全等三角形专题三角形的旋转翻折与线段的截长补短.pdf

全等三角形专题 三角形的旋转、翻折与线段的截长补短1/6 全等三角形专题三角形的旋转、翻折与线段的截长补短经典例题透析类型一：由角平分线想到构造全等不管轴对称图形还是两个图形轴对称，我们不难发现对应点与轴上一点（此点作为顶点）组成的角被轴平分，根据这一特点，在做题中如果遇到角平分线我们就会联想到，以角平分线为轴构造对称（全等），从而把角、线段转移达到解题目的1如图 1，等腰梯形ABCD 中，AD BC，DBC=45，翻折梯形ABCD，使点 B与点D重合，折痕分别交AB、BC于点 F、E若 AD=2，BC=8 求 BE的长图 1 图 2 解析：由题意得BFE DFE，BE=DE，在 BDE中，ED=BE，DBE=45，BDE=DBE=45，DEB=90，即 DE BC，在等腰梯形中，AD=2，BC=8，过 A作 AG BC，交 BC于 G，如图 2，四边形AGED 是矩形 GE=AD=2，在 Rt ABG和 RtDCE中，AB=DC，AG=DE，Rt ABG RtDCE，BG=CE，BE=52如图 3，已知 ABC中，AB=AC，B=2A 求证：图 3 图 4 解析：如图 4，作 B的平分线交AC于 D，则 A=ABD，BDC=2 A=C AD=BD=BC 作 BM AC于 M，则 CM=DM全等三角形专题 三角形的旋转、翻折与线段的截长补短2/6 3如图 5，已知梯形ABCD中，AB CD，AD BC，求证：AC BD图 5 图 6 解析：如图 6，作 DE AC，DF BC，交 BA或延长线于点E、F，四边形 ACDE 和四边形BCDF都是平行四边形 DE=AC，DF=BC，AE=CD=BF 作 DH AB于 H，根据勾股定理，ADBC，AD DF AHFH，EH BH，DEBD，即 AC BD.4如图 7，已知 ABC中，AD BC，AB+CD=AC+BD求证：AB=AC 图 7 解析：设 AB、AC、BD、，CD分别为 b、c、m、n，则 c+n=b+m，c-b=m-n，ADBC，根据勾股定理，得，全等三角形专题 三角形的旋转、翻折与线段的截长补短3/6，c+b m+n，c-b=0即 c=b，AB=AC 类型二：勾股定理的逆定理的运用5如图 8，P 是正 ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将 PAC绕点 A旋转后，得到，则点 P与点之间的距离为 _，APB=_ 图 8 图 9 解析：如图 9，连结，是由旋转得到的，所以所以.所以三角形是等边三角形，则在三角形中所以是直角，6如图 10，已知 ABC=30，ADC=60，AD=DC 求证：图 10 图 11 解析：如图 11，显然 ADC是等边三角形，以BC为边向右侧作等边三角形，则BC=BE，连接 AE，则可证明 BCD ACE，所以 AE=DB，ABC+CBE=90，根据勾股定理有，即全等三角形专题 三角形的旋转、翻折与线段的截长补短4/6 7如图 12，D为等腰 ABC的腰 AB上的一点，E为另一腰AC延长线上的一点，且BD=CE，则ADE=BC BDE BC CDE BC DDE与 BC大小关系决定于A的大小图 12 图 13 解析：如图 13，分别过 D和 E点作到 BC边的垂线，交BC及其延长线于G和 H则根据，可得到 BDG ECH.所以 BG=CH 所以 BC=GH 显然 DE GH.所以 DE BC.8如图 14，已知等边 ABC内有一点N，ND BC，NEAB，NFAC，D、E、F 都是垂足，M是 ABC中异于 N的另一点，若，那么与的大小关系是_图 14 图 15 解析：如图 15，作 M到正三角形的各边上的高，根据面积相等的关系，有，分别化简为所以而 根 据 直 角 三 角 形 斜 边 与 直 角 边 的 关 系 有，全等三角形专题 三角形的旋转、翻折与线段的截长补短5/6 所以有9如图 16，梯形 ABCD 中，AD BC，E是 AB的中点，CE恰好是平分BCD，若 AD=3，BC=4，则 CD的长是A5 B6 C 7 D8 图 16 图 17 解析：如图 17，延长 CE交 DA的延长线于F，则容易证明BEC AEF，于是可得到 DCE=BCE=AFE，所以 FCD是等腰三角形，所以CD=AD+AF=710如图 18，在等腰直角ABC中，BAC=90，AD BC，在 AD上取一点E，使EBC=30，则 BE和 BC的大小关系是（）ABE BC B BE BC CBE=BC D不确定图 18 解析：作 ABC的高 h，那么 BC=2h 而 BE=2h所以 BE=BC 11已知三角形的两条边长分别为a=5，b=4，它们的高分别为，若，那么该三角形的面积是_解析：根据三角形的面积公式，可知，而根据，可得到，所以所以或全等三角形专题 三角形的旋转、翻折与线段的截长补短6/6 如果，则结合，可得到，矛盾所以，结合，得到，所以，所以三角形的面积为