高考文科数学大纲全国卷.pdf

2011 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修 I)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分第卷1 至 2 页第卷3 至 4页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效3第卷共 l2 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题1.设集合1,2,3,4U,1,2,3,M2,3,4,N则)(NMCUA.12，B.23，C.2，4 D.1，42.函数2(0)yx x的反函数为A.2()4xyxR B.2(0)4xyxC.24yx()xR D.24(0)yxx3.设向量ar，br满足|1abrr,12a br r，则2abrrA.2 B.3 C.5D.74.若变量x、y满足约束条件6,32,1,xyxyx则23zxy的最小值为A.17 B.14 C.5 D.3 5.下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是A.1ab B.1abC.22ab D.33ab6.设nS为等差数列na的前 n 项和，若11a，公差2d，224kkSS，则kA.8 B.7 C.6 D.5 7.设函数()cos(0)fxx，将()yf x的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于A.13B.3 C.6D.98.已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，点B，BDl，D为垂足，若2AB，1ACBD，则CDA.2 B.3C.2 D.1 9.4 位同学每人从甲、乙、丙3 门课程中选修1 门，则恰有2 人选修课程甲的不同选法共有A.12 种 B.24种C.30 种 D.36 种10.设()f x是周期为2 的奇函数，当01x时，()2(1)f xxx，则5()2fA.12 B.14 C.14 D.1211.设两圆1C、2C都和两坐标轴相切，且都过点4 1（，），则两圆心的距离12CC=A.4 B.4 2 C.8 D.8 212.已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成060二面角的平面截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为A.7B.9 C.11 D.13第卷注意事项：1.答题前，考生先在答题卡上用直径05 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目2.第卷共2 页，请用直径05 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效3.第卷共l0 小题，共90 分二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在题中横线上(注意：在试卷上作答无效)13.10(1)x的二项展开式中，x的系数与9x的系数之差为 .14.已知3(,)2，tan2，则cos .15.已知正方体1111ABCDABC D中，E为11C D的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为16.已知1F、2F分别为双曲线C:221927xy的左、右焦点，点AC，点M的坐标为(2,0)，AM为12F AF的平分线则2|AF .三解答题：本大题共6 小题，共70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题满分l0 分)(注意：在试题卷上作答无效)设数列na的前 n 项和为nS,已知26a，12630aa，求na和nS18.(本小题满分l2 分)(注意：在试题卷上作答无效)ABC的内角 A、B、C的对边分别为a、b、c.己知sincsin2 sinsinaACaCbB，（）求B；（）若75Ao，2b，求a和c.19.(本小题满分l2 分)(注意：在试题卷上作答无效)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立（）求该地1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种的概率；（）求该地的3 位车主中恰有1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率20.(本小题满分l2 分)(注意：在试题卷上作答无效)如图，四棱锥SABCD中，ABCD,BCCD，侧面SAB为等边三角形，2ABBC，1CDSD.（）证明：SDSAB平面；（）求AB与平面SBC所成角的大小A S D C B 21.(本小题满分l2 分)(注意：在试题卷上作答无效)已知函数32()3(3 6)124f xxaxa xaaR（）证明：曲线()yfx在0 x处的切线过点(2,2)；（）若()f x在0 xx处取得极小值，01,3x（），求a的取值范围22.(本小题满分l2 分)(注意：在试题卷上作答无效)已知O为坐标原点，F为椭圆22:12yC x在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为2的直线l与C交与A、B两点，点P满足0.OAOBOPuuu ruu u ruu u rr（）证明：点P在C上；（）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上参考答案及解析1.【答案】D【解析 1】直接法因为1,2,32,3,42,3MNII，所以()1,4UMNIe【解析 2】反演律()41 1,4UUUMNMNIUU痧?【解析 3】韦恩图法2.【答案】B【解析 1】直接法由2(0)yx x解得，2(0)4yxy，所以2(0)yx x的反函数为2(0)4xyx【解析 2】特值法在原函数2(0)yx x的图像上取一点(1,2)A，则点(2,1)B必在反函数上，排除选项C、D在函数2()4xyxR的图像上取一点(2,1)C，但(1,2)D不在函数2(0)yx x的图形上，排除选项A【解析 3】图像法先画出函数2(0)yx x的图像，再根据对称性画出2(0)yx x的反函数的图像，函数2(0)yx x的图像及其反函数图像如右图观察图像可排除选项A、C，因为原函数与反函数的图像都经过点4,4（），故选 B 3.【答案】B【解析 1】解析法因为|1abrr，12a br r，所以2222(2)443ababaa bbrrrrrr rrg【解析 2】数形结合法如右图所示，设aOAruuu r，bOBruuu r，2OCbuuu rr，由|1abrr，12a br r，知,120a bor r，则2222cos603abODOCCDOCCDorruuu ruu u ru uu ru uu ruuu rM 1 2,3 4 N U C A B O D 4.【答案】C【解析 1】顶点法直线6,32,1xyxyx的交点分别为(1,1),(1,5),(4,2)，代入目标函数得：(1,1)21315z，(1,5)213517z，(4,2)243214z，所以z的最小值为5.【解析 2】注：线性规划问题的简易解法5.【答案】A【解析 1】1abab，且ab1ab6.【答案】D【解析 1】由224kkSS，得11(2)(1)(1)(2)2422kkk kkadkad，解得5k【解析 2】22112(21)24kkkkSSaaakd，又因为11a，公差2d，所以5k7.【答案】C【解析 1】由题意得coscos()3xx，显然为 6 的整数倍【解析 2】由题2()3k kZ,解得6k，令1k，即得min68.【答案】C【解析 1】向量法由22222()ABACCDDBACCDDBuuu ru uu ruuu ruuu ruu u ruuu ruu u r，得2222CDABACDBuu u ruuu ruuu ru uu r，所以2CD【解析 2】公式法2222cos902CDABACBDAC BDomgg9.【答案】B【解析 1】分步计数原理第一步，先从4 位同学中选2 位同学选修课程甲，方法数为246C种；第二步，剩下的两位同学选修课程乙或丙，方法数为224种；总的方法数为224224C种10.【答案】A【解析 1】5111111()(2)()()2(1)2222222ffff11.【答案】C【解析 1】设1(,)C a a，2(,)C b b，则222(4)(1)aaa，222(4)(1)bbb，不妨设ab，则522a，52 2b所以128CC12.【答案】D【解析 1】因为圆M的面积为4，所以圆M的半径2r设球心为O，则2 3OM，sin303ONOMo，圆N的半径24313R，所以圆N的面积为1313.【答案】0【解析 1】因为1111010()TCxC x，999991010()TCxC x，所以x的系数与9x的系数之差为0.14.【答案】55【解析 1】公式法由22tan2tantan(2)221tan2，解得15tan22，所以221tan52cos51tan2【解析 2】图示法如右图所示，设的终边为OA，过点A做ABy轴于点B因为tan2，所以可设2AB，1OB，显然5cos5OBOA15.【答案】23【解析 1】欧几里得法因为BCAD，所以DAE为异面直线AE与BC所成角，222222112cos3()2ADADADDAEAEADADDDD EADAD【解析 2】坐标法以点D为坐标原点，以射线DA为x轴的正半轴，以射线DC为y轴的正半轴，以射x O A y B 线1DD为z轴的正半轴，设1DA建立空间直角坐标系Dxyz 则(1,0,0)A，1(0,1)2E，(1,1,0)B，(0,1,0)C，所以1(1,1)2AEu uu r，(1,0,0)BCu uu r12cos,33|12AE BCAE BCAEBCuu u r uu u ruuu r uu u ruu u ruuu r16.【答案】6【解析 1】根据角平分线定理，有1122824F AF MF AF M，又因为122 36F AF A，所以2|6AF三解答题：本大题共6 小题，共70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题满分l0 分)(注意：在试题卷上作答无效)【解析 1】基本量法设na的公比为q，由题设得12116,630.a qaa q解得13,2,aq或12,3,aq当13a，2q时，132nna，3(21)nnS；当12a，3q时，123nna，31nnS18.(本小题满分l2 分)(注意：在试题卷上作答无效)【解析 1】（）设 R为 ABC的外接圆的半径sincsin2 sinsinaACaCbB，利用正弦定理得22222222acacbRRRR，整理得222222acbac，即2cos2B，所以45Bo（）sin75sin(4530)sin45 cos30cos45 sin332 201ooooooo，24sinsin7513132 2sin222baABo，243sinsin(1807545)sin22226bcCBooo19.(本小题满分l2 分)(注意：在试题卷上作答无效)【解析 1】（）设事件A=购买甲种保险，B=购买乙种保险，C=至少购买甲、乙两种保险中的 1 种 因为()()()0.3P ABP A P B，()0.5P A，所以0.3()0.60.5P B()()()()()0.50.60.50.60.8P CP ABP AP BP ABU另解：()1()1(10.5)(10.6)0.8P CP AB（）12223()()3()()()3 0.50.40.80.384PC P AB P CP A P B P C20.(本小题满分l2 分)(注意：在试题卷上作答无效)【解析 1】（）取AB中点E，连接DE，则四边形BCDE为矩形，2DECB，连接SE，则SEAB，3SE又1SD，故222EDSESD，所以DSE为直角由ABDE，ABSE，DESEEI，得ABSDE平面，所以ABSDSD与两条相交直线AB、SE都垂直，所以SDSAB平面（）由ABSDE平面知，ABCDSDE平面平面作SFDE，垂足为F，则SFABCD平面，32SDSESFDE作FGBC，垂足为G，则1FGDC连接SG，则SGBC又BCFG，SGFGGI，故BCSFG平面，SBCSFG平面平面作FHSG，H为垂足，则FHSBC平面37SFFGFHSG，即F到平E A S D C B F G H 面SBC的距离为217由于BCED，所以ED平面 SBC，E到平面SBC的距离217d设AB与平面SBC所成的角为，则21sin7dEB，21sin7arc【解析 2】以C为坐标原点，射线CD为x轴的正半轴，建立如图所示的空间坐标系Cxyz设(1,0,0)D，则(2,2,0)A，(0,2,0)B，又设(,)S x y z，则0 x，0y，0z（）(2,2,)ASxyzu u u r,(,2,)BSx yzu uu r,(1,)DSxy zu uu r,由|ASBSuuu ruu u r得222222(2)(2)(2)xyzxyz,解得1x，由|1DS得221yz，又由|2BSuu u r得222(2)4xyz，即22410yzy，故12y，32z于是13(1,)22S，33(1,)22ASuu u r，33(1,)22BSuu u r，13(0,)22DSuuu r，0DS ASu uu r u uu r，0DS BSuu u r u u u r故DSAS，DSBS，又ASBSSI，所以SDSAB平面（）设平面SBC的法向量(,)am n pr，则aBSuu u r，aCBu uu r，0a BSuu u r，0a CBu uu r，又33(1,)22BSuu u r，(0,2,0)CBu uu r，故330,2220.mnpnz A S D C B x y 取2p得(3,0,2)ar，又(2,0,0)ABuu u r，21cos,7|AB aAB aABauu u r ruuu r ruuu rr故AB与平面SBC所成得角为21arcsin7【解析 3】（）计算1SD，5AD，2SA，于是222SASDAD，利用勾股定理，可知SDSA，同理，可证SDSB，又SASBSI，因此SDSAB平面（）过点D做DzABCD平面，如图建立空间直角坐标系Dxyz(2,1,0)A，(2,1,0)B，(0,1,0)C，13(,0,)22S，可计算平面SBC的一个法向量是(0,3,2)nr，(0,2,0)ABuuu r，|2 321|cos,|2 77AB nAB nABnuu u r ruuu r ruuu rr21.(本小题满分l2 分)(注意：在试题卷上作答无效)【解析 1】（）2()3636fxxaxa由(0)124fa，(0)36fa得曲线()yf x在0 x处的切线方程为(36)124ya xa，由此知曲线()yf x在0 x处的切线过点(2,2)（）由()0fx得22120 xaxa.（i）当2(2)4(1 2)0aa时，2121a，()f x没有极小值；（ii）当2(2)4(1 2)0aa时，21a或21a，由()0fx得2121xaaa，2221xaaa，故02xx由题设知21213aaaS z D A x B C y 当21a时，不等式21213aaa无解；当21a时，解不等式21213aaa得5212a综合（i）（ii）得a的取值范围是5(,21)222.(本小题满分l2 分)(注意：在试题卷上作答无效)【解析 1】（）(0,1)F,l的方程为21yx，代入2212yx并化简得242210 xx设11(,)A x y，22(,)B xy，33(,)P x y，则1264x，2264x，1222xx，12122()21yyxx，由题意得3122()2xxx，312()1yyy所以点P的坐标为2(,1)2经验证，点P的坐标2(,1)2满足方程2212yx，故点P在椭圆C上（）由2(,1)2P和题设知，2(,1)2Q，PQ的垂直平分线1l的方程为22yx1设AB的中点为M，则2 1(,)42M，AB的垂直平分线2l的方程为2124yx2由12 得1l、2l的交点为2 1(,)88N.222213 11|()(1)2888NP,2213 2|1(2)|2ABxx,3 2|4AM,2222113 3|()()48288MN,223 11|8NAAMMN,故|NPNA又|NPNQ，|NANB，所以|NANPNBNQ，由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上