相似三角形与圆的综合题.pdf

中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献相似三角形与圆的综合考题1、已知：如图，AB是O的直径，E是 AB延长线上一点，过E作O的切线 ED，切点为 C，AD ED交 ED于点 D，交 O于点 F，CG AB交 AB于点 G求证：BG?AG=DF?DA 2、已知：如图，AB为O的直径，ABAC，BC交 O于 D，E 是 AC的中点，ED与 AB的延长线相交于点 F(1)求证：DE为 O的切线(2)求证：AB：AC=BF：DF中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献3、(南通)已知：如图，AB是O的直径，AB=AC，BC交 O于 点 D，DE AC，E为垂足(1)求证：ADE=B；(2)过点 O作 OF AD，与 ED的延长线相交于点 F，求证：FD?DA=FO?DE4、如图，AB为O的直径，BF切O于点 B，AF交 O于点 D，点 C在 DF上，BC交 O于点 E，且 BAF=2CBF，CG BF于 点 G，连接 AE(1)直接写出AE与 BC的位置关系；(2)求证：BCG ACE；(3)若 F=60，GF=1，求 O的半径长中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献5、如图，AB、AC分别是 O的直径 和弦，点 D为劣弧 AC上一点，弦DE AB分别交 O于 E，交 AB于 H，交 AC于 FP是 ED延长线上一点且PC=PF(1)求证：PC是 O的切线；(2)点 D在劣弧 AC什么位置时，才能使AD2=DE?DF，为什么？(3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦 AC的长6、如图，AB、AC分别是 O的直径 和弦，点D为劣弧 AC上一点，弦DEAB分别 交 O于 E，交 AB于 H，交 AC于 F P是 ED延长线上一点且PC=PF(1)求证：PC是 O的切线；(2)点 D在劣弧 AC什么位置时，才能使AD2=DE?DF，为什么？(3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦 AC的长中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献7、如是 O的直径，CB、CD分别切 O于 B、D两点，点E在 CD的延长线上，且CE=AE+BC；(1)求证：AE是 O的切线；(2)过点 D作 DF AB于点 F，连接 BE交 DF于点 M，求证：DM=MF 8、已知：如图，AB是 O的直径，D是 O上一点，连结BD并延长，使CD=BD，连结 AC。过点 D作 DE AC，垂足是点E过点 B作 BE AB，交 ED延长线于点F，连结 OF。求证：(1)EF 是 O的切线；(2)OBF DEC。中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献9、如图，已知AB是 O的直径，C是 O上一点，OD BC于点 D，过点 C作 O 切线，交OD的延长线于点E，连结 BE(1)求证：BE与 O相切；(2)连结 AD并延长交BE于点 F，若 OB 6，且 sin ABC 23，求 BF的长10、如图，AB是 O的直径，AC是弦，BAC的平分线 AD交 O于点 D，DEAC交 AC的延长线于点E，OE交 AD于点F。(1)求证：DE是 O的切线；(2)若45ACAB，求AFDF的值；(3)在(2)的条件下，若O直径为 10，求 EFD的面积中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献11、已知：如图，在RtABC中，A=90，以 AB为直径作 O，BC交 O于点 D，E是边 AC的中点，ED、AB的延长线相交于点F求证：(1)DE 为 O的切线(2)AB?DF=AC?BF12、如图，以ABC的边 AB为直径的 O与边 BC交于点 D，过点 D作 DE AC，垂足为E，延长 AB、ED交于点 F，AD平分 BAC(1)求证：EF是 O的切线；中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献(2)若 AE=3，AB=4，求图中阴影部分的面积13、知 AB是 O的直径，直线l 与 O相切于点C且?ACAD，弦 CD交 AB于 E，BF l，垂足为F，BF交 O于 G。(1)求证：CE2=FG FB；(2)若 tan CBF=12，AE=3，求 O的直径。中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献14.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC平分 BCD，BD交 AC于点 F，过点 A作圆的切线AE交 CB的延长线于 E.求证：AE BD；AD 2=DF AE 15、已知：ABCD，过点 D作直线交AC于 E，交 BC于 F，交 AB的延长线于G，经过 B、G、F三点作 O，过 E作 O的切线 ET，T 为切点.求证：ET=ED 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献16、如图，ABC中，AB=AC，O是 BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点 A，过点 C作 CD BA，垂足为D.求证：（1）DAC=2B；（2）CA 2=CDCO 相似三角形与圆的综合考题（教师版）1、已知：如图，AB是O的直径，E是 AB延长线上一点，过E作O的切线 ED，切点为C，AD ED交 ED于点 D，交 O于点 F，CG AB交 AB于点 G 求证：BG?AG=DF?DA 证明：连接BC，FC，CO，过 E作 O的切线 ED，DCF=CAD，D=D，中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献 CDF ADC，=，CD2=AD DF，CG AB，AB为直径，BCA=AGC=BGC=90，GBC+BCG=90，BCG+GCA=90，GBC=ACG，BGC CGA，=，CG2=BG AG，过 E作 O的切线 ED，OC DE，AD DE，CO AD，OCA=CAD，AO=CO，OAC=OCA，OAC=CAD，在 AGC和 ADC中，AGC ADC（AAS），CG=CD，BG AG=AD DF2、已知：如图，AB为O的直径，ABAC，BC交 O于 D，E 是 AC的中点，ED与 AB的延长线相交于点 F(1)求证：DE为 O的切线(2)求证：AB：AC=BF：DF中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献3、(南通)已知：如图，AB是O的直径，AB=AC，BC交 O于 点 D，DE AC，E为垂足(1)求证：ADE=B；(2)过点 O作 OF AD，与 ED的延长线相交于点 F，求证：FD?DA=FO?DE解：（1）方法一：证明：连接OD，OA=OD，OAD=ODA AB是 O的直径，ADB=90，即 AD BC又 AB=AC，中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献AD平分 BAC，即 OAD=CAD ODA=DAE=OAD ADE+DAE=90，ADE+ODA=90，即 ODE=90，OD DEOD是 O的半径，EF是 O的切线 ADE=B方法二：AB是 O的直径，ADB=90，又 DE AC，DEA=90，ADB=DEA，ABC中，AB=AC，AD BC，AD平分 BAC，即 DAE=BAD DAE BAD ADE=B（2）证明：OF AD，F=ADE 又 DEA=FDO（已证），FDO DEA FD：DE=FO：DA，即 FD?DA=FO?DE 点评：本题主要考查了切线的判定、弦切角定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质；（2）题乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得以证明4、如图，AB为 O的 直径，BF切 O于点 B，AF交 O于点 D，点 C在 DF上，BC交 O于点 E，且 BAF=2CBF，CG BF于 点 G，连接 AE(1)直接写出AE与 BC的位置关系；(2)求证：BCG ACE；(3)若 F=60，GF=1，求 O的半径长中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献解：（1）如图 1，AB是 O的直径，AEB=90 AE BC（2）如图 1，BF与 O相切，ABF=90 CBF=90 -ABE=BAE BAF=2 CBF BAF=2 BAE BAE=CAE CBF=CAE CG BF，AEBC，CGB=AEC=90 CBF=CAE，CGB=AEC，BCG ACE（3）连接 BD，如图 2 所示 DAE=DBE，DAE=CBF，DBE=CBF AB是 O的直径，ADB=90 BD AF DBC=CBF，BD AF，CG BF，CD=CG F=60，GF=1，CGF=90，tan F=CG=tan60=CG=，CD=中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献 AFB=60，ABF=90，BAF=30 ADB=90，BAF=30，AB=2BD BAE=CAE，AEB=AEC，ABE=ACE AB=AC 设 O的半径为r，则 AC=AB=2r，BD=r ADB=90，AD=r DC=AC-AD=2r-r=（2-）r=r=2+3 O的半径长为2+3解析：（1）由 AB为 O的直径即可得到AE与 BC垂直（2）易证 CBF=BAE，再结合条件BAF=2 CBF就可证到 CBF=CAE，易证 CGB=AEC，从而证到BCG ACE（3）由 F=60，GF=1 可求出CG=；连接BD，容易证到DBC=CBF，根据角平分线的性质可得DC=CG=；设圆 O的半径为 r，易证 AC=AB，BAD=30，从而得到AC=2r，AD=r，由 DC=AC-AD=可求出 O的半径长5、如图，AB、AC分别是 O的直径 和弦，点D为劣弧 AC上一点，弦DEAB分别 交 O于 E，交 AB于 H，交 AC于 F P是 ED延长线上一点且PC=PF(1)求证：PC是 O的切线；(2)点 D在劣弧 AC什么位置时，才能使AD2=DE?DF，为什么？(3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦 AC的长分析：（1）连接 OC，证明 OCP=90 即可（2）乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出（3）可以先根据勾股定理求出DH，再通过证明OGA OHD，得出 AC=2AG=2DH，求出弦AC的长解答：（1）证明：连接OC 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献PC=PF，OA=OC，PCA=PFC，OCA=OAC，PFC=AFH，DE AB，AHF=90，PCO=PCA+ACO=AFH+FAH=90，PC是 O的切线（2）解：点D在劣弧 AC中点位置时，才能使AD2=DE?DF，理由如下：连接 AE 点 D在劣弧 AC中点位置，DAF=DEA，ADE=ADE，DAF DEA，AD：ED=FD：AD，AD2=DE?DF（3）解：连接OD交 AC于 GOH=1，AH=2，OA=3，即可得OD=3，DH=2点 D在劣弧 AC中点位置，AC DO，OGA=OHD=90，在 OGA 和 OHD 中，OGA OHD（AAS），AG=DH，中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献AC=4点评：本题考查了切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可同时考查了相似三角形的性质及全等三角形的性质6、如图，AB、AC分别是 O的直径 和弦，点D为劣弧 AC上一点，弦DEAB分别 交 O于 E，交 AB于 H，交 AC于 F P是 ED延长线上一点且PC=PF(1)求证：PC是 O的切线；(2)点 D在劣弧 AC什么位置时，才能使AD2=DE?DF，为什么？(3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦 AC的长（1）证明：连接OC PC=PF，OA=OC，PCA=PFC，OCA=OAC，PFC=AFH，DE AB，AHF=90，PCO=PCA+ACO=AFH+FAH=90，PC是 O的切线（2）解：点D在劣弧 AC中点位置时，才能使AD2=DE?DF，理由如下：连接 AE 点 D在劣弧 AC中点位置，DAF=DEA，ADE=ADE，DAF DEA，AD：ED=FD：AD，AD2=DE?DF（3）解：连接OD交 AC于 GOH=1，AH=2，中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献OA=3，即可得OD=3，DH=2点 D在劣弧 AC中点位置，AC DO，OGA=OHD=90，在 OGA 和 OHD 中，OGA OHD（AAS），AG=DH，AC=4解析：（1）连接 OC，证明 OCP=90 即可（2）乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出（3）可以先根据勾股定理求出DH，再通过证明OGA OHD，得出 AC=2AG=2DH，求出弦AC的长。7、如图，AB是 O的直径，CB、CD分别切 O于 B、D两点，点E在 CD的延长线上，且CE=AE+BC；(1)求证：AE是 O的切线；(2)过点 D作 DF AB于点 F，连接 BE交 DF于点 M，求证：DM=MF 证明：（1）连接 OD，OE，CB、CD分别切 O于 B、D两点，ODE=90，CD=CE，CE=AE+BC，CE=CD+DE，AE=DE，OD=OA，OE=OE，ODE OAE（SSS），OAE=ODE=90，OA AE，AE是 O的切线；中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献（2）DF AB，AE AB，BC AB，AE DFBC，BMF BEA，EDM ECB，DM=MF 解析：（1）首先连接OD，OE，由 CB、CD分别切 O于 B、D两点，即可得ODE=90，CD=CE，又由 CE=AE+BC，CE=CD+DE，即可证得AE=DE，则可得 ODE OAE，即可证得AE是 O的切线；（2）首先易证得AE DF BC，然后由平行线分线段成比例定理，求得比例线段，将比例线段变形，即可求得 DM=MF 8、已知：如图，AB是 O的直径，D是 O上一点，连结BD并延长，使CD=BD，连结 AC。过点 D作 DE AC，垂足是点E过点 B作 BE AB，交 ED延长线于点F，连结 OF。求证：(1)EF 是 O的切线；(2)OBF DEC。证明：（1）连结 OD，AB是 O的直径，OA=OB，又 CD=BD，OD AC，DE AC，DEC=90，ODE=90，中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献点 D是 O上一点，EF是 O的切线。（2）BF AB，AB是 O的直径，BF是 O的切线，EF是 O的切线，BFO=DFO，FB=FD，OF BD，FDB=CDE，OFD=C，C=OFB，又 CED=FBO=90，OBF DEC。9、如图，已知AB是 O的直径，C是 O上一点，OD BC于点 D，过点 C作 O 切线，交OD的延长线于点E，连结 BE(1)求证：BE与 O相切；(2)连结 AD并延长交BE于点 F，若 OB 6，且 sin ABC 23，求 BF的长解：（1）连结 CO，OD BC，1 2，再由 CO OB，OE公共，OCE OBE（SAS）OCE OBE，又 CE是切线，OCE 90，OBE 90 BE与 O相切（2）备用图中，作DH OB于 H，H为垂足，在 Rt ODB 中，OB 6，且 sin ABC 23，OD 4，同理 Rt ODH Rt ODB，DH 4 53，OH 83又 RtABF RtAHD，FBDH AB AH，中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献FB4 5123=86+324 513考点：切线定义，全等三角形判定，相似三角形性质及判定。点评：熟知以上定义性质，根据已知可求之，本题有一定的难度，需要做辅助线。但解法不唯一，属于中档题。10、如图，AB是 O的直径，AC是弦，BAC的平分线 AD交 O于点 D，DEAC交 AC的延长线于点E，OE交 AD于点F。(1)求证：DE是 O的切线；(2)若，求的值；(3)在(2)的条件下，若O直径为 10，求 EFD的面积试题分析：（1）连接OD，根据角平分线定义和等腰三角形的性质可得CAD=ODA，推出OD AC，根据平行线性质和切线的判定推出即可；（2）先由（1）得 OD AE，再结合平行线分线段成比例定理即可得到答案；（3）根据三角形的面积公式结合圆的基本性质求解即可.（1）连接 OD 因为 OA=OD 所以 OAD=ODA 又已知 OAD=DAE 可得 ODA=DAE，所以 OD AC，又已知 DE AC 可得 DE OD 所以 DE是 O的切线；（2）由（1）得 OD AE，中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献（3）13528考点：圆的综合题点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.11、已知：如图，在RtABC中，A=90，以 AB为直径作 O，BC交 O于点 D，E是边 AC的中点，ED、AB的延长线相交于点F求证：(1)DE 为 O的切线(2)AB?DF=AC?BF证明：（1）如图，连接OD、AD OD=OA，2=3，AB是 O的直径，BDA=90，CDA=90 又 E是边 AC的中点，DE=AE=12AC，1=4，4+3=1+2=90，即又 AB是 O的直径，DE为 O的切线；（2）如图，AB AC，AD BC，3=C（同角的余角相等）中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献又 ADB=CDA=90，ABD CAD，ABBDACAD易证 FAD FDB，BDBFADDF，ABBFACDF，AB?DF=AC?BF解析：（1）连接 OD、AD，求出 CDA=BDA=90，点 E 为 AC中点，求出1=4，2=3，推出 4+3=1+2=90，根据切线的判定即可；（2）证 ABD CAD，推出ABBDACAD，再证 FAD FDB，推出BDBFADDF，得ABBFACDF，即可得出 AB?DF=AC?BF12、如图，以ABC的边 AB为直径的 O与边 BC交于点 D，过点 D作 DE AC，垂足为E，延长 AB、ED交于点 F，AD平分 BAC(1)求证：EF是 O的切线；(2)若 AE=3，AB=4，求图中阴影部分的面积解：（1）连接 OD OA=OD，OAD=ODA，AD平分 BAC，OAD=CAD，ODA=CAD，OD AC，DE AC，DEA=90，ODF=DEA=90，中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献OD是半径，EF是 O的切线（2）AB为 O的直径，DE AC，BDA=DEA=90，BAD=CAD，BAD DAE，ABADADAE，即43ADAD，AD=2，cosBAD=2 3342ADAB，BAD=30，BOD=2 BAD=60，BD=12AB=2，S BOD=12SABD=121222=，S阴影=S扇形 BOD-SBOD=26022333603解析：（1）根据等腰三角形性质和角平分线性质得出OAD=ODA=DAE，推出OD AC，推出OD EF，根据切线的判定推出即可；（2）证 BAD DAE，求出AD 长，根据锐角三角函数的定义求出BAD=30，求出 BOD=60 和求出BD=2=OB=OD，求出扇形BOD 和 BOD的面积，相减即可13、知 AB是 O的直径，直线l 与 O相切于点C且，弦 CD交 AB于 E，BF l，垂足为 F，BF交O于 G。中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献(1)求证：CE2=FG FB；(2)若 tan CBF=12，AE=3，求 O的直径。解：（1）证明：连结AC，AB为直径，ACB=90，且 AB是直径，AB CD即 CE是 RtABC的高，A=ECB，ACE=EBC，CE是 O的切线，FCB=A，CF2=FG FB，FCB=ECB，BFC=CEB=90，CB=CB，BCF BCE，CE=CF，FBC=CBE，CE2=FG FB；（2）CBF=CBE，CBE=ACE，ACE=CBF，tan CBF=tanACE=12=AECE，AE=3，312CECE=6，在 RtABC中，CE是高，CE2=AEEB，即 62=3EB，EB=12，O的直径为：12+3=15。中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献14.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC平分 BCD，BD交 AC于点 F，过点 A作圆的切线AE交 CB的延长线于 E.求证：AE BD；AD 2=DF AE 证明：AE为圆的切线，EAB=ACE（弦切角等于夹弧所对的圆周角），CA为 BCD的平分线，ACE=ACD，ABD=ACD，EAB=ABD，AE BD；AE BD，AEC=DBC，DBC=DAC，AEC=DAC，EAB=ADB（弦切角等于夹弧所对的圆周角），ABE DFA，ABAEDFDA ACE=ACD，?ADABAD=AB，则 AD?AB=AD2=AE?DF15、已知：ABCD，过点 D作直线交AC于 E，交 BC于 F，交 AB的延长线于G，经过 B、G、F三点作 O，过 E作 O的切线 ET，T 为切点.求证：ET=ED 证明：因为四边形ABCD 是平行四边形AD BC EAD=ECF EDA=EFC 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献 AED CEF(AA)DEAEEFCEAB平行 DC EAG=ECD G=EDC AEG CED（AA)AEEGCEEDEDEGEFED2EDEF EGET与 O相切于点T 2ETEFEG22EDETEDET16、如图，ABC中，AB=AC，O是 BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点A，过点 C作 CD BA，垂足为D.求证：（1）DAC=2B；（2）CA 2=CD CO 证明：（1）如图,由已知 ABC中,AB=AC 得ABC为等腰三角形,B=ACB 外角 1=B+ACB=2 B 又由已知 O是 BC上一点,以 O为圆心,OB 长为半径的圆与AC相切于点A 得 OAB为等腰三角形,B=OAB,OA AC 外角 2=B+OAB=2 B OAC=90 即 1=2，OAC为直角三角形由已知过 C作 CD BA的延长线于D，得 ADC=90，ADC为直角三角形在直角三角形OAC和 ADC中中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献1=2,OAC=ADC=90 OAC ADC 则 CA/CO=CD/CA，即 CA 2=CD CO