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广西桂林市龙胜中学2020 届高三上学期期中考试试题数学（理）一、选择题：（本题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合212|4xxA，集合2=|3100Bx xx，则AB（）A.B.3,2C.）（5,3D.5,32.已知命题xxRxp23,:，命题:q若ABC中，7,8,5cba,则20CABC，则下列命题正确的是（）A.qp B.qp)（C.)(qp D.)()qp（3.已知0cos2sin，则2sinsin32（）A.58B.516C.2D.5144.已知函数23log(),0()2(1),0 xxtxf xtx，若(1)6f，则(2)ff的值为（）A64 B18 C12 D1125.在ABC中，D为AB边上一点，且满足DBAD2，E为BC边中点，则ED（）A.ACAB2161 B.ACAB2161 C.ACAB2165 D.ACAB31616.设a为实数，函数32()(1)f xxaxax的导函数为()fx，且()fx是偶函数，则曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程为（）A20 xy B20 xy C0 xy D0 xy7.函数)|,0,0)(cos()(AxAxf的部分图象如图所示，现将此图象向左平移12个单位长度得到函数g x的图象，则函数g x的解析式为（）Axxg2sin2)(B)1272cos(2)(xxgCxxg2sin2)(D)652cos(2)(xxg8.设0)2()22(:,023:22mmxmxqxxp，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（）A.1,0B.）（1,0C.),10，（D.），（），（109.函数2sin(4)241xxxy的图象大致为（）A.B.C.D.10.已知函数()()f xxR满足(1)(1)fxfx，若函数11yx与()yf x图象的交点为1122(,),(,),(,)mmxyxyxy，则12mxxx（）A0 Bm C2m D4m11.已知()f x是定义在R上的奇函数，其导函数为()fx，当0 x时，()()0f xfxx，若sin(sin)66af，2(2)bf，ln 2(ln 2)cf，则,a b c的大小关系为()Abca Bacb Ccba Dcab12.设函数()(2ln1)f xxxaxa，其中0a，若仅存在两个正整数0 x，使得0()0f x，则实数a的取值范围是()A.3(0,3ln 32B.(4ln 22,)C.34ln 22,3ln 3)2 D.3(4ln 22,3ln 32第卷（非选择题，共90 分）二、填空题：（本小题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分）13.已知向量),1(),1,3(mba，若bba)(，则实数m .14.ABC中，3,260ABACC，,则角A .15.设()f x是定义在 3,2 bb上的偶函数，且在 3,0b上为增函数，则不等式)3()1(fxf的解集为 .16.已知函数)0)(sin(2)(xxf的图象关于直线2x对称，且183f，)(xf在区间4,83上单调，则的值为 .三、解答题：（本小题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60 分.17.（本小题共12 分）已知函数2cossin32)2(sin2)(2xxxxf.（）求函数)(xf的单调递增区间；（）若,63x，求)(xf的值域.18.（本小题共12 分）一家小微企业生产某种小型产品的月固定成本为1 万元，每生产1 万件需要再投入2 万元，假设该企业每个月可生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为)4(x万元，且每生产1 万件政府给予补助6ln1(6)xxx万元（）求该企业的月利润()L x（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式；（）若月产量1,6x万件时，求企业在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生产量值（万件）（注：月利润月销售收入月政府补助月总成本）19.（本小题共12 分）在ABC中，角CBA,所 对 的 边 分 别 为,cba若)35)(cos6222bcacbBabc，且Bbsin5.（）求a的值；（）求ABC面积的最大值20.（本小题共12 分）已知函数6)(),1(log)(2221axxxgxxf.（）若关于x的不等式0)(xg的解集为 32|xx，求函数)1(1)(xxxgy的最小值；（）是否存在实数a，使得对任意4,21x，存在),12x，不等式)()(21xfxg成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.21.（本小题共12 分）已知函数()xfxexRx，e为自然对数的底数（）求证：当1x时，12ln11fxxxx；（）若函数21()()12g xf xa x有两个零点，求实数a的取值范围（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题共10 分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin2 cos(0)Caa，过点(2,4)P的直线l的参数方程为222242xtyt（t为参数），直线l与曲线C分别交于BA,两点（）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（）当1a时，求|1|1PBPA的值23.选修 4-5：不等式选讲（本小题共10 分）已知函数1fxxxm（）当1m时，求不等式2fxx的解集；（）当不等式1fx的解集为R时，求实数m的取值范围数学（理科）参考答案一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D B A C B C C A D B B D 二、填空题13.12或 14.75 15.7,42,5 16.62或三、解答题17.解（1）1)62sin(212sin32cos12sin3)1cos2()(2xxxxxxf（3 分）zkkxkzkkxk,63226222，令函数)(xf的单调递增区间为)(6,3zkkk（6 分）（2）65,662,3,6xx 1,21)62sin(x（9 分）当1)62sin(x时，1)(maxxf当21)62sin(x时，2)(minxf（11 分）所以)(xf的值域为 1,2（12 分）18.解：（1）依题意得26ln1()(4)(6)2186ln2xL xxxxxxxxxx(0)x（定义域未标注的扣一分）（6 分）（2）当16x时，262862(1)(3)()28xxxxL xxxxx（9分）当13x时，()0L x，当36x时，()0L x所以)(xL在 3,1上单调递增，在6,3上单调递减当3x时，max()(3)136ln 3L xL（11 分）当月产量为3万件时，最大月利润为(136ln3)万元答：当月产量为3万件时，该企业所获得的最大月利润为(136ln3)元 （12 分）19.（1）由余弦定理得：)35(cos2cos6acAbcBabc，即)35(coscos3acABa（1 分）由正弦定理可得：)sin3sin5(coscossin3BCABA,cossin5sincos3cossin3ACBABA即ACBAcossin5)(sin3（3 分）,cossin5sin3ACC0sinC,53cosA（4 分）54sin A（5 分）根据正弦定理4sin5,sinsinaBbBbAa又（6 分）（2）由（1）知,53cos,4Aa54sin AbcacbA2cos222bccb2165322即165622bccb（9 分）bccb222bcbc21656（当且仅当bc时等号成立）20bc（当且仅当bc时等号成立）（11 分）8542021sin21AbcSABC（12 分）故ABC面积的最大值为8平方单位。20.（1）依题意得，2 和 3 是方程062axx的两根由韦达定理可知：235a（1 分）256213111g xxxxxxx（3 分）又1x，2132231xx当且仅当21x时等号成立，（5 分）所以1g xx的最小值为2 23.（6 分）（2）假设存在实数a，使得对任意4,21x，存在),12x，不等式)()(21xfxg成立maxmax)()(xfxg（7 分）1x时，212log11fxx1)(maxxf（8 分）261xax在2,4x成立（9 分）记27F xxax，(24)x，其对称轴为2ax，当24122a，即2a时，max4234F xFa由2323404aa，a（10 分）当24122a，即2a时，max1122F xFa由1111202aa，a（11 分）综上所述，不存在实数a，使得对任意 4,21x，存在),1 2x，不等式)()(21xfxg成立.（12 分）21.（1）设1(1)()ln21ln211xf xh xxxexxx(1)x（1 分）11()2xh xex，121()xhxex（2 分）1x11xe，2101x121()0 xhxex()h x在(1,)上单调递增，（3 分）又(1)0h1x时，()(1)0h xh1()ln21xh xexx在(1,)上单调递增，（4 分）又(1)0h1x时，()(1)0h xh故当1x时，12ln11fxxxx；（5 分）（2）21()12xg xxea x111xxgxxea xxea，当0a时，易知函数()g x只有一个零点，不符合题意；（6 分）当0a时，在,1上，0gx，()g x单调递减；在1,上，0gx，()g x单调递增；又110ge，且120gea，不妨取4b且ln()ba时，ln()22111()(1)(2)0222ag bbea babb【或者考虑：当x，()g x】（8 分）所以函数()g x有两个零点当0a时，由10 xgxxea得1x或lnxa（i）当ln1a即1ae时，在,上，0gx成立，故()g x在,上单调递增，所以函数()g x至多有一个零点，不符合题意（9 分）（ii）当ln1a即10ae时，在,lna和1,上，0gx，()g x单调递增；在ln,1a上0gx，()g x单调递减；又110ge，且2211lnlnln1ln1022gaa aaaaa，所以函数()g x至多有一个零点，不符合题意（10 分）（iii）当ln1a即1ae时，在,1和ln,a上0gx，()g x单调递增；在1,lna上0gx，()g x单 调 递 减；又110ge，所 以 函 数()g x至 多 有 一 个 零 点，不 符 合 题意（11 分）综上所述：实数a的取值范围是(,0)（12 分）22.（1）由2sin2 cos(0)aa得：2sin2cosa曲线C的直角坐标方程为：22yax(a 0)由222242xtyt消去参数t得直线l的普通方程为2yx（5 分）(2)解：当1a时，曲线C的直角坐标方程为：22yx将直线l的参数方程222242xtyt，代入xy22得：210 2400tt（7 分）设BA,两点对应的参数分别为t1、t2，则有121 210 240ttt t，（8 分）210|2121ttttPBPA,40|21ttPBPA4240210|1|1PBPAPBPAPBPA（10 分）23.(1)当1m时，2,12,112,1x xfxxx x当1x时，22xx，即0 x，1x（1 分）当11x时，22x，即1x11x（2 分）当1x时，22xx，无解（3分）综上，2fxx的解集为,1（5 分）(2)1|(1)()|1fxxxmxxmm（7 分）当1m，即1m时,1mx时等号成立；当1m，即1m时,1xm时等号成立所以fx的最小值为1m（8 分）即11m0m或2m（10 分）
