高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义Word版含解析.pdf

1.1.3 导数的几何意义明目标、知重点1了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系2理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义3会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义1导数的几何意义(1)割线斜率与切线斜率设函数 yf(x)的图象如图所示，AB是过点 A(x0，f(x0)与点 B(x0 x，f(x0 x)的 一 条 割 线，此 割 线 的 斜 率 是yxf x0 x f x0 x.当点 B沿曲线趋近于点 A时，割线 AB绕点 A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线 AD叫做此曲线在点A处的切线于是，当x0时，割线 AB的斜率无限趋近于过点 A的切线 AD的斜率 k，即 kf(x0)limx0f x0 x f x0 x.(2)导数的几何意义函数 yf(x)在点 xx0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率也就是说，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是f(x0)相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2函数的导数当 xx0时，f(x0)是一个确定的数，则当x 变化时，f(x)是 x 的一个函数，称f(x)是 f(x)的导函数(简称导数)f(x)也记作 y，即 f(x)ylimx0f xx f xx.情境导学 如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容探究点一导数的几何意义思考 1 如图，当点 Pn(xn，f(xn)(n1,2,3,4)沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0，f(x0)时，割线 PPn的变化趋势是什么？答当点 Pn趋近于点 P 时，割线 PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点 P 处的切线，该切线的斜率为limx0f x0 x f x0 x，即曲线 yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率 kf(x0)思考 2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？答不一定曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线其图象特征是：切点附近的曲线均在切线的同侧，如 l2.思考 3 曲线 f(x)在点(x0，f(x0)处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？答曲线 f(x)在点(x0，f(x0)处的切线，点(x0，f(x0)一定是切点，只要求出kf(x0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，既使在曲线上也不一定是切点小结曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率 kf(x0)，欲求斜率，先找切点 P(x0，f(x0)思考 4 如何求曲线 f(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程？答先确定切点P(x0，f(x0)，再求出切线的斜率kf(x0)，最后由点斜式可写出切线方程例 1 已知曲线 yx2，(1)求曲线在点 P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点 P(3,5)的切线方程解(1)设切点为(x0，y0)，y|xx0limx0 x0 x2x20 xlimx0 x202x0 x x2x20 x2x0，y|x12.曲线在点 P(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)点 P(3,5)不在曲线 yx2上，设切点为(x0，y0)，由(1)知，y|xx02x0，切线方程为 yy02x0(xx0)，由 P(3,5)在所求直线上得5y02x0(3x0)，再由 A(x0，y0)在曲线 yx2上得 y0 x20，联立，得，x01 或 x05.从而切点 A的坐标为(1,1)或(5,25)当切点为(1,1)时，切线的斜率为 k12x02，此时切线方程为y12(x1)，即y2x1，当切点为(5,25)时，切线的斜率为k22x010，此时切线方程为 y2510(x5)，即 y10 x25.综上所述，过点 P(3,5)且与曲线 yx2相切的直线方程为 y2x1 或 y10 x25.小结(1)求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；(2)求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标，再按(1)完成解答跟踪训练 1 已知曲线 y2x27，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4xy20?(2)曲线过点 P(3,9)的切线方程解ylimx0yxlimx02 xx27 2x27xlimx0(4 x2x)4x.(1)设切点为(x0，y0)，则 4x04，x01，y05，切点坐标为(1，5)即曲线上点(1，5)的切线平行于直线4xy20.(2)由于点 P(3,9)不在曲线上设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k4x0，故所求的切线方程为yy04x0(xx0)将 P(3,9)及 y02x207 代入上式，得 9(2 x207)4x0(3 x0)解得 x02 或 x04，所以切点为(2,1)或(4,25)从而所求切线方程为8xy150 和 16xy390.跟踪训练 2 若曲线 yx33ax 在某点处的切线方程为y3x1，求 a 的值解yx33ax.ylimx0 xx33a xx x33axxlimx03x2x3x x2 x33axxlimx03x23xx(x)23a 3x23a.设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，结合已知条件，得3x203a3，x303ax0y03x01，解得a1322，x0342.a1322.探究点二导数与函数的单调性思考 1 观察下边两个图形，在曲线的切点附近(x0 时)曲线与那一小段线段有何关系？答能在曲线的切点附近，曲线与切线贴合在一起，可用切线近似代替曲线思考 2 按照切线近似代替曲线的思想，切线的单调性能否表示曲线的变化趋势？如上左图，若在某一区间上曲线上各点的切线斜率均为负，则可判定在该区间上曲线的单调性如何？答在连续区间上切线斜率的正负，对应了曲线的单调性思考 3 如上右图，当 t 在(t0，t2)上变化时，其对应各点的导数值变化吗？会怎样变化？答会当 t 变化时 h(t)便是 t 的一个函数，我们称它为h(t)的导函数例 2 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)4.9 t26.5 t 10的图象根据图象，请描述、比较曲线h(t)在 t0，t1，t2附近的变化情况并讨论在(t0，t1)和(t1，t2)两个区间上函数的单调性解用曲线 h(t)在 t0，t1，t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况(1)当 t t0时，曲线 h(t)在 t0处的切线 l0平行于 t 轴所以，在 t t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降(2)当 t t1时，曲线 h(t)在 t1处的切线 l1的斜率 h(t1)0.所以，在 t t1附近曲线下降，即函数h(t)在 t t1附近单调递减(3)当 t t2时，曲线 h(t)在 t2处的切线 l2的斜率 h(t2)0(即切线的斜率大于零)，则函数 yf(x)在 xx0附近的图象是上升的；若f(x0)0，则 yf(x)在区间 a，b 上是增函数；若恒有 f(x)0，所以，在 t t3，t t4附近单调递增，且曲线 h(t)在 t3附近比在 t4附近递增得快(2)若函数 yf(x)的导函数在区间 a，b 上是增函数，则函数yf(x)在区间 a，b 上的图象可能是()答案A 解析依题意，yf(x)在 a，b 上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着 x 的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足1已知曲线 yf(x)2x2上一点 A(2,8)，则点 A处的切线斜率为()A4 B 16 C 8 D 2 答案C 解析f(2)limx0f 2x f 2xlimx02 2x28xlimx0(8 2x)8，即 k8.2若曲线 yx2axb 在点(0，b)处的切线方程是 xy10，则()Aa1，b1 Ba1，b1 C a1，b1 Da1，b1 答案A 解析由题意，知 ky|x0limx00 x2a 0 x bbx1，a1.又(0，b)在切线上，b1，故选 A.3 已知曲线 yf(x)2x24x 在点 P处的切线斜率为 16.则 P点坐标为 _答案(3,30)解析设点 P(x0,2x204x0)，则 f(x0)limx0f x0 x f x0 xlimx02 x24x0 x4xx4x04，令 4x0416 得 x03，P(3,30)呈重点、现规律 1导数 f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即klimx0f x0 x f x0 xf(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度2“函数 f(x)在点 x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导数yf(x)在xx0处的一个函数值3利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点.一、基础过关1下列说法正确的是()A若 f(x0)不存在，则曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处就没有切线B若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在C 若 f(x0)不存在，则曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率不存在D 若曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则 f(x0)有可能存在答案C 解析kf(x0)，所以 f(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为xx0.2.已知 yf(x)的图象如图所示，则 f(xA)与 f(xB)的大小关系是()Af(xA)f(xB)Bf(xA)f(xB)C f(xA)f(xB)D 不能确定答案B 解析由导数的几何意义，f(xA)，f(xB)分别是切线在点 A、B处切线的斜率，由图象可知 f(xA)f(xB)3在曲线 yx2上切线倾斜角为4的点是()A(0,0)B(2,4)C(14，116)D(12，14)答案D 解析ylimx0 xx2x2xlimx0(2 xx)2x，令 2xtan 41，得 x12.y(12)214.4设曲线 yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60 平行，则 a 等于()A1 B.12 C 12 D 1 答案A 解析ylimx0a 1x2a12xlimx0(2 aax)2a，可令 2a2，a1.5设 yf(x)为可导函数，且满足条件 limx0f1 f1x2x2，则曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率是 _答案4 解析由 limx0f 1 f 1x2x2，12f(1)2，f(1)4.6已知函数 yf(x)的图象在点 M(1，f(1)处的切线方程是y12x2，则 f(1)f(1)_.答案3 解析由在 M点处的切线方程是y12x2，得 f(1)121252，f(1)limx0121x 2122xlimx012xx12.f(1)f(1)52123.二、能力提升7设 f(x)为可导函数，且满足 limx0f 1 f 1xx1，则曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率是()A1 B 1 C.12 D 2 答案B 解析limx0f 1 f 1xx1，limx0f 1x f 1x1，f(1)1.8.如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则 f(5)f(5)等于()A2 B3 C 4 D5 答案A 解析易得切点 P(5,3)，f(5)3，k1，即 f(5)1.f(5)f(5)312.9设 P为曲线 C：yx22x3 上的点，且曲线 C在点 P处的切线倾斜角的范围为 0，4，则点 P横坐标的取值范围为 _答案1，12解析f(x)limx0 xx22 xx 3 x22x3xlimx02x2 x x2xlimx0(x2x2)2x2.可设 P点横坐标为 x0，则曲线 C在 P点处的切线斜率为2x02.由已知得 02x021，1 x012，点 P横坐标的取值范围为1，12.10求过点 P(1,2)且与曲线 y3x24x2 在点 M(1,1)处的切线平行的直线解曲线 y3x24x2 在点 M(1,1)处的切线斜率ky|x1limx03 1x24 1x 2342xlimx0(3x2)2.过点 P(1,2)的直线的斜率为 2，由点斜式得 y22(x1)，即 2xy40.所以所求直线方程为2xy40.11已知抛物线 yx24 与直线 yx10.求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程解(1)由yx24，yx10，解得x2y8或x3y13.抛物线与直线的交点坐标为(2,8)或(3,13)(2)yx24，ylimx0 xx24 x24xlimx0 x22xxxlimx0(x2x)2x.y|x24，y|x36，即在点(2,8)处的切线斜率为 4，在点(3,13)处的切线斜率为6.在点(2,8)处的切线方程为4xy0；在点(3,13)处的切线方程为6xy50.12设函数f(x)x3ax29x1(a0)，若曲线 yf(x)的斜率最小的切线与直线 12xy6 平行，求 a 的值解yf(x0 x)f(x0)(x0 x)3a(x0 x)29(x0 x)1(x30ax209x01)(3x202ax09)x(3x0a)(x)2(x)3，yx3x202ax09(3x0a)x(x)2.当 x 无限趋近于零时，yx无限趋近于 3x202ax09.即 f(x0)3x202ax09 f(x0)3(x0a3)29a23.当 x0a3时，f(x0)取最小值 9a23.斜率最小的切线与12xy6 平行，该切线斜率为 12.9a2312.解得 a3.又 a0，a3.三、探究与拓展13已知抛物线 yax2bxc 通过点 P(1,1)，Q(2，1)，且在点 Q处与直线 yx3 相切，求实数 a、b、c 的值解曲线 yax2bxc 过 P(1,1)点，abc1.ylimx0yxlimx0a xx2b xx c ax2bxcxlimx02axb xa x2xlimx0(2 axbax)2axb，y|x24ab，4 ab1.又曲线过 Q(2，1)点，4 a2bc1，联立解得 a3，b11，c9.