2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全(导数及其应用).pdf

第 1页（共 21页）2005 年全国各地高考数学试题及解答分类大全（导数及其应用）一、选择题：1.(2005 广东)函数13)(23xxxf是减函数的区间为（D）A),2(B)2,(C)0,(D（0，2）解:,63)(2xxxf20,063,0)(2xxxxf解得即令，故选D2.(2005 广东)93lim23xxx=（A）A61B0C61D31解:6131)3)(3(3933323limlimlimxxxxxxxxx，故选A3(2005 湖北文)在函数xxy83的图象上，其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数是（）A 3B2C1D 0解：y=3x2-8,由题意得03x2-81 解之得2 633x或2 633x,其中整 x 的可取值为0个,选(D)4(2005 湖北理)若1)11(lim21xbxax，则常数ba,的值为（）A4,2 baB4,2 baC4,2 baD4,2 ba解：2211lim()lim1111xxabaxabxxx,令 a-b=-a,这时2221111(1)lim()limlimlim111111xxxxabaxaba xaxxxxx,a=-2,由此得 b=-4,选(C)5(2005 湖南理)设 f0(x)sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则 f2005(x)（）A sinxBsinxCcosxD cosx评述：本题考查了正余弦的导数问题，及相关函数同期性变化及求值问题。【思路点拨】本题目涉及三角函数在导数作用下存在一种有规律的性质,我们巧妙利用列举法,找出其中蕴含中的周期性.【正确解答】xxfxfxxfxfxxfsin)()(,cos)()(,sin)(12010.,sin)()(,cos)()(3423xxfxfxxfxf由此继续求导下去，四个一循环，()nfx的周期为4又 2005.sin)()(1501412005xxfxf，所以余故选 B.第 2页（共 21页）【解后反思】我们在解决一些比较庞大的数学问题或项数比较多的时候,大部分同学可能也意识到其中可能存在周期性或其他规律性的东西.可以总是找不出,或没有头绪,这个时候我们不能怕麻烦,就用列举法,多写几项,就可以把握住这种类型的题目.6(2005 江西理)已知函数)()(xfxf xy其中的图象如右图所示)(的导函数是函数xf，下面四个图象中)(xfy的图象大致是（）【思路点拨】本题考查导函数的图象及其性质,由图象得(1)(1)0ff，从而导出1x是函数 f(x)极值点是解本题的关健.【正确解答】由图象知，(1)(1)0ff，所以1x是函数()f x的极值点，又因为在(1,0)上，()0fx，在(0,1)上，()0fx，因此在(1,1)上，()f x单调递减，故选C.【解后反思】要注意,若00(,)p xy是函数 y=f(x)的极值点,则有()0fx,但是若0()0fx,则是00(,)p xy不一定是函数y=f(x)极值点,所以要判断一个点是否为极值点,还要检验点P的两侧的单调性是否不同.7(2005 江西理)22(1lim,11)1(lim11xfxxxfxx则若（）A 1B1C21D21【思路点拨】本题主要是考查函数极限法则的运用，涉及函数在某一点的极限的有关知识.【正确解答】令1tx，则0()lim1tf tt，令22sx，则1001112limlimlim(22)()2()2xsssxsfxf sf s.选 C.【解后反思】本题首先利用整体代换的方法,简化极限运算中式子,然后使用配凑法,将最值式子进行简化,再将简化后的条件代入因式,得出解.在做这一类题目时,先适当的将条件化简是解决的关健.8.(2005 全国文)函数93)(23xaxxxf，已知)(xf在3x时取得极值，则a=（A）2B）3（C）4（D）5解：2()323fxxax,令233()|(323)|xxfxxax=0,解得 a=5,选(D)9(2005 全国理)22112lim()3243xxxxx（）第 3页（共 21页）A21B21C61D61【思路点拨】本题考查函数在某一点极限的基本求法.先通分整理，再约分化简，最后代入求值.【正确解答】2211112(3)2(2)11lim()limlim3243(1)(2)(3)(2)(3)2xxxxxxxxxxxxxx选 A.【解后反思】在求函数某一点极限的过程中,总是先化简,再代入的思路,不要先随便代入或不加思索的用极限计算的运算法则进行分离.10.(2005 天津理)若函数3()log()(0,1)af xxaxaa在区间1(,0)2内单调递增，则a的取值范围是（A）1,1)4（B）3,1)4（C）9,)4（D）91,)4【思路点拨】本题考查了复合函数的性质导数的应用及不等式恒成立问题.令3()g xxax必须在()0g x的条件下再根据a 的不同情形进行分类讨论.【正确解答】令3()g xxax，2()3gxxa，当01a时，由3()log()af xxax区间1(,0)2内单调递增的充要条件是()0()0g xg x对一切1(,0)2x恒成立，即223axax对一切1(,0)2x恒成立，解得3,1)4a，当1a时，由3()log()af xxax区间1(,0)2内单调递增的充要条件是()0()0g xgx对一切1(,0)2x恒成立，即223axax对一切1(,0)2x恒成立，无解，故选B.解法 2：记3g xxax，则23gxxa当1a时，要使得fx是增数，则需有0gx恒成立，所以213324a。矛盾。排除C、D当01a时，要使得fx是增数，则需有0gx恒成立，所以213324a。排除 A本题答案选B【解后反思】一般地，()mf x对,xa b上的一切x 恒成立的充要条件是max()mfx；()mf x对,xa b上的一切 x 恒成立的充要条件是min()mfx.11(2005 辽宁)极限)(lim0 xfxx存在是函数)(xf在点0 xx处连续的（）（）充分而不必要的条件（）必要而不充分的条件（）充要条件（）既不充分也不必要的条件【答案】B第 4页（共 21页）【解答】极限)(lim0 xfxx存在且)()(lim00 xfxfxx，则函数)(xf在点0 xx处连续的，极限)(lim0 xfxx存在是函数)(xf在点0 xx处连续的必要而不充分的条件，故选B【点拨】准确理解函数连续性的概念及判断方法很重要二、填空题：1、(2005 春招北京文、理)322lim22nnnn=_21_。2(2005 北京理)过原点作曲线xey的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为.【答案】(1,)ee【详解】设切点的坐标是M（a,b），则 M（a,b）在曲线xey上，所以aeb又切线的斜率为abk，aaxxaxe|e|y，所以abea解、联立方程组，得a=1,b=e.k=e【名师指津】函数图像上某点的切线的斜率，就是函数在这一点的导数。3.(2005 江苏)曲线31yxx在点（1,3）处的切线方程是.答案：4x-y-1=0评述：本题考查了一阶导数的几何意义，由线y=f(x)在点 P（x0,y0）处的一阶导数值)(0/0/xfxxy为曲线 y=f(x)在点 P 处切线的斜率，同时考查了直线方程的求法。解析：由题意得.41,13/2/xyxy即曲线 y=x3+x+1 在点（1，3）处切线的斜率K=4，所以切线方程为：y-3=4(x-1),即 4x-y-1=0.4(2005 全国文)曲线32xxy在点（1，1）处的切线方程为.【思路点拨】本题考查导数的应用.【解答】2123,|1xyxy,曲线32xxy在点（1，1）处的切线方程为1(1)yx，即20 xy.【解后反思】掌握求切线方程的一般方法.但注意当点（1，1）不是切点时此题解法完全不同,用导数求切线时,如果我们知道的不是切点时,我们首先设切点,再利用导数求切线的方法,应先找切点,如果没有切点信息,就设切点,就可以完成.注意在某些题目,要注意切线有时不仅仅和曲线有一个交点,尤其是 3 次以上的曲线.5(2005 重庆文)曲线3xy在点（1，1）处的切线与x 轴、直线2x所围成的三角形的面积为.第 5页（共 21页）解：y=3x2,在(1,1)处切线为y-1=3(x-1),令 y=0,得切线与x 轴交点(2,03),切线与直线x=2 交于(2,4),曲线3(1,1)yx 在点处的切线与x 轴、直线2x所围成的三角形的面积为S=1 416842 363.6(2005 重庆理)曲线)0)(,(33aaaxy在点处的切线与x 轴、直线ax所围成的三角形的面积为a则,61=.解：y=3x2,在(a,a3)处切线为y-a3=3a2(x-a),令 y=0,得切线与x 轴交点(2,03a),切线与直线x=a交于(a,a3),曲线)0)(,(33aaaxy在点处的切线与x 轴、直线ax所围成的三角形的面积为 S=441 112 36a aa,令 S=16,解得 a=1.三、解答题：1.(2005 北京文、理)（本小题共14 分）已知函数f(x)=x33x29xa,（I）求 f(x)的单调递减区间；（II）若 f(x)在区间 2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值【详解】解：（I）2()369.fxxx令()0fx,解得1x或3,x所以函数()f x的单调递减区间为(,1),(3,).（II）因为(2)812182,faa(2)8121822,faa所以(2)(2).ff因为在(1,3)上()0fx,所以()f x在 1,2单调递增,又由于()f x在 2,1上单调递减,因此(2)f和(1)f分别是()f x在区间 2,2上的最大值和最小值.于是有2220a,解得2.a故32()392.f xxxx因此(1)13927.f即函数()f x在区间 2,2上的最小值为7.【名师指津】函数求导的方法研究函数的单调性及最值问题近几年高考试题中屡屡出现,成为热门题型.要熟练掌握各种常见函数的求导方法及研究单调、最值的基本思路.YCY2(2005 福建文)（本小题满分12 分）已知函数32()fxxbxcxd的图象过点P（0，2），且在点 M（1，f（1）处的切线方程为076yx.第 6页（共 21页）（）求函数)(xfy的解析式；（）求函数)(xfy的单调区间.解：()由32()f xxbxcxd的图象过点P（0，2）,d=2 知,所以32()2f xxbxcx,f(x)=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1)处的切线方程是6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即 f(-1)=1,f(-1)=6,326,121,bcbc即0,23,bcbc解得 b=c=-3.故所求的解析式为f(x)=x3-3x-3+2,()f(x)=3x2-6x-3,令 3x2-6x-3=0 即 x2-2x-1=0,解得 x1=1-2,x2=1+2,当 x1+2时,f(x)0;当 1-2x1+2时,f(x)0f(x)=x3-3x2-3x+2 在(1+2,+)内是增函数,在(-,1-2)内是增函数,在(1-2,1+2)内是减函数.3(2005 福建理)（本小题满分12 分）已知函数bxaxxf26)(的图象在点M（1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.（）求函数y=f(x)的解析式；（）求函数y=f(x)的单调区间.解：()由函数 f(x)的图象在点(-1,f(-1)处的切线方程为x+2y+5=0,知-1+2f(-1)+5=0,即f(-1)=-2,f(-1)=12.f(x)=222()2(6)()a xbx axxb,2621(1)2(6)1(1)2ababab即224(1)2(6)1(1)2ababab解得 a=2,b=3(b+10,b=-1 舍去)所求函数y=f(x)的解析式是2263xyx()2222126()(3)xxfxx,令-2x2+12x+6=0,解得 x1=32 3,x2=32 3当 x32 3时,()0fx;当32 3x时,()0fx,所以226()3xf xx在(-,32 3)内是减函数;在(32 3,32 3)内是增函数;在(32 3,+)内是减函数4(2005 湖北文 理)（本小题满分12 分）已知向量baxftxbxxa)(),1(),1,(2若函数在区间（1，1）上是增函数，求t 的取值范围.4本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.解法 1：依定义,)1()1()(232ttxxxxtxxxf.23)(2txxxf则第 7页（共 21页）.0)()1,1(,)1,1()(xfxf上可设则在上是增函数在若,23)(,)1,1(,230)(22xxxgxxtxf考虑函数上恒成立在区间,31)(xxg的图象是对称轴为由于开口向上的抛物线，故要使xxt232在区间（1，1）上恒成立.5),1(tgt即.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当xfxfxft5tt的取值范围是故.解法 2：依定义,)1()1()(232ttxxxxtxxxf.0)()1,1(,)1,1()(.23)(2xfxftxxxf上可设则在上是增函数在若)(xf的图象是开口向下的抛物线，时且当且仅当05)1(,01)1(tftf.5.)1,1()(,0)()1,1()(ttxfxfxf的取值范围是故上是增函数在即上满足在5(2005 湖南文)（本小题满分14 分）设0t，点 P（t，0）是函数cbxxgaxxxf23)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（）用t表示a，b，c；（）若函数)()(xgxfy在（1，3）上单调递减，求t的取值范围.【思路点拨】本题考查导数的基础知识和几何应用.涉及函数的交点问题，可根据交点的含义用t表示a，b，c，第（）问实质上是研究)()(xgxfy的导数y在（1，3）上0y或0y恒成立来求t的取值范围.【正确解答】（I）因为函数)(xf，)(xg的图象都过点（t，0），所以0)(tf，即03att.因为,0t所以2ta.,0,0)(2abccbttg所以即又因为)(xf，)(xg在点（t，0）处有相同的切线，所以).()(tgtf而.23,2)(,3)(22btatbxxgaxxf所以将2ta代入上式得.tb因此.3tabc故2ta，tb，.3tc（II）解法一)(3(23,)()(223223txtxttxxyttxxtxxgxfy.当0)(3(txtxy时，函数)()(xgxfy单调递减.由0y，若txtt3,0 则；若.3,0txtt则由题意，函数)()(xgxfy在（1，3）上单调递减，则).3,()3,1(),3()3,1(tttt或所以.39.333tttt或即或又当39t时，函数)()(xgxfy在（1，3）上单调递减.所以t的取值范围为).,39,(解法二：)(3(23,)()(223223txtxttxxyttxxtxxgxfy因为函数)()(xgxfy在（1，3）上单调递减，且)(3(txtxy是（1，3）第 8页（共 21页）上的抛物线，所以.0|,0|31xxyy即.0)3)(9(.0)1)(3(tttt解得.39tt或所以t的取值范围为).,39,(【解后反思】函数是高中数学最重要的内容之一，相关的知识点多面广，运动与变换、数形结合、分类讨论等数学思想方法体现既有深度又有广度，是历年数学高考的重点,做这类问题一般要把题目多读几遍,争取吃透题目中所包含的种种意思,最后根据要求,将条件转化成一道道等式,当发现条件不够时或解不下去时,要回到题目本身,看有没有漏条件或隐含条件还没有挖掘出来的.6(2005 湖南理)（本小题满分14 分）已知函数f(x)lnx，g(x)21ax2bx，a0.（）若b 2，且 h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a 的取值范围；（）设函数f(x)的图象 C1与函数 g(x)图象 C2交于点 P、Q，过线段 PQ 的中点作x 轴的垂线分别交 C1，C2于点 M、N，证明 C1在点 M 处的切线与C2在点 N 处的切线不平行.【思路点拨】本题涉及多种类型的函数知识,是利用各类型之间的横向关系的题目.【正确解答】（I）xaxxxhb221ln)(,22时，则.1221)(2xxaxaxxxh因为函数h(x)存在单调递减区间，所以)(xh0 时，则 ax2+2x10 有 x0 的解.当 a0 时，y=ax2+2x1 为开口向上的抛物线，ax2+2x 10 总有 x0 的解；当 a0 总有 x0 的解；则=4+4a0,且方程 ax2+2x1=0 至少有一正根.此时，1a0.综上所述，a 的取值范围为（1，0）（0，+）.（II）证法一设点 P、Q 的坐标分别是（x1,y1），（x2,y2），0 x1x2.则点 M、N 的横坐标为,221xxxC1在点 M 处的切线斜率为,2|1212121xxxkxxxC2在点 N 处的切线斜率为.2)(|212221bxxabaxkxxx假设 C1在点 M 处的切线与C2在点 N 处的切线平行，则k1=k2.即bxxaxx2)(22121，则)2()(2)()(2)(21212221221222112bxxabxxaxxbxxaxxxx=.lnln1212xxyy所以.1)1(2ln121212xxxxxx设,12xxt则.1,1)1(2lntttt第 9页（共 21页）令.1,1)1(2ln)(tttttr则.)1()1()1(41)(222ttttttr因为1t时，0)(tr，所以)(tr在,1）上单调递增.故.0)1()(rtr则ttt1)1(2ln.这与矛盾，假设不成立.故 C1在点 M 处的切线与C2在点 N 处的切线不平行.证法二：同证法一得).(2)ln)(ln(121212xxxxxx因为01x，所以).1(2ln)1(121212xxxxxx令12xxt，得.1),1(2ln)1(tttt令.11ln)(,1),1(2ln)1()(tttrtttttr则因为22111)1(lntttttt，所以1t时，.0)1(lntt故tt1ln在1，+)上单调递增.从而011lntt，即.0)(tr于是)(tr在1，+)上单调递增.故.0)1()(rtr即).1(2ln)1(ttt这与矛盾，假设不成立.故 C1在点 M 处的切线与C2在点 N 处的切线不平行.【解后反思】这是一道函数综合题,为高考数学的压轴大题.体现了综合性、灵活性、新颖性,解决此类问题,有一定的难度,它充分考查了学生推理运算能力,面对此类问题,必须紧抓条件横向与纵向量,加深对知识的挖掘.7.(2005 江苏)（本小题满分14 分，第一小问满分4 分，第二小问满分10 分）已知,aR函数2().f xxxa（）当a=2 时，求使f（x）x 成立的 x 的集合；（）求函数yf(x)在区间 1,2上的最小值.分析:本题是一道函数与导数综合运用问题,第一问对x 进行讨论,得出方程,进而求出x 的值;第二问对 a 进行讨论,结合函数的一阶导数值判断函数在区间上的单调性,进而求出函数的最小值.解答:()由题意,f(x)=x2.2x当 x2 时,f(x)=x2(2-x)=x,解得 x=0,或 x=1;当 x.21,)2()(,22xxxxxf解得时综上所述,所求解集为.21,0.()设此最小值为m.当.)(21123axxx，f，a上在区间时因为:),2,1(,0)32(3223)(/xaxxaxxxf则 f(x)是区间 1,2上的增函数,所以 m=f(1)=1-a.当 12 时，在区间 1，2上，.)(32xaxxf第 10页（共 21页）).32(332)(2/xaxxaxxf若,3a在区间(1，2)内 f/(x)0,从而 f(x)为区间 1，2上的增函数，由此得：m=f(1)=a-1.若 2a3,则2321a当；，xfxfax上的增函数为区间从而时321)(,0)(,321/当.2,32)(232/上的减函数为区间从而时axf，x因此，当2a3 时，m=f(1)=a-1 或 m=f(2)=4(a-2).当)2(4,1)2(4372amaa，a故时;当.1),2(41337ama，aa故时综上所述，所求函数的最小值;37,1;372),2(4;21,0;1,1时当时当时当时当aaaaaaam评析:本题主要考查运用导数研究函数性质的方法,同时考查了分类讨论转化化归的数学思想，以及相关分析推理、计算等方面的能力。8.(2005 全国理)（本大题满分12 分）（）设函数)10()1(log)1(log)(22xxxxxxf，求)(xf的最小值；（）设正数npppp2321,满足12321npppp，证明：nppppppppnn222323222121loglogloglog8本小题主要考查数学归纳法及导数应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分 12 分.（）解：对函数)(xf求导数：)1(log)1()log()(22xxxxxf.2ln12ln1)1(loglog22xx).1(loglog22xx于是.0)21(f当)(,0)1(loglog)(,2122xfxxxfx时在区间)21,0(是减函数，当)(,0)1(loglog)(,2122xfxxxfx时在区间)1,21(是增函数.所以21)(xxf在时取得最小值，1)21(f，（）证法一：用数学归纳法证明.（i）当 n=1 时，由（）知命题成立.第 11页（共 21页）（ii）假定当kn时命题成立，即若正数1,221221kkpppppp满足，则.logloglog222222121kppppppkk当1kn时，若正数,1,11221221kkpppppp满足令.,222211221xpqxpqxpqpppxkkk则kqqq221,为正数，且.1221kqqq由归纳假定知.logloglog222222121kqqpppqkkkkkkqqqqqqxpppppp222222121222222121logloglog(logloglog,log)()log22xxkxx同理，由xpppkkk1122212可得1122212212loglogkkkkpppp).1(log)1()(1(2xxkx综合、两式11222222121logloglogkkpppppp).1()1(log)1(log)(1(22kxxxxkxx即当1kn时命题也成立.根据（i）、（ii）可知对一切正整数n 命题成立.证法二：令函数那么常数),0(,0)(log)(log)(22cxcxcxcxxxg,log)1(log)1(log)(222ccxcxcxcxcxg利用（）知，当.)(,)2(21取得最小值函数时即xgcxcx对任意都有,0,021xx2log22loglog21221222121xxxxxxxx 1)()log(21221xxxx.下面用数学归纳法证明结论.（i）当 n=1 时，由（I）知命题成立.（ii）设当 n=k 时命题成立，即若正数有满足,1,221221kkpppppp11111122212212222121221221222222121loglogloglog.1,1.logloglogkkkkkkkkppppppppHppppppknkpppppp令满足时当由得到,1)()(,1)()log(1)()log(11111121221212221221221kkkkkkppppppppppppH因为由归纳法假设得到,)(log)()(log)(1111212221221221kppppppppkkkk).1()(1121221kppppkHkk即当1kn时命题也成立.所以对一切正整数n 命题成立.第 12页（共 21页）9.(2005 全国文)（本小题满分12 分）设为实数，函数f(x)=x3-x2-x+a.（）求f(x)的极值；（）当a 在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与 x 轴仅有一个交点.【思路点拨】本题注意考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.【正确解答】（1）2()321fxxx，若()0fx，则1,13x当x变化时，()fx，()f x变化情况如下表：所以()f x的极大值是15()327fa，极小值是(1)1fa.（2）函数322()(1)(1)1f xxxxaxxa.由此可知x取足够大的正数时，有()0fx，x取足够小的负数时，有()0f x，所以曲线()yf x与x轴至少有一个交点.结合()f x的单调性可知：当()f x的极大值5027a，即5(,)27a时，它的极小值也小于0，因此曲线()yf x与x轴仅有一个交点，它在(1,)上；当()f x的极小值10a时，即(1,)a上时，它的极大值也小于0，()yf x与x轴仅有一个交点，它在1(,)3上.所以，当5(,)(1,)27a时，曲线()yf x与x轴仅有一个交点.【解后反思】1、求可导函数f(x)的极值的步骤:求导函数()fx，求方程()0fx的根，检验方程()0fx的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这一根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数在这一根处取得极小值.2、理解极值概念时要注意以下几点：按定义极值的0 x是区间,a b内部的点，不会是端点；若f(x)在,a b内有极值，那么f(x)在,a b绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值；极值是一个函数在局部区域上的性质，极大值与极小值之间没有必然的大小关系，也就是说极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小函数f(x)在区间,a b上有极值的话，它的极值分布有规律，相邻两个极大值之间，必有一个极小值点，同样相邻两个极小值之间，必有一个极大值点，即f(x)在区间,a b上的极小值点、极大值点是交替出现；导数为零的点是该点成为极值点的必要不充分条件；极值只能在函数不可导的点和导数为零的点取得.10.(2005 全国理)（本小题满分12 分）已知a0，函数 f(x)=(x2-2ax)ex.（）当 x 为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；（）设 f(x)在-1，1上是单调函数，求a 的取值范围.【思路点拨】本题主要考查导数的概念和计算，应用导数函数性质的方法及推理和运算能力.考虑到xR，因此，第（）问()f x的最小值就等价于求()f x的极小值，只要利用导数按求极值的步骤进行就可以了，而第（）问f(x)在-1，1上是单调函数，实质上就是在-1，1上就是()0fx或()0fx恒成立时求a 的取值范围.第 13页（共 21页）【正确解答】（1）对函数()fx求导数，得22()(2)(22)2(1)2 xxxfxxax exa exa xa e.令()0fx，得22(1)2 0 xxa xa e，从而22(1)20 xa xa解得2111xaa，2211xaa，其中12xx，当x变化时，()fx，()f x变化情况如下表：当()f x在1xx处达到极大值，()fx在2xx处达到极小值.当0a时，11x，20 x，()f x在12(,)x x为减函数，在2(,)x为增函数，而当0a时，()(2)0 xfxx xa e；当0a时，()0f x，所以当211xaa时，()f x取得最小值.（2）当0a时，()f x在-1,1 上为单调函数的充要条件是21x.即2111aa，解得34a；综上，()f x在-1,1上为单调函数的充要条件为34a，即a的取值范围是3,)4.【解后反思】通过导函数研究可导函数的极值、单调性已成为高考的热点，且有难度增大的趋势.挖掘0a所产生的12,x x的范围是解决本题的关键.另外，()f xm恒成立，即比()f x的最小值还要小；()fxm恒成立，即比()fx的最大值还要大.11(2005 全国文)(本小题满分12 分)用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?【思路点拨】本题考查化归思想的应用.要求学生能把握实际问题背后的数学本质，通过建立模型解决问题.【解答】设容器的高为x，容器的体积为V，1 分则 V=（902x）（482x）x,(0V24)5分=4x3276x2+4320 xV=12 x2552x+43207 分由 V=12 x2552x+4320=0 得 x1=10，x2=36x0,10 x36 时，V36 时，V0,所以,当 x=10,V 有极大值 V(10)=1960 10 分又 V(0)=0,V(24)=0,11 分所以当 x=10,V 有最大值V(10)=1960 12 分【解后反思】注意求函数最值和求实际问题最值既有联系也有区别（定义域不同）.数学真正的目的是要学生会应用所学知识解决简单的实际问题，能适应社会日常生活和生产劳动的基本需要.可以说培养学生解答应用题的能力是使学生能够运用所学数学知识解决实际问题的基本内容和重要途径，因为应用题反映了周围环境中常见的数量关系和将自身知识进行实用化的能力.第 14页（共 21页）12(2005 全国理)（本小题满分12 分）已知函数.1,0,274)(2xxxxf（）求)(xf的单调区间和值域；（）设1a，函数,1,0,1,0.1,0,23)(0123xxxaxaxxg总存在若对于任意使得)()(10 xfxg成立，求 a 的取值范围.【思路点拨】本题由分式函数的有关性质，考查运算能力和思维能力.涉及导数在解决分式函数、高次函数问题中的重要应用，熟练掌握导数的运算法则是解决这类问题的关键.而第（）问中对a 的讨论是解决这一问题的难点，也是作为压轴题的亮点.【正确解答】（I）对函数)(xf求导，得222)2()72)(12()2(7164)(xxxxxxxf令0)(xf解得.2721xx或当x变化时，)(),(xfxf的变化情况如下表：所以，当)21,0(x时，)(xf是减函数；当)1,21(x时，)(xf是增函数.当1,0 x时，)(xf的值域为 4，3.（II）对函数)(xg求导，得).(3)(22axxg因为1a，当)1,0(x时，.0)1(3)(2axg因此当)1,0(x时，)(xg为减函数，从而当1,0 x时有).0(),1()(ggxg又,2)0(,321)1(2agaag即 1,0 x时有.2,321)(2aaaxg任给 1,01x，3,4)(1xf，存在 1,00 x使得)()(10 xfxg，则.3,42,321 2aa即.32,43212aaa解式得351aa或；解式得.23a又1a，故 a 的取值范围为.231a【解后反思】注意导数是新课改重要内容，是高考的又一热点，也是学生学习数学的难点，导数在高中数学中有如下几种应用：(1)求单调区间；(2)求函数的极值；(3)求切线；(4)求最值.必须认真学好.13(2005 山东文)已知1x是函数32()3(1)1f xmxmxnx的一个极值点，其中,m nR，0m.（1）求m与n的关系表达式；（2）求()f x的单调区间.见理 19【思路点拨】此题考查了可导函数的导数求法，极值的定义，以及可导函数的极值点的必要条件和充分条件（导函数在极值点两侧异号），含参不等式恒成立的求解问题，考查运算能力和分析问题、第 15页（共 21页）解决问题的能力.【正确解答】（）解：2()36(1)fxmxmxn.因为1x是()f x的一个极值点,所以(1)0f,即36(1)0mmn.所以36nm（）解:由（）知22()36(1)363(1)(1)fxmxmxmm xxm当0m时,有211m,当x变化时()f x与()fx的变化如下表:由上表知,当0m时,()f x在2(,1)m单调递减,在2(1,1)m单调递增,在(1,)单调递减【解后反思】要深刻理解和熟练掌握数学思想和方法，本题中运用了数形结合法、分离变量法、换元法等多种数学思想和方法.因此，在解答问题的过程中要领悟和体验这些方法，积累经验，必定能提高解决综合问题的能力.14.(2005 山东理)（本小题满分12 分）已知1x是函数32()3(1)1f xmxmxnx的一个极值点,其中,m nR0m.（）求m 与 n 的关系表达式;（）求()f x的单调区间；（）当 1,1x时,函数()yfx的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求 m 的取值范围【思路点拨】此题考查了可导函数的导数求法，极值的定义，以及可导函数的极值点的必要条件和充分条件（导函数在极值点两侧异号），含参不等式恒成立的求解问题，考查运算能力和分析问题、解决问题的能力.【正确解答】（）解：2()36(1)fxmxmxn.因为1x是()f x的一个极值点,所以(1)0f,即36(1)0mmn.所以36nm（）解:由（）知22()36(1)363(1)(1)fxmxmxmm xxm当0m时,有211m,当x变化时()f x与()fx的变化如下表:由上表知,当0m时,()f x在2(,1)m单调递减,在2(1,1)m单调递增,在(1,)单调递减（）解法一:由已知,得()3fxm,即22(1)20mxmx.0m.第 16页（共 21页）222(1)0 xmxmm.即2122(1)0,1,1xxxmm.（*）设212()2(1)g xxxmm,其函数图象的开口向上.由题意(*)式恒成立,22(1)0120(1)010gmmg434,310mm又0m.403m即m的取值范围是403m解法二：由已知,得()3fxm，即23(1)(1)3m xxmm，0m.2(1)1(1)1xxm.(*)011x时.(*)式化为01怛成立.0m.021x时1,1,210 xx.(*)式化为21(1)1xmx令1tx,则2,0t,记1()g ttt,则()g t在区间2,0是单调增函数min13()(2)222g tg由(*)式恒成立,必有234,23mm又0m304m综上01、02知403m【解后反思】要深刻理解和熟练掌握数学思想和方法，本题中运用了数形结合法、分离变量法、换元法等多种数学思想和方法.因此，在解答问题的过程中要领悟和体验这些方法，积累经验，必定能提高解决综合问题的能力.15.(2005 天津文)（本小题满分14 分）已知mR，设P：1x和2x是方程220 xax的两个实根，不等式21253mmxx对任意实数1,1a恒成立；第 17页（共 21页）Q：函数324()()63f xxmxmx在(,)上有极值求使P正确且Q正确的m的取值范围【思路点拨】本题是组合题，考查一元二次方程的根的概念和导数的应用.【正确解答】()由题设1x和2x是方程220 xax的两个实根，得1x+2xa且1x2x2，所以，84)(|22122121axxxxxx当a-1,1时，28a的最大值为9，即12|xx3由题意，不等式212|53|mmxx对任意实数a1,1恒成立的m的解集等于不等式2|53|3mm的解集 由此不等式得2533mm或2533mm不等式的解为05m不等式的解为1m或6m因为，对1m或05m或6m时，P是正确的()对函数6)34()(23xmmxxxf求导3423)(2mmxxxf令0)(xf，即034232mmxx此一元二次不等式的判别式16124)34(12422mmmm若0，则0)(xf有两个相等的实根0 x，且)(xf的符号如下：因为，0()f x不是函数()f x的极值若0，则0)(xf有两个不相等的实根1x和2x(1x0 时，函数f(x)在(,+)上有极值由0161242mm得1m或4m，因为，当1m或4m时，Q 是正确得综上，使P正确且 Q正确时，实数m的取值范围为(-,1),65,4(【解后反思】对恒成立问题的等价转换，相应知识的完整理解是关键.对 P 来说，转化为求使12xx的最大值时的范围，而要注意一次二次方程根存在的充要条件.对 Q 来说，()f x的导函数存在的充要条件的理解是一难点，也是易错点.16.(2