黑龙江省鸡西市第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题含答案.pdf
1鸡西市第一中学2019-2020 学年度高一学年下学期期末考试数学试卷第 I 卷（选择题)一、单选题(共 60 分)1(本题 5 分)1已知集合|3Ax yx，2|760Bx xx，则()RC AB（）A|13xxB|1 6xxC|1 3xxD|16xx2(本题 5 分)直线1l，2l分别过点M 1,4，N(-3,1)，它们分别绕点 M 和 N 旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离 d 的最大值是()A5B 4C13D33(本题 5 分)已知数列 an为等差数列，若a2，a7为函数的两个零点，则a4a5（）A-14B 20C14D-94(本题 5 分)已知向量,且，则mA1B1C75D755(本题 5 分)已知 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：若/mn，n，m，则；若，nm，则n或n；若，/nm，n，n，则/n且/n；若m，mn，n，则/或；其中正确命题的序号是（）AB CD26(本题 5 分)已知直线p:3x-2y+1=0，直线 q:ax+(b-1)y=0，且pq，若a，b均为正数，则的最小值是()ABC8D 247(本题 5 分)已知，实数,x y满足xyaa，则下列不等式一定成立的是（）ABCsinsinxyD22ln1ln1xy8(本题 5 分)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长的棱长度是（）ABC4D39(本题 5 分)九章算术第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”如：甲、乙、丙、丁分别分得100,60,36,21.6，递减的比例为0400，那么“衰分比”就等于0400，今共有粮0a a石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙分得36石，乙、丁所得之和为75石，则“衰分比”与a的值分别是（）A525075,04B525025,04C025,1750D075,175010(本题 5分)已知变量x，y满足约束条件2240240 xyxyxy，若222zxyx+1，则z的最小值为（）A10BC9D311在长方体1111ABCDAB C D-中，6AB，4BC，12AA，P，Q分别为棱1AA，11C D的中点.则从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（）A3 2B5 2C34D4 212(本题 5 分)已知函数()()f xxR是以 4 为周期的奇函数，当(0,2)x时，2()lnfxxxb，若数()f x在区间 2,2上有 5 个零点，则实数b的取值范围是（）A11bB1544bC114b或54bD11b或54b第 II卷（非选择题)二、填空题(共 20 分)13(本题 5分)在等差数列na中，0d，nS是它的前n项和，若4122aaa，且2a与6a的等比中项为4，则_14(本题 5分)如图是 AOB 用斜二测画法画出的直观图A O B，则 AOB的周长是 _15(本题 5分)已知函数2ln11fxxx，则fa_16(本题 5分)如图，正方体1111ABCDA B C D的棱长为 1，线段11B D上有两个动点,E F，且22EF，现有如下四个结论：ACBE；平面 EFC/平面 BD；异面直线,AE BF所成的角为定值；三棱锥ABEF的体积为定值，其中正确结论的序号是_4三、解答题(共 70 分)17(本题 10 分)如图，将棱长为2 的正方体1111ABCDA B C D沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体11ACBD（）求该四面体的表面积；（）求该四面体外接球的体积与棱切球的体积之比18(本题 12 分)已知 ABC 的三个内角 ABC 所对的边分别为a，b，c，向量，=,cos2A-1)，且=（1）求角 A 的大小；（2）若 BC3，试求 ABC 面积的最大值及此时ABC 的形状19(本题 12 分)如图，在四棱锥中，底面四边形满足，且，点和分别为棱和的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面20(本题 12 分)设数列na是等差数列，其前 n 项和为*nSnN；数列nb是等比数列，公比大于 0，其前n项和为*nTnN已知11b，322bb，424baa，5162baa5（1）求数列na和数列nb的通项公式；（2）12.4nnnnSTTTab，求正整数n 的值21(本题 12 分)设直线l的方程为1520axyaaR.(1)求证:不论a为何值，直线l必过一定点P;(2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点,0AA x，0,BBy，当AOB 而积最小时，求AOB 的周长及此时的直线方程;(3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a 也为正整数时，求直线l的方程.22(本题 12 分)已知二次函数2,fxaxbxc a b cR的最小值为-1，且关于x的方程0fx的两根为0 和-2.（1）求函数fx的解析式；（2）设3Fxtfxx其中0t，求函数Fx在3,22x时的最大值H t；（3）若g xfxk+（k为实数），对任意0,m，总存在0,n使得g mHn成立，求实数k的取值范围.注意：请将下图裁剪下来贴到答题卡中第 19 题相应位置6不能打印的同学请将下面原图画到答题卡中第 19 题相应位置期末考试（数学）答案一、选择题16CABCDA712BDCBDC二、填空题13.3514.15.-316.三、解答题17.【详解】()AC=2（2 分）表面积：S=（5 分）()正方体的棱长为2，正方体的体对角线长为2 3，7该四面体外接球即为正方体的外接球，而正方体的外接球直径为其体对角线外接球直径2R2 3，半径R3，（7 分）棱切球直径2r=2，半径 r=1（9 分）所以体积之比为：1（10 分）18.(1)60；(2)3 34，等边三角形.【详解】（1）因为92m n，由公式可得24cos410AcosA即可得2210cosA，解得12cosA，（3 分）又0,A，（4 分）=（5 分）（2）因为 BC3，即3a.由余弦定理可得221322bccosAbc，（6分）223bcbc即可得2232bcbcbc，（8分）3bc，（9 分）当且仅当bc时取得最大值，（10 分）60A，故此时ABC为等边三角形.故1133 332224maxmaxSsinAbc，此时三角形的形状是等边三角形.（12 分）【点睛】（1）本题考查余弦的倍角公式，三角形面积的最大值问题，涉及均值不等式的使用，属综合性中档题.819【详解】（1）在底面四边形中，由，可得；又，为的中点，所以，从而四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面（2 分）由题意，是的中位线，所以，又平面，平面，所以平面（4 分）又与是平面内两相交直线，所以平面平面；（5 分）因为平面，所以平面（6 分）（2）由（1）知，因为，所以，又，且是平面内两相交直线，9所以平面，（9 分）从而平面，又平面，所以平面平面（12 分）【点睛】解答类似问题的关键是根据图形，并结合三种平行（垂直）间的相互转化关系进行求解，解题时注意解题步骤的完整性，特别是定理中的关键性词语，在证题过程中要得到体现，属于基础题20.【详解】解：（1）设等比数列nb的公比为q,由11b,322bb,可得220qq0q,可得2q=故12nnb；（2 分）设等差数列na的公差为d,由424baa,得124ad,由5162baa,得131016ad,12,1ad故1nan；（4 分）（2）由na是等差数列,且1nan,得(3)2nnnS（5 分）由nb是等比数列,且12nnb,得122112nnnT（6 分）可得12122(12).(222)12nnnTTTnn10122nn（8分）由12.4nnnnSTTTab,可得11(3)22122nnnnnn,整理得：260nn,（10 分）解得2n（舍）或3n（11 分）n 的值为 3（12 分）【点睛】本题主要考查了等比等差数列的基本量法以及的等差等比数列的求和计算.属于中档题.21.【详解】解：(1)由1520axya得250a xxy，则2050 xxy，解得23xy，所以不论a为何值，直线l必过一定点2,3P；（4 分）(2)由1520axya得，当0 x时，52Bya，当0y时，521Aaxa，又由5205201BAyaaxa，得1a，（5 分）1191941+122 4112122212152521AOBaaaSaaaa，11当且仅当9411aa，即12a时，取等号.4,0A，0,6B，（6分）AOB的周长为224646102 13OAOBAB；（7 分）直线方程为3x+2y-12=0.（8分）(3)直线l在两坐标轴上的截距均为正整数，即52a，521aa均为正整数，523211aaa，a=2（11分）所以直线l的方程为390 xy.（12 分）【点睛】本题考查直线恒过定点问题，考查直线与坐标轴围成的三角形的面积的最值，是中档题.22.【详解】（1）0，2 是方程20axbxc的两根，00fc，2420fab，又fx最小值即214ba，1a，2b，0c=，所以22fxxx.（3 分）（2）2223213Fxt xxxtxtx，0t.12分以下情况讨论F x，3,22x的最大值H t.（1）当0t时，3F xx在3,22x上是减函数，max3322H tFxF.（4 分）（2）当0t时，F x的图像关于直线211122txtt对称，321224，故只需比较112t与14的大小.当11124t时，即25t时，322FF，max285F xH tFt.（5 分）当11124t时，即05t时，322FF，max333242FxHtFt；（7 分）综上所得33204252855ttHttt.（8 分）13（3）33204252855ttHttt，函数H t的值域为9,5，22g xxxk在区间0,上单调递增，故值域为k,，（9 分）对任意0,m，总存在0,n使得g mh n成立，即9,5k，（11 分）解得95k.（12 分）【点睛】本题主要考查二次函数的解析式及单调性，以及函数存在性与任意性问题，注意要对t进行分类讨论，考查学生的计算能力，属于难题
