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山东省 2020 年高考数学一轮考点扫描专题 05 函数的单调性与最值一、【知识精讲】1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 x1，x2当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D 上是增函数当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数 y f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的xI，都有 f(x)M；(2)存在 x0I，使得 f(x0)M(3)对于任意的xI，都有 f(x)M；(4)存在 x0I，使得f(x0)M结论M 为函数 yf(x)的最大值M 为函数 y f(x)的最小值 知识拓展 函数单调性的常用结论(1)对?x1，x2D(x1 x2)，f x1f x2x1x20?f(x)在 D 上是增函数，f x1f x2x1x20?f(x)在D上是减函数，即 x与 y同号增，异号减(2)在区间 D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数(3)函数 f(g(x)的单调性与函数yf(u)和 ug(x)的单调性的关系是“同增异减”(4)f(x)xax(a0)的单调性，如图可知，(0，a减，a，)增，a，0)减，(，a增二、【典例精练】例 1.(1)(2017全国卷)函数 f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是()A(，2)B(，1)C(1，)D(4，)【答案】(1)D【解析】由 x2 2x80，得 x4 或 x2.设 tx2 2x8，则 y ln t 为增函数要求函数 f(x)的单调递增区间，即求函数tx2 2x8 的单调递增区间函数 tx22x8 的单调递增区间为(4，)，函数 f(x)的单调递增区间为(4，)故选 D(2)试讨论函数f(x)axx 1(a0)在(1,1)上的单调性【解析】法一：定义法设 1x1x21，f(x)ax11x1a 11x1，则 f(x1)f(x2)a 11x11a 11x21a x2x1x11 x2 1.由于 1x1x20，x1 10，x210 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)在(1,1)上单调递减；当 a0 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)0 时，f(x)0，函数 f(x)在(1,1)上单调递减；当 a0，函数 f(x)在(1,1)上单调递增【方法小结】1.对于选择题，填空题可用下面四种方法判断函数单调性1 定义法：取值、作差、变形因式分解、配方、有理化、通分、定号、下结论.2 复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数.3 图象法：如果f x 是以图象形式给出的，或者f x 的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性.4 导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.2.证明函数的单调性有定义法、导数法.但在高考中，见到有解析式，尽量用导数法.易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.如有多个单调增减区间应分别写，不能用“”联结.例 2.(1)(2017浙江高考)若函数 f(x)x2ax b 在区间 0,1上的最大值是M，最小值是m，则 Mm()A与 a 有关，且与b 有关B与 a 有关，但与b 无关C与 a 无关，且与b 无关D与 a 无关，但与b 有关(2)若函数 f(x)axb(a0)在12，2 上的值域为12，2，则 a_，b _.(3)函数 f(x)x24x，x0，sin x，x0的最大值为 _【答案】(1)B(2)1，52(3)4【解析】(1)法一：设 x1，x2分别是函数f(x)在0,1上的最小值点与最大值点，则mx21ax1b，Mx22ax2b.Mmx22x21a(x2x1)，显然此值与a 有关，与b 无关故选B法二：由题意可知，函数 f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定随着 b的变动，相当于图象上下移动，若b 增大 k 个单位，则最大值与最小值分别变为M k，mk，而(Mk)(mk)Mm，故与 b 无关随着a 的变动，相当于图象左右移动，故函数f(x)在区间 0,1的最大值 M 和最小值m 变化，则Mm 的值在变化，故与a 有关故选B(2)单调性法f(x)axb(a0)在12，2 上是增函数，f(x)min f1212，f(x)maxf(2)2.即2ab12，a2 b2，解得 a1，b52.(3)当 x0 时，f(x)x24x(x2)24，而 2(，0，此时 f(x)在 x 2 处取得最大值，且 f(2)4；当 x0 时，f(x)sin x，此时 f(x)在区间(0，)上的最大值为1.综上所述，函数f(x)的最大值为4.【解法小结】求函数最值的5 种常用方法单调性法先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求最值图象法先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值基本不等式法先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值导数法先求出导函数，然后求出给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值换元法对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值例 3.（1）已知函数f(x)的图象向左平移1 个单位后关于y 轴对称，当x2x11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)0 恒成立，设af12，bf(2)，cf(3)，则 a，b，c 的大小关系为()A cabBcb aC acbDba c【答案】D【解析】根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x1 对称，且在(1，)上是减函数所以af 12f52，f(2)f(2.5)f(3)，所以 b ac.（2）设函数f(x)2x，x2，x2，x2.若 f(a1)f(2a1)，则实数a 的取值范围是()A(，1B(，2 C 2,6 D2，)【答案】B【解析】易知函数f(x)在定义域(，)上是增函数，f(a1)f(2a1)，a12a1，解得 a2.故实数 a 的取值范围是(，2（3）已知函数f(x)a2 x1，x1，logax，x1，若 f(x)在(，)上单调递增，则实数 a 的取值范围为_【答案】(2,3【解析】要使函数f(x)在 R 上单调递增，则有a1，a20，f 1 0，即a 1，a2，a210，解得 2a 3，即实数a 的取值范围是(2,3【方法小结】函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)解不等式 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数易错警示：(1)若函数在区间a，b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值三、【名校新题】1(2019 广州模拟)下列函数f(x)中，满足“?x1，x2(0，)且 x1 x2，(x1 x2)f(x1)f(x2)0”的是()A.f(x)2xB.f(x)|x1|C.f(x)1xxD.f(x)ln(x1)【答案】C【解析】由(x1 x2)f(x1)f(x2)f(1)B.f(m)0，所以 m1，所以 f(m)f(1).3(2019东北三省四校质检)若函数 ylog12(x2ax3a)在区间(2，)上是减函数，则 a 的取值范围为()A.(，4)2，)B.(4，4 C.4，4)D.4，4【答案】D【解析】令 tx2ax3a，则 ylog12t(t0)，易知 t x2ax3a 在，a2上单调递减，在a2，上单调递增.ylog12(x2ax3a)在区间(2，)上是减函数，tx2ax3a 在(2，)上是增函数，且在(2，)上 t0，2a2，且 42a 3a0，a 4，4.4(2019 菏泽模拟)定义新运算：当ab 时，aba；当 ab 时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x 2，2的最大值等于()A 1 B1 C 6 D12【答案】C【解析】由题意知当 2x1 时，f(x)x2，当 10 且 a1)，若 f(0)0，可得 3x1，故函数的定义域为x|3x1.根据 f(0)loga30，可得0ab.设函数 f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)min f(x)，g(x)的最大值是 _.【答案】1【解析】法一在同一坐标系中，作函数 f(x)，g(x)图象，依题意，h(x)的图象如图所示的实线部分.易知点 A(2，1)为图象的最高点，因此 h(x)的最大值为h(2)1.法二依题意，h(x)log2x，02.当 02 时，h(x)3x 是减函数，因此 h(x)在 x2 时取得最大值h(2)1.9(2019?深圳调研)函数 y|x1|x2|的值域为 _【答案】3，)【解析】函数 y2x1，x1，3，1x2，2x1，x2.作出函数的图象如图所示根据图象可知，函数y|x1|x 2|的值域为 3，)10(2019 甘肃会宁联考)若 f(x)xa 1x 2在区间(2，)上是增函数，则实数 a 的取值范围是_【答案】(，3)【解析】f(x)x a1x2x2a3x21a3x2，要使函数在区间(2，)上是增函数，需使a30，解得 a3.11.(2019?南京调研)已知函数f(x)xaxa2在(1，)上是增函数，则实数a 的取值范围是_【答案】1，)【解析】设 1x11.函数 f(x)在(1，)上是增函数，f(x1)f(x2)x1ax1a2 x2ax2a2(x1x2)1ax1x20.x1x20，即 ax1x2.1x11，x1x20 时，f(x)1.(1)求 f(0)的值，并证明f(x)在 R 上是单调增函数;(2)若 f(1)1，解关于x 的不等式f(x22x)f(1x)4.【解析】(1)令 x y0，得 f(0)1.在 R 上任取 x1x2，则 x1x20，f(x1x2)1.又 f(x1)f(x1x2)x2f(x1x2)f(x2)1f(x2)，所以函数 f(x)在 R 上是单调增函数(2)由 f(1)1，得 f(2)3，f(3)5.由 f(x22x)f(1x)4 得 f(x2x1)f(3)，又函数 f(x)在 R 上是增函数，故x2x13，解得 x1，故原不等式的解集为x|x1