高中数学第2章圆锥曲线2.12.2.1直线的参数方程学案北师大版选修4-1.pdf

精品教案可编辑1参数方程的概念2 直线和圆锥曲线的参数方程2.1 直线的参数方程1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线的参数方程.(重点)3.能够利用直线的参数方程解决有关问题.(难点)基础初探 教材整理1 参数方程的概念一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数xft，ygt，并且对于t取的每一个允许值，由方程组所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫作参变数，简称参数.相对于参数方程，我们把直接用坐标(x，y)表示的曲线方程f(x，y)0 叫作曲线的普通方程.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)参数可以是一个有物理意义或几何意义的量，但不能是没有实际意义的变数.()(2)参数与变量x，y间存在函数关系.()精品教案可编辑(3)点M(2,1)在曲线x 2t，yt21(t为参数)上.()【解析】(1)参数既可以是一个有物理或几何意义的量，也可以是没有实际意义的变数.(2)在参数方程中，参数与x，y存在函数关系.(3)x 2 时，2 2t得t1，而y1 时t 0 1，故点(2,1)不在曲线上.【答案】(1)(2)(3)教材整理2 直线的参数方程1.经过点P(x0，y0)，倾斜角是的直线的参数方程为xx0tcos，yy0tsin(t为参数).其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数t的几何意义是从点P到M的位移，可以用有向线段PM的数量来表示.2.经过两个定点Q(x1，y1)，P(x2，y2)(其中x1x2)的直线的参数方程为xx1x21，yy1y21(为参数，1).其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数的几何意义与参数方程中的t显然不同，它所反映的是动点M分有向线段QP的数量比QMMP.当 0 时，M为内分点；当 0 时，且 1 时，M为外分点；当 0 时，点M与Q重合.精品教案可编辑填空：(1)过点(0,0)且倾斜角为60 的直线的参数方程是 _.(2)参数方程x1tcos 20，y2tsin 20(t为参数)表示的直线的倾斜角是_.【解析】(1)xtcos 60，ytsin 60，即x12t，y32t(t为参数).(2)方程符合直线参数方程的标准形式，易知倾斜角为20.【答案】(1)x12t，y32t(t为参数)(2)20质疑手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：解惑：精品教案可编辑小组合作型 求动点轨迹的参数方程如图 2-2-1所示，OA是定圆的直径，长2a，直线OB与圆交于M1，和过A点的切线交于点B，MM1OA，MBOA，MM1与MB交于点M，与OA交于点C，以O为原点，OA为x轴的正半轴，求动点M轨迹的参数方程.图 2-2-1【精彩点拨】引入弦OM1与x轴的夹角为参数，由解三角形知识将动点M(x，y)的坐标x，y分别用角表示，从而得到轨迹的参数方程.【自主解答】设点M的坐标为M(x，y)，弦OM1与x轴的夹角是，取为参数，连结AM1，则有AM1OM1，OC2acos cos 2acos2，AB2atan，x 2acos2，y 2atan(为参数)，这就是所求的点M的参数方程.精品教案可编辑求动点的轨迹方程，是解析几何中常见的题型之一，通常可用解析法寻找变量之间的关系，列出等式，得到曲线的方程.当变量之间的关系不容易用等式表示时，可以引入参数(如角度、斜率、距离、比值等)，使变量x，y之间通过参数联系在一起，从而得到曲线的参数方程.再练一题 1.过抛物线y2 4px(p0)的顶点作互相垂直的两弦OA，OB，求AB中点P的轨迹方程.【解】设OA的斜率为k(k 0)，则y24px，ykx，解得A点坐标为4pk2，4pk.由y1kx，y24px，解得B点坐标为(4pk2，4pk).设AB的中点为P(x，y)，则x4pk24pk222p1k2k2，y 2p1kk(k为参数)，消去k得中点P的轨迹方程为y22p(x4p)(p 0).求直线的参数方程已知直线l过(3,4)，且它的倾斜角 120.(1)写出直线l的参数方程；(2)求直线l与直线xy10 的交点.精品教案可编辑【精彩点拨】根据直线过点(3,4)，且直线的倾斜角 120 .代入xx0tcos，yy0tsin，得该直线的参数方程.然后与xy 10 联立可求得交点.【自主解答】(1)直线l的参数方程为x3tcos 120，y4tsin 120(t为参数)，即x 312t，y 432t(t为参数).(2)把x312t，y432t，代入xy10，得 312t432t10，得t0.把t0 代入x312t，y432t，得两直线的交点为(3,4).精品教案可编辑求直线的参数方程时，若已知所过的定点与其倾斜角时，利用xx0tcos，yy0tsin(t为参数)求；若已知两个定点，利用xx1x21，yy1y21(为参数，1)求.再练一题 2.设直线l过点P(3,3)，且倾斜角为56.(1)写出直线l的参数方程；(2)设此直线与曲线C：x2cos，y4sin(为参数)交于A，B两点，求|PA|PB|.【解】(1)直线l的参数方程为x 3tcos56332t，y3tsin563t2(t为参数).(2)把曲线C的参数方程中参数消去，得4x2y216 0.把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得4 332t2 312t216 0，即 13t24(3 123)t116 0.由t的几何意义，知|PA|PB|t1t2|，精品教案可编辑故|PA|PB|t1t2|11613.探究共研型 直线参数方程的应用探究 1 直线参数方程xx0tcos，yy0tsin(为参数)中参数的几何意义怎样理解？【提示】直线参数方程中参数t表示直线上以定点P为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段PM的数量，当点M在点P上方时，t0；当点M在P的下方时，t0；当点M与P重合时，t0.我们也可以把参数t理解为以P为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同.探究2 直线参数方程的形式不同，参数的意义一样吗？直线过点(x0，y0)，斜率为ba时的直线参数方程怎样？【提示】直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，过定点P(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程是xx0at，yy0bt(a，b为常数，t为参数).当a2b21 时，参数方程为标准形式，|t|的几何意义是有向线段PM的长度；当a2b21 时，参数方程的标准形式为xx0aa2b2a2b2t，yy0ba2b2a2b2t，其中a2b2t具有标准参数方程中参数的几何意义.探究 3 当直线与圆锥曲线相交时，能否使用直线参数方程求弦长？精品教案可编辑【提示】在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若涉及到线段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参数方程中参数t的几何意义求解，比利用直线l的普通方程来解决更为方便.如图 2-2-2所示，已知直线l过点P(2,0)，斜率为43，直线l和抛物线y22x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：图 2-2-2(1)P，M间的距离|PM|；(2)点M的坐标；(3)线段AB的长|AB|.【精彩点拨】先求得直线l的参数方程的标准形式，然后代入抛物线方程，得到关于参数t的一元二次方程，再利用参数t的几何意义，逐个求解.【自主解答】(1)直线l过点P(2,0)，斜率为43，设直线l的倾斜角为，则tan 43，cos 35，sin 45，直线l的参数方程的标准形式为x235t，y45t(t为参数).(*)直线l和抛物线相交，将直线l的参数方程代入抛物线方程y22x中，整理得8t215t50 0，152 4 8 50 0.精品教案可编辑设这个二次方程的两个根为t1，t2，由根与系数的关系得t1t2158，t1t2254.由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得|PM|t1t221516.(2)因为中点M所对应的参数为tM1516，将此值代入直线l的参数方程的标准形式(*)，得x 23515164116，y45151634，即M4116，34.(3)|AB|t1t2|t1t224t1t25873.在求直线l与曲线C：f(x，y)0 的交点间的距离时，把直线l的参数方程xx0tcos，yy0tsin 代入f(x，y)0，可以得到一个关于t的方程f(x0tcos，y0tsin)0.假设该方程的解为t1，t2，对应的直线l与曲线C的交点为A，B，那么由参数t的几何意义可得|AB|t1t2|.(1)弦AB的长|AB|t1t2|.(2)线段AB的中点M对应的参数tt1t22(解题时可以作为基本结论使用).再练一题 精品教案可编辑3.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度.已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角6.(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆2 相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积.【解】(1)直线l的参数方程为x1tcos6，y1tsin6，即x132t，y112t(t是参数).(2)圆2 的普通方程为x2y2 4.把直线x132t，y112t代入x2y24，得132t2 112t24.整理得t2(3 1)t20，点P到A，B的距离之积为|t1|t2|t1t2|2.构建体系 精品教案可编辑1.直线x 2tcos 50，y3tsin 40(t为参数)的倾斜角等于()A.40 B.50 C.45 D.135【解析】根据 tan sin 40cos 50 1，因此倾斜角为135.【答案】D2.曲线x 25t，y12t(t为参数)与坐标轴的交点是()【导学号：12990021】A.0，25，12，0B.0，15，12，0C.(0，4)，(8,0)D.0，59，(8,0)【解析】当x 25t0 时，解得t25，可得y12t15，当y12t0 时，解得t12，可得x 25t12，曲线与坐标轴的交点坐标为0，15，12，0.精品教案可编辑【答案】B3.过点P(4,0)，倾斜角为56的直线的参数方程为_.【解析】直线l过点P(4,0)，倾斜角56，所以直线的参数方程为x 4tcos 56，y0tsin 56，即x 432t，yt2.【答案】x 432t，yt24.已知圆C的圆心是直线xt，y 1t(t为参数)与x轴的交点，且圆C与直线xy 30 相切，则圆C的方程为 _.【解析】由xt，y1t，得xy10.圆心C(1,0)，又圆C与直线xy30 相切，精品教案可编辑r|103|22，圆C的方程为(x1)2y22.【答案】(x1)2y225.过抛物线y2 4x的焦点F作倾斜角为34的直线，它与抛物线交于A，B两点，求这两点的距离.【解】抛物线y24x的焦点为F(1,0)，设过焦点F(1,0)，倾斜角为34的直线的参数方程为x122t，y22t(t为参数)，将此代入y24x，得t242t80，设这个方程的两个根分别为t1，t2，由根与系数的关系，有t1t2 42，t1t2 8，|AB|t1t2|t1t224t1t242232 64 8.A，B两点间的距离是8.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：精品教案可编辑(1)(2)