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2012 届高考数学压轴题预测3、解析几何1/10 2012届高考数学压轴题预测专题 3 解析几何考点一曲线（轨迹）方程的求法1.设)0(1),(),(22222211babxxyyxByxA是椭圆上的两点，满足0),(),(2211aybxaybx，椭圆的离心率,23e短轴长为 2，0 为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c 为半焦距），求直线AB的斜率 k 的值；（3）试问：AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.解析：本例（1）通过32e，22b，及,a b c之间的关系可得椭圆的方程；（2）从方程入手，通过直线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理；（3）要注意特殊与一般的关系，分直线的斜率存在与不存在讨论。答案：（1）22322.1,2.32cabbbeaeaa椭圆的方程为1422xy（2）设 AB的方程为3kxy由41,4320132)4(1432212212222kxxkkxxkxxkxykxy由已知43)(43)41()3)(3(410212122121221221xxkxxkkxkxxxayybxxkkkkkk解得,4343243)41(442222 （3）当A为顶点时，B必为顶点.SAOB=1 当A，B不为顶点时，设AB的方程为y=kx+b42042)4(1422122222kkbxxbkbxxkxybkxy得到442221kbxx:04)(0421212121代入整理得bkxbkxxxyyxx4222kb41644|4)(|21|212222122121kbkbxxxxbxxbS2012 届高考数学压轴题预测3、解析几何2/10 1|242bk所以三角形的面积为定值.点评：本题考查了直线与椭圆的基本概念和性质，二次方程的根与系数的关系、解析几何的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。2.在直角坐标平面中，ABC的两个顶点为 A（0，1），B（0,1）平面内两点G、M同时满足0GAGBGC,|MA=|MB=|MCGMAB（1）求顶点C的轨迹 E的方程（2）设 P、Q、R、N都在曲线E上，定点 F 的坐标为（2,0），已知PFFQ,RFFN且PFRF=0.求四边形 PRQN 面积 S的最大值和最小值.解析：本例（1）要熟悉用向量的方式表达点特征；（2）要把握好直线与椭圆的位置关系，弦长公式，灵活的运算技巧是解决好本题的关键。答案：（1）设 C(x,y)，2GAGBGO,由知2GCGO,G为ABC的重心，G(3x,3y)由知 M是 ABC的外心，M在 x 轴上由知 M（3x，0），由|MCMA得222()1()33xxxy化简整理得：2213xy（x0）。（2）F（2，0）恰为2213xy的右焦点设 PQ的斜率为k0 且 k22，则直线PQ的方程为y=k(x 2)由222222(2)(31)6 2630330yk xkxk xkxy设 P(x1,y1)，Q(x2,y2)则 x1+x2=226 231kk,x1x2=226331kk则|PQ|=21k21212()4xxx x =21k222226 263()43131kkkk =222 3(1)31kk2012 届高考数学压轴题预测3、解析几何3/10 FMPoyxRN PQ,把 k 换成1k得|RN|=222 3(1)3kkS=12|PQ|RN|=22226(1)(31)(3)kkk =228213()10kk)22183()102kkS221kk2，82S16 32 S 2，(当 k=1 时取等号)又当 k 不存在或k=0时 S=2 综上可得32 S 2 Smax=2，Smin=32点评：本题考查了向量的有关知识，椭圆与直线的基本关系，二次方程的根与系数的关系及不等式，转化的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。考点二圆锥曲线的几何性质3.如图，F 为双曲线C：222210,0 xyabab的右焦点 P 为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点已知四边形OFPM为平行四边形，PFOF（）写出双曲线C的离心率e与的关系式；（）当1时，经过焦点F 且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若12AB，求此时的双曲线方程分析:圆锥曲线的几何性质结合其它图形的考查是重点。注意灵活应用第二定义。解：四边形OFPM是，|OFPMc，作双曲线的右准线交PM于 H，则2|2aPMPHc，又2222222|2222PFOFcceeaaPHcaecccc，220ee2012 届高考数学压轴题预测3、解析几何4/10（）当1时，2e，2ca，223ba，双曲线为2222143xyaa四边形OFPM是菱形，所以直线OP的斜率为3，则直线 AB的方程为3(2)yxa，代入到双曲线方程得：22948600 xaxa，又12AB，由2212121()4ABkxxx x得：224860122()499aa，解得294a，则2274b，所以2212794xy为所求点评：本题灵活的运用到圆锥曲线的第二定义解题。4.设,A B分别为椭圆22221(,0)xya bab的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x为它的右准线（）、求椭圆的方程；（）、设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线,AP BP分别与椭圆相交于异于,A B的点MN、，证明：点B在以MN为直径的圆内分析：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力解：（）依题意得a2c，ca24，解得a2，c 1，从而 b3故椭圆的方程为13422yx（）解法1：由（）得A（2，0），B（2，0）设 M（x0，y0）M点在椭圆上，y043（4x02）1又点 M异于顶点A、B，2x00，BMBP0，则 MBP为锐角，从而MBN 为钝角，故点 B在以 MN 为直径的圆内解法 2：由（）得A（2，0），B（2，0）设 M（x1，y1），N（x2，y2），则 2x12，2x20），则2(,2)M tt，F(1,0)。因为 M、F、N共线，则有FMNFkk，所以2221114tttt，解得2t，所以222 221k，因而，直线MN 的方程是2 2(1)yx。（3）“逆向问题”一：已知抛物线C：22(0)ypx p的焦点为F，过点 F 的直线交抛物线C于 P、Q两点，设点 P关于 x 轴的对称点为R，则直线RQ必过定点(,0)2pA。证明：设过F 的直线为y=k(x2p)，11(,)P xy，22(,)Q xy，则11(,)R xy由24()2yxpyk x得222221(4)04k xpkxp k，所以2124px x，1111()222RApk xykppxx，2121121211()()()222222QApppk xk x xxk xkpppxx xxx=RAk，所以直线 RQ必过焦点A。2012 届高考数学压轴题预测3、解析几何7/10 过点(,0)2pA的直线交抛物线C于 P、Q两点，FP与抛物线交于另一点R，则 RQ垂直于 x 轴。已知抛物线C：22(0)ypx p，过点B(m,0)（m0）的直线交抛物线C 于 P、Q两点，设点P关于 x 轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(-m,0)。“逆向问题”二：已知椭圆C：22221xyab的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，过 F2的直线交椭圆 C于 P、Q两点，设点P关于 x 轴的对称点为R，则直线RQ必过定点2(,0)aAc。“逆向问题”三：已知双曲线C：22221xyab的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，过 F2的直线交双曲线C于 P、Q两点，设点P关于 x 轴的对称点为R，则直线RQ必过定点2(,0)aAc。考点四圆锥曲线的应用（1）圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。6.（2004 年全国高考天津理科22 题）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点 F（C，0）（C 0）的准线 L 与 X轴相交于点A，FAOF2，过点 A的直线与椭圆相交于 P、Q两点。（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若 OP O Q=0，求直线 PQ的方程；（3）设 A P=AQ（1），过点 P且平行与准线L 的直线与椭圆相交于另一点M，证明 FM=-FQ。分析：（1）要求椭圆的方程及离心率，很重要的一点就是要熟悉这种二次曲线的标准方程的中心、长轴长、短轴长、焦点坐标、标准方程、离心率、焦距等有关概念及几何性质。解：（1）根据已知条件“椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F（C，0）（C0）的准线 L 与 X轴相交于点A。”可设椭圆的方程为12222yax（a2），从而有2222ca；又因,2FAOF可以有）（ccac22，联系以上这两个关于a、c 的方程组并解得a=6，c=2，所以椭圆的方程为12622yx，离心率 e=26。（2）根据已知条件“O PO Q=0”，我们可设 P11,yx，Q22,yx，把两个向量的数量积的形式转化为坐标表示的形式，再根据直线 PQ 经过 A（3，0），只须求出直线PQ的斜率 K即可求出直线PQ的方程。而P、Q两点又在椭圆上，因此，我们容易想到通过直 线y=k（x-3）与 椭 圆12622yx，联 系 方 程 组 消 去 一 个 未 知 数y（或x）得062718132222kxkxk，并 利 用 一 元 二 次 方 程 的 根 与 系 数 关 系 结 合02121yyxx及3321221xxkyy不难求出k=55，这里应特别注意K的值要保证0 成立，否则无法保证直线PQ与椭圆有两个交点。（3）要证 F M=-F Q，我们容易想到通过式中两个向量FM、FQ的坐标之间关系来谋求证题的方法。为此我们可根据题意“过点 P且平行为准线L 的直线与椭圆相交于另一点M”，求得点 M坐标为11,yx。又因 AP=AQ，易知 FM、FQ的两个纵坐标已经满足21yy，所以现在要考虑的问题是如何证明FM、FQ的两个横坐标应该满足2221xx，事实上，2012 届高考数学压轴题预测3、解析几何8/10 2211,3,3yxAQyxAP注意到1，解得2152x因 F（2，0），M11,yx，故 FM=11,2yx=22,13yx。=1,21y=2,21y又 FQ=222,21,2yyx，因此 FM=-FQ。点评：本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质及相关概念，直线方程、平面向量的坐标表示和向量的数量积，多元二次方程组解法、曲线和方程的关系、直线与椭圆相交等解析几何的基础思想方法，以及分析问题和综合解题能力。把两个向量之间的关系，转化为两个向量坐标之间的关系，再通过代数运算的方法来解决有关向量的问题是一种常用的解题手段。7.（江苏卷）已知2|),0,2(),0,2(2121PFPFPFF满足点，记点P的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程；（2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点.（i）无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点)0,(mM，使MQMP恒成立，求实数m的值.（ii）过P、Q作直线21x的垂线PA、OB，垂足分别为A、B，记|ABQBPA，求的取值范围.解析：答案：解：（1）由|2|2121FFPFPF知，点 P 的轨迹 E 是以 F1、F2为焦点的双曲线右支，由3,22,22bac，故轨迹E的方程为).1(1322xyx（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为),(),(),2(2211yxQyxPxky，与双曲线方程联立消y 得0344)3(2222kxkxk，0334034003222122212kkxxkkxxk解得k2 3 （i）2121)(yymxmxMQMP212122222121222222222222()()(2)(2)(1)(2)()4(1)(43)4(2)4333(45).3xm xmkxxkx xkm xxmkkkkkmmkkkmkmk0,MQMPMQMP，2012 届高考数学压轴题预测3、解析几何9/10 故得0)54()1(3222mmkm对任意的32k恒成立，.1,0540122mmmm解得当m=1 时，MPMQ.当直线l的斜率不存在时，由)0,1()3,2(),3,2(MQP及知结论也成立，综上，当m=1 时，MPMQ.（ii）21,2,1xca直线是双曲线的右准线，由双曲线定义得：|21|,|21|1|222QFQBPFPFePA，方法一：|2|1|2|12122yyxxkABPQ.1121|21|)(|2|12212122kkkxxkxxk3321,3110,322故kk，注意到直线的斜率不存在时，21|,|此时ABPQ，综上，.33,21方法二：设直线PQ的倾斜角为，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点，323，过 Q作 QC PA，垂足为C，则.sin21)2cos(21|2|2|,2|CQPQABPQPQC由,1sin23,323得故：.33,21（2）。圆锥曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。10（2004 年全国高考福建理科22 题）如图，P是抛物线 C：221xy上一点，直线L过点 P且与抛物线C交于另一点Q。（）若直线L 与过点 P的切线垂直，求线段PQ中点 M的轨迹方程；（）若直线L 不过原点且与X轴交于 S，与 Y轴交于点T，试求分析：（1）要求线段PQ的中点 M的轨迹方程，我们常把M的坐标转化为线段PQ的两2012 届高考数学压轴题预测3、解析几何10/10 个端点坐标之间的关系。而P、Q两点又是直线L 与抛物线的交点，容易想到直线L 的方程与抛物线C的方程相联立消去y（或 x），转化为一元二次方程根与系数的关系问题。另外，求过抛物线P的切线的斜率问题，我们自然会想到求出数221xy的导数。解：（1）事实上xy，这样过P11,yx的斜率为1x，由于直线L与过点 P的切线垂直，因此直线L 的斜率为11x（1x0），所以可设直线L 的方程为)(1211121xxxxy，结合221xy，消去 y 并化简得0222112xxxx。若设 Q22,yx，M00,yx，因 M为 PQ的中点，故有2221,211212102110yyxyxxxx消 去1x得M 的 轨 迹 方 程 为)0(121020200 xxxy。即 M的轨迹方程为012122xxxy。（2）根据式子SQSTSPST的特点，我们很自然想到平面直角坐标系中的两点间的距离公式。于是可先求S、T 两点的坐标，易知：21211211,0,0,xTxxS，从而有1,1,12112122112121xySQxySPxxSTSQSTSPST=212111211yyx又因221221222121121412121?xxxxxyySQSTSPST21211x211yy2 1y、2y可取一切不相等的正数。SQSTSPST的取值范围是（2，）。点评：这里的解法有别于2004 年福建省高考数学评标准所给的答案。我们看到，其解法的优点在于不用添加任何辅助线的方法就可直接给出作答，这更贴近考生的学习实际。