高中数学第2章几个重要的不等式2.1柯西不等式学案北师大版选修4-5.pdf

精品教案可编辑1柯西不等式1.1 简单形式的柯西不等式1.2 一般形式的柯西不等式1认识柯西不等式的几种不同的形式，理解它们的几何意义，能证明柯西不等式的代数形式和向量形式(重点、易混点)2理解用参数配方法讨论柯西不等式一般情况的过程(重点难点)3能利用柯西不等式求特定函数的最值和进行简单的证明(难点)基础初探 教材整理1 简单形式的柯西不等式阅读教材P27P28，完成下列问题1定理 1对任意实数a，b，c，d，有(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立2柯西不等式的向量形式设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)不等式(a2b2)(d2c2)(acbd)2是柯西不等式()(2)(ab)(cd)(acbd)2，是柯西不等式，其中a，b，c，d为正数()精品教案可编辑(3)在柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2中，a，b，c，d是任意实数()【解析】柯西不等式中，四个数的组合是有对应顺序的，故(1)不对，(2)中，a，b，c，d可分别写成(a)2，(b)2，(c)2，(d)2，所以是正确的，(3)正确【答案】(1)(2)(3)教材整理2 一般形式的柯西不等式阅读教材P29P30“练习”以上部分，完成下列问题1定理 2设a1，a2，an与b1，b2，bn是两组实数，则有(a21a22a2n)(b21b22b2n)(a1b1a2b2anbn)2，当向量(a1，a2，an)与向量(b1，b2，bn)共线时，等号成立2推论设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有(a21a22a23)(b21b22b23)(a1b1a2b2a3b3)2.当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时“”成立在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为aikbi(i1,2,3，n)，可以吗？【解】不可以若bi0 而ai 0，则k不存在质疑手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：解惑：精品教案可编辑小组合作型 利用柯西不等式证明不等式(1)已知a2b21，x2y21，求证：|axby|1；(2)设a，b，c为正数，求证：a2b2b2c2a2c22(abc)【精彩点拨】本题考查柯西不等式及证明不等式的基础知识，考查推理论证能力及代数式的变式能力解答本题(1)可逆用柯西不等式，而解答题(2)需将a2b2，b2c2，a2c2增补，使其满足柯西不等式左边结构方可应用【自主解答】(1)|axby|axby2a2b2x2y21.(2)由柯西不等式得：a2b2 1212ab，即2a2b2ab.同理：2b2c2bc，2a2c2ac.将上面三个同向不等式相加得：2(a2b2a2c2b2c2)2(abc)，所以a2b2a2c2b2c22(abc)利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的基本特征：a2b2c2d2acbd2，其中a，b，c，dR 或abcdr(ac)r(bd)2，其中a，b，c，d为正数.找出待证不等式中相应的两组数，当这两组数不太容易找时，需分析，增补特别是对数字的增补：如a1a变形等.再练一题 1设a，b，c为正数，求证：a2bb2cc2aabc.精品教案可编辑【证明】由柯西不等式ab2bc2ca2(b)2(c)2(a)2abbbcccaa2.于是a2bb2cc2a(abc)(abc)2，即a2bb2cc2aabc.运用柯西不等式求参数范围已知正数x，y，z满足xyzxyz，且不等式1xy1yz1zx恒成立，求的取值范围.【导学号：94910029】【精彩点拨】“恒成立”问题需求1xy1yz1zx的最大值，设法应用柯西不等式求最值【自主解答】1xy1yz1zx12xy12yz12zx121zxyz1xxyz 1yxyz12121212zxyzxxyzyxyz1232.故参数的取值范围是32，.此题也是通过构造转化应用柯西不等式，由此可见，应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理.精品教案可编辑再练一题 2已知实数a，b，c，d满足abcd3，a2 2b2 3c26d25，试求a的取值范围【解】由柯西不等式得，(2b23c2 6d2)121316(bcd)2，即 2b23c2 6d2(bcd)2.由条件可得，5a2(3 a)2，解得 1a 2，所以实数a的取值范围是 1,2 探究共研型 利用柯西不等式求最值探究 1 柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2是如何证明的？【提示】要证(a2b2)(c2d2)(acbd)2，只要证a2c2b2c2a2d2b2d2a2c22abcdb2d2，即证b2c2a2d22abcd，只要证(bcad)2 0.因为上式显然成立，故(a2b2)(c2d2)(acbd)2.探究 2 根据柯西不等式，下列结论成立吗？(1)(ab)(cd)(acbd)2(a，b，c，d为非负实数)；(2)a2b2c2d2|acbd|(a，b，c，dR)；(3)a2b2c2d2|ac|bd|(a，b，c，dR)【提示】成立已知x22y23z21817，求 3x2yz的最小值精品教案可编辑【精彩点拨】利用x22y23z2为定值，构造柯西不等式形式，再利用公式得出范围，求解最小值【自主解答】(x22y23z2)32221323x2y 23z132(3x 2yz)2，(3x2yz)2(x22y23z2)322213212.233x2yz23，3x2yz的最小值为23.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要保证取到等号成立的条件.再练一题 3若 3x4y2，试求x2y2的最小值及最小值点【解】由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x 4y)2，得 25(x2y2)4，所以x2y2425.当且仅当x3y4时“”成立，为求最小值点，需解方程组3x4y2，x3y4，x625，y825.精品教案可编辑因此，当x625，y825时，x2y2取得最小值，最小值为425，最小值点为625，825.构建体系 1设x，yR，且 2x3y13，则x2y2的最小值为()A.13 B 169 C13 D0【解析】(2x3y)2(2232)(x2y2)，x2y2 13.【答案】C2已知a，b，c大于 0，且abc 1，则a2b2c2的最小值为()A1 B4C.13D12【解析】根据柯西不等式，有(a2b2c2)(121212)(abc)21，a2b2c213.【答案】C3已知a2b2c2 1，x2y2z21，taxbycz，则t的取值范围是()A(0,1)B(1,1)C(1,0)D1,1【解析】设(a，b，c)，(x，y，z)|a2b2c2 1，|x2y2z21，精品教案可编辑由|，得|t|1.t的取值范围是1,1【答案】D4已知x，y0，11x11y的最小值为4，则xy_.【导学号：94910030】【解析】11x11y 1 11xy211xy2，11xy24，又xy0，xy1，xy1.【答案】15已知 3x2 2y2 6，求证：2xy11.【证明】由柯西不等式得(2xy)2(3x)2(2y)2232122(3x22y2)4312 611611.于是 2xy11.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)精品教案可编辑学业分层测评(十)(建议用时：45 分钟)学业达标 一、选择题1已知a，b为正数，且ab1，则P(axby)2与Qax2by2的关系是()APQBPQCPQDPQ【解析】设m(ax，by)，n(a，b)，则|axby|mn|m|n|ax2by2a2b2ax2by2abax2by2，所以(axby)2ax2by2.即PQ.【答案】A2已知xy1，那么 2x2 3y2的最小值是()A.56B65C.2536D3625【解析】2x23y2(2x23y2)121365652x223y33265(xy)265.【答案】B3已知x，y，z均大于 0，且xyz1，则1x4y9z的最小值为()A24 B30C36 D48精品教案可编辑【解析】(xyz)1x4y9zx1xy2yz3z236，1x4y9z 36.【答案】C4设x，y，m，n0，且mxny1，则uxy的最小值是()A(mn)2BmC.nD(mn)2【解析】根据柯西不等式，得xy(xy)mxnyxmxyny2(mn)2，当且仅当xmyn时，等号成立，这时u取最小值为(mn)2.【答案】A5函数yx526x的最大值是()A.3 B5C3 D5【解 析】根 据 柯 西 不 等 式，知y 1x5 26x1222x526x25.【答案】B二、填空题6函数yx3x的最大值为 _ 精品教案可编辑【解析】由x，3x非负且(x)2(3x)23，所以x3x 2x23x22 3 6.【答案】67设x，y为正数，且x2y8，则9x2y的最小值为 _.【导学号：94910031】【解析】(x2y)9x2y(x)2(2y)23x22y2x3x2y2y225，又x 2y8，9x2y258.【答案】2588设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2b2c225，x2y2z236，axbycz30，则abcxyz_.【解析】由柯西不等式，得 25 36 (a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2302.当且仅当axbyczk时取“”，由k2(x2y2z2)2 25 36，解得k56，精品教案可编辑所以abcxyzk56.【答案】56三、解答题9已知实数x，y，z满足x2yz1，求tx24y2z2的最小值【解】由柯西不等式得(x24y2z2)(11 1)(x2yz)2.x2yz1，3(x24y2z2)1，即x24y2z213.当且仅当x2yz13，即x13，y16，z13时等号成立故x24y2z2的最小值为13.10 已知为锐角，a，b均为正数求证：(ab)2a2cos2b2sin2.【证明】设macos，bsin，n(cos，sin)，则|ab|acos cos bsin sin|mn|m|n|acos 2bsin 2 1a2cos2b2sin2，精品教案可编辑(ab)2a2cos2b2sin2.能力提升 1已知x，y为正数，且xy1，则 11x11y的最小值为()A4 B2C1 D14【解析】11x11y 121x2 121y21 11x1y211xy2224.【答案】A2设a1，a2，an为正数，Pa1a2ann，Qn1a11a21an，则P，Q间的大小关系为()APQBPQCPQDPQ【解析】(a1a2an)1a11a21an(11 1)2n个n2，a1a2annn1a11a21an.即PQ.精品教案可编辑【答案】B3 已知函数y3x546x，则函数的定义域为_，最大值为 _【解析】函数的定义域为5,6，且y0，y3x5 46x3242x526x25，当且仅当36x4x5，即x13425时取等号ymax5.【答案】5,6 54ABC的三边长为a，b，c，其外接圆半径为R.求证：(a2b2c2)1sin2A1sin2B1sin2C 36R2.【证明】由三角形中的正弦定理得：sin Aa2R，所以1sin2A4R2a2，同理1sin2B4R2b2，1sin2C4R2c2，于是由柯西不等式可得左边(a2b2c2)4R2a24R2b24R2c2a2Rab2Rbc2Rc236R2，所以原不等式得证