湖南省五市十校2020届高三上学期第二次联考试题数学(文)【含答案】.pdf
湖南省五市十校2020 届高三上学期第二次联考试题数学（文）一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合Ax|x 1，Bx|x3，则 ABA.(1，3)B.(，3)C.(1，)D.2.已知 i 为虚数单位，复数z 满足 iz 32i，则 z 在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.执行如图所示的程序框图，输出的SA.25 B.9 C.17 D.20 4.某中学有高中生3000 人，初中生2000 人，男、女生所占的比例如图所示。为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取女生21 人，则从初中生中抽取的男生人数是A.12 B.15 C.20 D.21 5.已知 (0，)，且 sin 35，则 tan(4)A.17 B.7 C.17或 7 D.17或 7 6.设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，且m，n，则“/”是“m/且n/”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.函数 yf(x)的导函数yf(x)的部分图象如图所示，给出下列判断：函数 yf(x)在区间 3，12 单调递增函数 yf(x)在区间 12，3 单调递减函数 yf(x)在区间(4，5)单调递增当时 x2，函数 y f(x)取得极小值当时 x12，函数 yf(x)取得极大值则上述判断中正确的是A.B.C.D.8.刘徽九章算术商功中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥称为“阳马”。某“阳马”的三视图如图所示，则其外接球的体积为A.3 B.3 C.32 D.49.已知两点M(1，0)，N(1，0)，若直线3x4y m 0 上存在点P满足 PM PN 0，则实数m的取值范围是A.(，5 5，)B.(，25 25，)C.5，5 D.25，5 10.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在y 轴上，C与抛物线x28y 的准线交于A、B两点，AB 23，则C的实轴长为A.2 B.22 C.2 D.4 11.一个圆锥的母线长为222，且母线与底面所成角为4，则该圆锥内切球的表面积为A.2 B.8 C.8 23 D.(622)12.已知 f(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，若f(x)f(x)x3，且当 x0 时，23()2fxx，则不等式2f(x 1)2f(x)1，则当其前n项的乘积取最大值时，n 的最大值为。三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60 分。17.(12分)ABC的内角 A，B，C的对边分别为a，b，c，且52 sin()coscos2cAaBbA。(1)求角；(2)若 3abc，且 ABC外接圆的半径为1，求 ABC的面积。18.(12分)设数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2n1，数列 bn 满足 b12，bn12bn8an。(1)求数列 an 的通项公式；(2)求数列 bn 的前 n 项和 Tn。19.(12分)如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB BC 12AD，BAD ABC 90。(1)证明：BC/平面 PAD；(2)若四棱锥PABCD 的体积为 43，求 PCD的面积。20.(12分)已知抛物线C：y22px(p0)，直线 yx1 与 C交于 A，B两点，且AB8。(1)求 p 的值；(2)如图，过原点O的直线l与抛物线C交于点 M，与直线x 1 交于点 H，过点 H作 y 轴的垂线交抛物线 C于点 N。证明：直线MN过定点。21.(12分)已知函数f(x)excosx。(1)求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)证明：f(x)在区间(2，)上有且仅有2 个零点。(二)选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 44：坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy 中，圆 C的参数方程为1cossinxy(为参数)，以 O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。(1)写出圆 C的极坐标方程；(2)设直线l的极坐标方程为2sin()3 33，射线 OM：3与圆 C交于 O、P两点，与直线l交于点 Q，求线段PQ的长。23.选修 45：不等式选讲(10分)已知函数f(x)|x 3|2|x|。(1)求不等式f(x)2 的解集；(2)设 f(x)的最大值为m，正数 a，b，c 满足 abcm，证明：a2 b2c23。一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A D C A D A D C C C B B 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分）13.12 14.2 15.75 16.1010三、解答题（本大题共6 小题，共70 分）17.【答案】（1）3A；（2）2 3.【解析】（1）2 sin()coscos2cAaBbA，2 coscoscoscAaBbA，2 分由正弦定理得，2sincossincossincossinsinCAABBAABC，2sincossinCAC，4 分又0C，sin0C，1cos2A，5 分又0A，3A.6 分（2）设ABC外接圆的半径为R，则1R，2sin3aRA，8 分由余弦定理得22222cos33abcbcbcbc，9 分即3273bc，8bc，10 分ABC的面积113sin82 3222SbcA。12 分18.【答案】（1）12nna；（2）12326nn【解】（1）当1n时，111211aS；1 分当2n时，11112121222nnnnnnnnaSS.3 分11a也适合12nna，因此，数列na的通项公式为12nna；5 分（2）21282nnnnbba，在等式两边同时除以12n得11222nnnnbb，且112b.所以，数列2nnb是以1为首项，以2为公差的等差数列，6 分121212nnbnn，7 分212nnbn.8 分1231 23 252212nnTn，23121 23 2232212nnnTnn，9 分上式下式得1231222222 2212nnnTn31112 12221 2322612nnnnn，11 分因此，12326nnTn。12 分19.【解析】（1）在平面ABCD 内，因为90BADABC，所以/BCAD.1 分又 BC平面PAD，AD平面PAD，故/BC平面PAD。4 分（2）取AD的中点M，连接PM，CM.由12ABBCAD，及/BC AD，90ABC，得四边形ABCM 为正方形，则CMAD。5 分因为侧面PAD是等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面 ABCDAD，所以PMAD，6 分因为PM平面PAD，所以PM平面 ABCD.因为 CM平面 ABCD，所以 PMCM.7 分设 BCx，则2ADx，CMx，2CDx，3PMx，2PCPDx.因为四棱锥PABCD的体积为4 3，所以111234 3332ABCDVSPMxx xx，所以2x，9 分取 CD 的中点 N，连接 PN，则 PNCD，所以14142PNx.10 分因此PCD的面积112 2142 722SCDPN。12 分20.【解析】(1)由221ypxyx，消去x可得2220ypyp，1 分设 A（x1，y1）,B（x2，y2）,则y1y22p，y1y2 2p，2 分AB112y1y22 4y1y224p28p 8，4 分解得p2 或p 4(舍去)，p2。5 分(2)证明：由(1)可得y24x，设2001,4Myy，6 分直线OM的方程为y4y0 x。7 分当x 1 时，yH4y0，则yNyH4y0，代入抛物线方程y24x，可得xN4y20，20044,Nyy，8分直线MN的斜率ky04y0y2044y204y0y204，9 分直线MN的方程为2000204144yyyxyy，整理可得020414yyxy 11 分故直线MN过定点(1,0)。12 分21.【解析】（1）cosxfxex，则sinxfxex，1 分00f，01f.2 分因此，函数yfx在点0,0f处的切线方程为yx，即0 xy；4 分（2）当0 x时，1cosxex，此时，cos0 xfxex，5分所以，函数yfx在区间0,上没有零点；6 分又00f，下面只需证明函数yfx在区间,02上有且只有一个零点.sinxfxex，构造函数sinxg xex，则cosxgxex，当02x时，cos0 xgxex，所以，函数yfx在区间,02上单调递增，8 分2102fe，010f，由零点存在定理知，存在,02t，使得0ft，9 分当2xt时，0fx，当0tx时，0fx。10 分所以，函数yfx在xt处取得极小值，则00ftf，又202fe，所以02fft，由零点存在定理可知，函数yfx在区间,02上有且只有一个零点.11 分综上所述，函数yfx在区间,2上有且仅有两个零点.12 分22.【解析】（1）圆C的普通方程为2211xy，又cosx，siny所以圆C的极坐标方程为2cos.4 分（2）设11,，则由23cos解得11，13，得1,3P；7 分设22Q,，则由2 sin3 333解得23，23，得3,3Q；9 分所以Q2。10 分23.【解析】（1）当0 x时，32323fxxxxxx，由2fx，得32x，解得1x，此时10 x；当03x时，32323 3fxxxxxx，由2fx，得3 32x，解得13x，此时103x；当3x时，323236fxxxxxx，此时不等式2fx无解.综上所述，不等式2fx的解集为11,3；5 分（2）由（1）可知3,03 3,033,3xxfxxxxx.当0 x时，33fxx；当03x时，336,3fxx；当3x时，36fxx.所以，函数yfx的最大值为3m，则3abc.由柯西不等式可得22221 1 1abcabc，即222233abc，即2223abc，当且仅当1abc时，等号成立.因此，2223abc.。10 分
