高中数学人教A版选修1-1学业分层测评9双曲线及其标准方程Word版含解析.pdf

学业分层测评(建议用时：45 分钟)学业达标 一、选择题1双曲线x225y291 的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点 P 到 F1的距离是 12，则 P 到 F2的距离是()A17B7 C7 或 17 D2 或 22【解析】由双曲线方程x225y291 得 a5，|PF1|PF2|2510.又|PF1|12，|PF2|2 或 22.故选 D.【答案】D 2焦点分别为(2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()Ax2y231 B.x23y21 Cy2x231 D.x22y221【解析】由双曲线定义知，2a2223222232532，a1.又 c2，b2c2a2413，因此所求双曲线的标准方程为x2y231.【答案】A 3 设动点 M 到 A(5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于 6，则 P 点的轨迹方程是()A.x29y2161 B.y29x2161 C.x29y2161(x0)D.x29y2161(x0)【解析】由双曲线的定义得，P 点的轨迹是双曲线的一支由已知得2c10，2a6，a3，c5，b4.故 P 点的轨迹方程为x29y2161(x0)，因此选 D.【答案】D 4已知双曲线x26y231 的焦点为 F1，F2，点 M 在双曲线上，且 MF1x 轴，则 F1到直线 F2M 的距离为()A.365B.5 66C.65D.56【解析】不妨设点 F1(3,0)，容易计算得出|MF1|3262，|MF2|MF1|2 6.解得|MF2|526.而|F1F2|6，在直角三角形MF1F2中，由12|MF1|F1F2|12|MF2|d，求得 F1到直线 F2M 的距离 d 为65.故选 C.【答案】C 5椭圆x24y2a21 与双曲线x2ay221 有相同的焦点，则a 的值是()A.12B1 或 2 C1 或12D1【解析】由于 a0,0a24，且 4a2a2，所以可解得 a1，故选 D.【答案】D 二、填空题6经过点 P(3,2 7)和 Q(6 2，7)，且焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是_.【导学号：26160046】【解析】设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，则9m28n1，72m49n1，解得m175，n125，故双曲线的标准方程为y225x2751.【答案】y225x2751 7已知方程x24ty2t11 表示的曲线为C.给出以下四个判断：当 1t4 时，曲线C 表示椭圆；当t4 或 t1时，曲线 C 表示双曲线；若曲线 C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则 1t52；若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则 t4.其中判断正确的是_(只填正确命题的序号)【解析】错误，当 t52时，曲线 C 表示圆；正确，若 C 为双曲线，则(4t)(t1)0，t1 或 t4；正确，若 C 为焦点在 x 轴上的椭圆，则4tt10.1t52；正确，若曲线C 为焦点在 y 轴上的双曲线，则4t0t10，t4.【答案】8已知 F 是双曲线x24y2121 的左焦点，点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为 _【解析】设右焦点为F，依题意，|PF|PF|4，|PF|PA|PF|4|PA|PF|PA|4|AF|4549.【答案】9 三、解答题9求以椭圆x216y291 短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，5)的双曲线的标准方程【解】由x216y291，得 a4，b3，所以短轴两端点的坐标为(0，3)，又双曲线过A 点，由双曲线定义得2a|402 532402 532|2 5，a5，又 c3，从而 b2c2a24，又焦点在 y 轴上，所以双曲线的标准方程为y25x241.10已知 ABC 的两个顶点A，B 分别为椭圆x25y25 的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C 满足关系式sin Bsin A12sin C.(1)求线段 AB 的长度；(2)求顶点 C 的轨迹方程【解】(1)将椭圆方程化为标准形式为x25y21.a25，b21，c2a2b24，则 A(2,0)，B(2,0)，|AB|4.(2)sin Bsin A12sin C，由正弦定理得|CA|CB|12|AB|21)能力提升 1已知 F1，F2分别为双曲线C：x2y21 的左、右焦点，点 P 在 C 上，F1PF260，则|PF1|PF2|()A2 B4 C6 D8【解析】由题意，得|PF1|PF2|2，|F1F2|2 2.因为 F1PF260，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2，所以(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|128，所以|PF1|PF2|8224.【答案】B 2(2016 临沂高二检测)已知双曲线的两个焦点F1(10，0)，F2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF1 MF20，|MF1|MF2|2，则该双曲线的方程是()A.x29y21 Bx2y291 C.x23y271 D.x27y231【解析】由双曲线定义|MF1|MF2|2a，两边平方得：|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|4a2，因为 MF1 MF20，故 MF1F2为直角三角形，有|MF1|2|MF2|2(2c)240，而|MF1|MF2|2，40224a2，a29，b21，所以双曲线的方程为x29y21.【答案】A 3若 F1，F2是双曲线 8x2y28 的两焦点，点P 在该双曲线上，且PF1F2是等腰三角形，则PF1F2的周长为_【解析】双曲线 8x2y28 可化为标准方程x2y281，所以 a1，c3，|F1F2|2c6.因为点 P 在该双曲线上，且 PF1F2是等腰三角形，所以|PF1|F1F2|6，或|PF2|F1F2|6，当|PF1|6 时，根据双曲线的定义有|PF2|PF1|2a624，所以 PF1F2的周长为66416；同理当|PF2|6 时，PF1F2的周长为 66820.【答案】16 或 20 4.如图 222，已知双曲线中c2a，F1，F2为左、右焦点，P 是双曲线上的点，F1PF260，SF1PF2123.求双曲线的标准方程【导学号：26160047】图 222【解】由题意可知双曲线的标准方程为x2a2y2b21.由于|PF1|PF2|2a，在 F1PF2中，由余弦定理得cos 60|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|PF1|PF2|22|PF1|PF2|F1F2|22|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|4(c2a2)4b2，所以 SF1PF212|PF1|PF2|sin 602b2323b2，从而有3b2123，所以b212，c2a，结合c2a2b2，得 a24.所以双曲线的标准方程为x24y2121.