的概率为nB，得不到n分的情况只有先得1n分，再得2 分，概率为112nB，112B.所以1112nnBB，即1112nnBB1212323nnBB.11221332nnBB，1211211362332nnnB.【点睛】本题是一道数列与概率的综合问题，对于递推式1112nnBB，可通过待定系数法求nB的通项公式，是一道中等难度的题目。22.已知函数1()sinln122mfxxxx，()fx是()f x 的导函数.（1）证明：当2m时，()fx(0,)上有唯一零点；（2）若存在12,(0,)x x，且12xx时，12fxfx，证明：212x xm.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求出()fx，当(0,)x时，()fx单调递增，利用03f和()0f判断出(0,)x上有唯一零点。当,)x时，()fx的最小值大于零，则()fx在,)上没有零点.（2）令，21xtx，将212x xm转化为1lnttt，再构造函数利用导数证明最小值小于0.【详解】（1）证明：当2m时，1()sinln12f xxxx，11()1cos2fxxx.当(0,)x时，()fx为增函数，且133310344f，31()02f，()fx在(0,)上有唯一零点；当,)x时，11()1cos2fxxx11111022x，()fx在,)上没有零点.综上知，()fx在(0,)上有唯一零点.（2）证明：不妨设120 xx，由12fxfx得1111sinln122mxxx2221sinln122mxxx，2121211lnlnsinsin22mxxxxxx.设()sing xxx，则()1cos0g xx，故()g x在(0,)为增函数，2211sinsinxxxx，从而2121sinsinxxxx，21lnln2mxx21212111sinsin22xxxxxx，2121lnlnxxmxx，下面证明：211221lnlnxxx xxx.令21xtx，则1t，即证明1lnttt，只要证明1ln0ttt.（*）设1()lnth ttt，则21()02th tt t，()h t在(1,)单调递减.当1t时，()(1)0h th，从而（*）得证，即211221lnlnxxx xxx.12mx x，即212x xm.【点睛】（1）零点问题可利用函数单调性和零点存在性定理来解决。（2）通过换元将两个变量转化为一个变量，构造函数，利用导数来证明不等式。本题是一道综合性的难题。