高考数学一轮总复习6.4数列求和教案理新人教A版.pdf

1 6.4 数列求和典例精析题型一错位相减法求和【例 1】求和：Sn1a2a23a3nan.【解析】(1)a 1 时，Sn123 nn(n1)2.(2)a 1 时，因为a0，Sn1a2a23a3nan，1aSn1a22a3n1annan1.由得(11a)Sn1a1a21annan11a(11an)11anan 1，所以 Sna(an 1)n(a 1)an(a 1)2.综上所述，Sn).1()1()1()1(),1(2)1(2aaaanaaannnn【点拨】(1)若数列 an 是等差数列，bn 是等比数列，则求数列an bn 的前 n 项和时，可采用错位相减法；(2)当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1 进行讨论；(3)当将 Sn与 qSn 相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号.【变式训练1】数列 2n32n3的前 n 项和为()A.42n12n1 B.4 2n 72n 2 C.8 2n12n3D.63n22n1【解析】取n1，2n32n3 4.故选 C.题型二分组并项求和法【例 2】求和 Sn 1(1 12)(1 1214)(1 121412n1).【解析】和式中第k 项为 ak1121412k11(12)k1122(1 12k).所以 Sn2(1 12)(1 122)(1 12n)2 )111(2个n(1212212n)2n 12(1 12n)112 2n (112n)2n 212n 1.【变式训练2】数列 1,12,1222，122223，1222 2n1，的前 n 项和为()A.2n 1 B.n2nn C.2n1n D.2n1 n2【解析】an1222 2n 12n 1，Sn(21 1)(22 1)(2n 1)2n1n2.故选 D.题型三裂项相消法求和【例 3】数列 an 满足 a18，a42，且 an 22an1an0(n N*).(1)求数列 an 的通项公式；(2)设 bn1n(14 an)(n N*)，Tnb1b2 bn(nN*)，若对任意非零自然数n，Tnm32恒成立，求m的最大整数值.【解析】(1)由 an22an1 an0，得 an2an1an1an，从而可知数列 an 为等差数列，设其公差为d，则 da4 a141 2，所以 an8(n 1)(2)102n.(2)bn 1n(14 an)12n(n2)14(1n1n2)，所以 Tnb1b2 bn14(1113)(1214)(1n1n2)14(1 121n11n2)3814(n 1)14(n 2)m32，上式对一切nN*恒成立.所以 m 128n 18n2对一切 nN*恒成立.对 nN*，(12 8n18n2)min 12811812163，所以 m 163，故 m的最大整数值为5.【点拨】(1)若数列 an 的通项能转化为f(n 1)f(n)的形式，常采用裂项相消法求和.(2)使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项.【变式训练3】已知 数列 an，bn 的前 n 项和为 An，Bn，记 cnanBnbnAnanbn(n N*)，则数列 cn 的前 10 项和为()A.A10B10 B.A10B102C.A10B10 D.A10B10【解析】n1，c1 A1B1；n2，cn AnBnAn1Bn1，即可推出 cn 的前 10项和为 A10B10，3 故选 C.总结提高1.常用的基本求和法均对应数列通项的特殊结构特征，分析数列通项公式的特征联想相应的求和方法既是根本，也是关键.2.数 列求和实质就是求数列Sn 的通项公式，它几乎涵盖了数列中所有的思想策略、方法和技巧，对学生的知识和思维有很高的要求，应充分重视并系统训练.