人教版八年级数学勾股定理逆定理讲义(含解析).pdf

第 17 讲 勾股定理逆定理知识定位讲解用时：3 分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习勾股定理的逆定理。它是初中几何中及其重要的一个定理，是今后判断某三角形是直角三角形的证明方法之一，有着广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，因此本节内容至关重要。知识梳理讲解用时：20分钟勾股定理逆定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么 a2b2=c2.2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足 a2b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边 c 所对的角为直角.勾股定理与勾股定理逆定理是互逆的关系3.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理.4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.（例：勾股定理与勾股定理逆定理）5.勾股数：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.熟记几组常见的勾股数：（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）（7，24，25）、（9、40、41）等等.注意：一组勾股数同时扩大或缩小相应的倍数，仍满足勾股定理的逆定理.课堂精讲精练【例题 1】在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（）A4、7、9 B5、12、13 C6、8、10 D 7、24、25【答案】A【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可解：A、42+7292，故不是直角三角形，故此选项符合题意；B、52+122=132，故是直角三角形，故此选项不符合题意；C、82+62=102，故是直角三角形，故此选项不符合题意；D、72+242=252，故是直角三角形，故此选项不符合题意故选：A讲解用时：2 分钟解题思路：本题考查勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可教学建议：掌握勾股定理的逆定理，只要满足最长的边的平方等于另外两边的平方和即可.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 1.1】满足下列条件的 ABC，不是直角三角形的是（）Ab2c2=a2 Ba：b：c=3：4：5 CA：B：C=9：12：15 D C=AB【答案】C【解析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论解：A、由 b2a2=c2得 b2=a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B、由 a：b：c=3：4：5 得 c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；C、由 A：B：C=9：12：15，及 A+B+C=180 得 C=75 90，故不是直角三角形D、由三角形三个角度数和是180及 C=AB解得 A=90，故是直角三角形；故选：C讲解用时：2 分钟解题思路：本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键教学建议：通过勾股定理逆定理或者三角形内角和判断出直角即可.难度：2 适应场景：当堂练习例题来源：金堂县期末年份：2017【练习 1.2】下列各组数中，是勾股数的为（）A1，1，2 B1.5，2，2.5 C 7，24，25 D6，12，13【答案】C【解析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可解：A、12+1222，不是勾股数，此选项错误；B、1.5 和 2.5 不是整数，此选项错误；C、72+242=252，是勾股数，此选项正确；D、62+122132，不是勾股数，此选项错误故选：C讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查了勾股数，说明：三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5 满足 a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数记住常用的勾股数再做题可以提高速度如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；教学建议：熟记基本的勾股数同时扩大或缩小相应的倍数仍然满足勾股定理的逆定理.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2017【例题 2】已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为【答案】24【解析】根据三角形三边长，利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形，然后即可求得面积解：62+82=102，此三角形为直角三角形，此三角形的面积为：68=24故答案为：24讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查学生对勾股定理逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形教学建议：通过勾股定理逆定理判断出直角三角形，然后求面积.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：牡丹区期末年份：2017【练习 2.1】三角形的三边长 a，b，c 满足 2ab=（a+b）2c2，则此三角形的形状是三角形【答案】直角【解析】根据题目中的式子和勾股定理的逆定理可以解答本题解：2ab=（a+b）2c2，2ab=a2+2ab+b2c2，a2+b2=c2，三角形的三边长a，b，c 满足 2ab=（a+b）2c2，此三角形是直角三角形，故答案为：直角讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查勾股定理的逆定理、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答教学建议：化简之后通过勾股定理的逆定理证明直角.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 3】探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）可发现，4=，12=，24=请写出第 5 个数组：【答案】11，60，61【解析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答解：3=21+1，4=212+21，5=212+21+1；5=22+1，12=222+22，13=222+22+1；7=23+1，24=232+23，25=232+23+1；9=24+1，40=242+24，41=242+24+1；11=25+1，60=252+25，61=252+25+1，故答案为：11，60，61讲解用时：4 分钟解题思路：本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键教学建议：学会探索勾股数的规律.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：永城市期中年份：2017【练习 3.1】若 8，a，17 是一组勾股数，则 a=【答案】【解析】分 a 为最长边，17 为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方解：a 为最长边，a=，不是正整数，不符合题意；17为最长边，a=15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意故答案为：15讲解用时：3 分钟解题思路：考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知 ABC 的三边满足 a2+b2=c2，则 ABC是直角三角形教学建议：本题要分两种情况考虑，熟记勾股数都是正整数.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：通州区校级期中年份：2017【例题 4】如图，ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为单位 1（1）求证：ABC 为直角三角形；（2）求点 B到 AC的距离【答案】（1）ABC 为直角三角形；（2）【解析】（1）根据勾股定理以及逆定理解答即可；（2）根据三角形的面积公式解答即可解：（1）由勾股定理得，AB=，BC=2，AC=AB2+BC2=65=AC2ABC 为直角三角形；（2）作高 BD，由得，解得，BD=点 B到 AC的距离为讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查勾股定理问题，关键是根据勾股定理以及逆定理解答教学建议：熟练掌握并应用勾股定理的逆定理.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 4.1】计算图中四边形 ABCD 的面积【答案】246【解析】首先利用勾股定理求出BD 的长，再利用勾股定理的逆定理证明三角形 BDC 是直角三角形，最后利用三角形的面积公式求出答案解：A=90，BD2=AD2+AB2=400，BD2+CD2=625=BC2，BCD 为直角三角形，S四边形 ABCD=AD?AB+CD?BD=246 讲解用时：3 分钟解题思路：本题主要考查了勾股定理的逆定理以及勾股定理的知识，解题的关键是证明 BCD 为直角三角形，此题难度不大教学建议：灵活应用勾股定理和勾股定理逆定理.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：阜宁县期末年份：2017【例题 5】如图，已知在四边形ABCD 中，A=90，AB=2cm，AD=cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形 ABCD 的面积【答案】+6【解析】连接 BD，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理的逆定理证明BCD 是直角三角形，则四边形ABCD 的面积是两个直角三角形的面积和解：连接 BD A=90，AB=2cm，AD=，根据勾股定理可得BD=3，又CD=5，BC=4，CD2=BC2+BD2，BCD 是直角三角形，CBD=90，S四边形 ABCD=SABD+SBCD=AB?AD+BC?BD=2+43=+6（cm2）讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，辅助线的作法是关键解题时注意：如果三角形的三边长a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形教学建议：灵活应用勾股定理和勾股定理逆定理.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 5.1】如图，四边形 ABCD 中，AB=AD=2，BC=3，CD=1，A=90，求四边形 ABCD 的面积【答案】2+【解析】首先在 RtBAD中，利用勾股定理求出BD的长，再根据勾股定理逆定理在 BCD 中，证明 BCD是直角三角形，再根据四边形ABCD 的面积=三角形BAD的面积+三角形 BDC 的面积即可求出答案解：连接 BD，在 RtBAD中，AB=AD=2，BD=2，在BCD 中，DB2+CD2=（2）2+12=9=CB2，BCD 是直角三角形，BDC=90，四边形 ABCD 的面积=三角形 BAD 的面积+三角形 BDC 的面积=222+122=2+讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解本题的关键教学建议：灵活应用勾股定理和勾股定理逆定理.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 6】如图，AD是ABC的中线，AD=12，AB=13，BC=10，求 AC长【答案】13【解析】首先利用勾股定理逆定理证明ADB=90，再利用勾股定理计算出AC的长即可解：AD是ABC的中线，且 BC=10，BD=BC=5 52+122=132，即 BD2+AD2=AB2，ABD 是直角三角形，则AD BC，又CD=BD，AC=AB=13 讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，根据题意证明ADB=90 是解决问题的关键教学建议：熟练运用并掌握勾股定理及其逆定理.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：滨海县期末年份：2017【练习 6.1】如图，有一块耕地ACBD，已知 AD=24m，BD=26m，AC BC，且 AC=6m，BC=8m 求这块耕地的面积【答案】96m2【解析】连接 AB，先根据勾股定理求出AB的长，再由勾股定理的逆定理，判断出 ABD的形状，根据 S四边形 ADBC=SABDSABC即可得出结论解：连接 AB，AC BC，AC=6m，BC=8m，RtABC中，AB=10m，AD=24m，BD=26m，AD2=242=576，BD2=262=676，AB2=102=100，AB2+AD2=BD2，ABD 是直角三角形，S四边形 ADBC=SABDSABC=AB?AD AC?BC=102486=12024=96m2答：这块土地的面积是96m2讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查的是勾股定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键教学建议：熟练运用并掌握勾股定理及其逆定理.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习 6.2】如图，有两棵树，一棵高10 米，另一棵高 4 米，两树相距 8 米若一只小鸟从一棵树的树梢 A 飞到另一棵树的树梢B，小鸟至少需飞行多少米？【答案】10【解析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为 CD=4m，过 C点作 CE AB于 E，则 EBDC 是矩形，连接 AC，EB=4m，EC=8m，AE=AB EB=10 4=6m，在 RtAEC中，AC=10m，故小鸟至少飞行 10m 讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查正确运用勾股定理 善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键教学建议：将实际问题转化为具体的几何问题，通过勾股定理进行计算.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：高安市期中年份：2018【例题 7】如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧 A处，某一天小明从家出发沿南偏西 30方向走 60m到达河边 B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地 C处浇水，最后沿第三方向走100m回到家 A处问小明在河边B 处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由【答案】沿南偏东 60方向【解析】首先根据勾股定理逆定理得出ABC=90，然后再判断 AD NM，可得NBA=BAD=30，再根据平角定义可得 MBC=180 9030=60，进而得到答案解：AB=60，BC=80，AC=100，AB2+BC2=AC2，ABC=90，AD NM，NBA=BAD=30，MBC=180 9030=60，小明在河边 B 处取水后是沿南偏东60方向行走的讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形教学建议：熟练掌握并应用勾股定理的逆定理.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：灵石县期中年份：2018【练习 7.1】某港口位于东西方向的海岸线上“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里它们离开港口小时后相距 30 海里如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案】沿西北方向航行【解析】根据路程=速度时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR 是直角三角形，从而求解解：根据题意，得PQ=16 1.5=24（海里），PR=12 1.5=18（海里），QR=30（海里），242+182=302，即 PQ2+PR2=QR2，QPR=90 由“远洋号”沿东北方向航行可知，QPS=45，则 SPR=45，即“海天”号沿西北方向航行讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查路程、速度、时间之间的关系，勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型教学建议：熟练掌握并应用勾股定理的逆定理.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018 课后作业【作业 1】如图，在 ABC 中，CD AB于 D，AD=9，BD=16，CD=12（1）求 ABC 的周长；（2）ABC 是直角三角形吗？请说明理由【答案】（1）60；（2）是【解析】（1）由勾股定理求出BC、AC，即可得出结果；（2）由勾股定理的逆定理即可得出结论解：（1）CD AB，BDC=ADC=90，BC=20，AC=15，AB=AD+BD=25，ABC 的周长=AB+BC+AC=25+20+15=60；（2）ABC 是直角三角形；理由如下：BC2+AC2=202+152=252=AB2，ABC 是直角三角形难度：3 适应场景：练习题例题来源：东海县校级期中年份：2017【作业 2】如图，四边形ABCD中，ADC=90，AD=12，CD=9，AB=25，BC=20，求四边形ABCD 的面积【答案】204【解析】连接 AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出ACB是直角三角形，分别求出ABC 和ACD 的面积，即可得出答案解：连结 AC，在ADC 中，D=90，AD=12，CD=9，AC=15，SABC=AD?CD=129=54，在ABC 中，AC=15，AB=25，BC=20，BC2+AC2=AB2，ACB 是直角三角形，SACB=AC?BC=1520=150四边形 ABCD 的面积=SABC+SACD=150+54=204 讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：岱岳区期中年份：2017【作业 3】如图，每个小方格都是边长为1 的小正方形，ABC 的位置如图所示，你能判断ABC 是什么三角形吗？请说明理由【答案】直角三角形【解析】根据勾股定理即可求得ABC的三边的长，再由勾股定理的逆定理即可作出判断解：ABC是直角三角形在直角 ABF、直角 BCD、直角 ACE 中，根据勾股定理即可得到：AB=；BC=；AC=5；则 AC2=BC2+AB2ABC 是直角三角形讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：成都期中年份：2017【作业 4】如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC=3，CD=，AD=，且 B=90，D=60，求BCD 的度数【答案】75【解析】连接 AC，由于 B=90，AB=BC=3，利用勾股定理可求AC，并可求BAC=45，而 CD=，AD=，易得 AC2+AD2=CD2，可证 ACD是直角三角形，于是有 CAD=90，根据直角三角形的性质可求DCA，从而易求 BCD 解：连接 AC，B=90，AB=BC=3，AC=3，BAC=BCA=45，又CD=，AD=AC2+AD2=18+6=24，CD2=24，AC2+AD2=CD2，ACD 是直角三角形，CAD=90，DCA=90 D=30，BCD=BCA+DCA=75 讲解用时：4 分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 5】已知 ABC的三边长为 a、b、c，满足 a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为三角形【答案】直角【解析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状解：a+b=10，ab=18，c=8，（a+b）22ab=10036=64，c2=64，a2+b2=c2，此三角形是直角三角形故答案为：直角讲解用时：3 分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018