初中数学竞赛辅导资料(20200816144749).pdf

36 初中数学竞赛辅导资料乘法公式甲内容提要1 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算除法等。2 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2,平方差公式：（a+b）(ab)=a2b2 立方和（差）公式：(a b)(a2ab+b2)=a3b3 3.公式的推广：多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2 倍。二项式定理：(ab)3=a33a2b+3ab2b3(a b)4=a4 4a3b+6a2b24ab3+b4）（ab）5=a55a4b+10a3b2 10a2b35ab4b5）注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3a2b+ab2b3)=a4b4(a+b)(a4a3b+a2b2ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5a4b+a3b2a2b3+ab4b5)=a6b6注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n 为正整数(a+b)(a2n1a2n2b+a2n3b2 ab2n2b2n1)=a2nb2n(a+b)(a2na2n1b+a2n2b2 ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地：（ab）(an1+an2b+an3b2+abn2+bn1)=anbn4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得 a2+b2=(a+b)22ab 由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得 a3+b3=(a+b)3 3ab(a+b)37 由公式的推广可知：当n 为正整数时an bn能被 ab 整除,a2n+1+b2n+1能被 a+b 整除,a2nb2n能被 a+b 及 ab 整除。乙例题例 1.己知 x+y=a xy=b 求x2+y2x3+y3x4+y4x5+y5 解：x2+y2(x+y)2 2xy a2 2b x3+y3(x+y)33xy（x+y）a3 3ab x4+y4(x+y)44xy（x2+y2）6x2y2a44a2b2b2 x5+y5（x+y）(x4x3y+x2y2xy3+y4)=(x+y)x4+y4 xy(x2+y2)+x2y2=aa44a2b+2b2b(a22b)+b2a55a3b+5ab2例2.求证：四个連续整数的积加上1 的和，一定是整数的平方。证明：设这四个数分别为a,a+1,a+2,a+3(a 为整数)a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2a 是整数，整数的和、差、积、商也是整数a2+3a+1 是整数证毕例3.求证：2222 3111能被 7 整除证明：2222 3111（22）111311141113111 根据a2n+1+b2n+1能被 a+b 整除，（见内容提要4）41113111能被4 3整除2222 3111能被 7 整除例 4.由完全平方公式推导“个位数字为5 的两位数的平方数”的计算规律解：(10a+5)2=100a2+210a5+25=100a(a+1)+25“个位数字为5 的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字5 的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大 1 的数的积。如：152=225 幂的百位上的数字2=12)，252=625(6=23)，352=1225(12=34)452=2025(20=45)38 丙练习 15 1 填空：a2+b2=(a+b)2_(a+b)2=(a b)2+_ a3+b3=(a+b)33ab(_)a4+b4=(a2+b2)2 _,a5+b5=(a+b)(a4+b4)_ a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)_ 2 填空：(x+y)(_)=x4y4(xy)(_)=x4 y4(x+y)(_)=x5+y5（xy）(_)=x5y53.计算：552=652=752=852=952=4.计算下列各题，你发现什么规律1119=2228=34 36=43 47=7674=5.已知 x+x1=3,求 x2+21xx3+31xx4+41x的值6.化简：（a+b）2(ab)2(a+b)(a2ab+b2)(a b)(a+b)32ab(a2b2)(a+b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c)7.己知 a+b=1,求证：a3+b33ab=1 8.己知 a2=a+1，求代数式a55a+2 的值9.求证：2331 能被 9 整除10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数的平方11如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们的直径分别是a,b,c 求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长求：大圆面积减去三个小圆面积和的差。abc