(最新)指数、对数函数基本知识点.pdf

基本初等函数知识点知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0 的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.2.n 次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：；注意：0 的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1)(2)(3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式，.3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中).4.对数的运算性质如果，那么加法：减法：数乘：换底公式：知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.知识点六：幂函数1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.补充：函数1.映射定义：设A，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对集合 A中任一元素x，在集合B 中有唯一元素y 与之对应，则称f 是从集合A 到集合 B 的映射。这时，称y 是 x 在映射 f 的作用下的象记作f（x）。x 称作 y的原象。2.函数定义：函数就是定义在非空数集A，B 上的映射，此时称数集A 为定义域，象集C=f(x)|xA 为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素3.求函数的定义域常涉及到的依据为分母不为0；偶次根式中被开方数不小于0；实际问题要考虑实际意义零指数幂的底数不等于零；对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；注意同一表达式中的两变量的取值范围是否相互影响4.函数值域：xy23xxy535、函数图像变换知识平移变换：形如：y=f(x+a)：把函数 y=f(x)的图象沿轴方向向左或向右平移a个单位，就得到y=f(x+a)的图象。形如：y=f(x)+a：把函数 y=f(x)的图象沿轴方向向上或向下平移a个单位，就得到y=f(x)+a的图象.对称变换y=f(x)y=f(x),关于轴对称y=f(x)y=f(x),关于轴对称.翻折变换y=f(x)y=f|x|,(左折变换)把轴右边的图象保留，然后将轴右边部分关于轴对称y=f(x)y=|f(x)|（上折变换）把轴上方的图象保留，轴下方的图象关于轴对称在第一象限内，底数越大，图像（逆时针方向）越靠近y 轴。6 函数的表示方法列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法图像法：如果图形F是函数)(xfy的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法.如果在函数)(xfy)(Ax中，)(xf是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法7分段函数在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。8 函数单调性及证明方法:增函数：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域D 内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当 x1x2 时,都有 f(x1)f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是增函数。此区间就叫做函数f(x)的单调增区间。减函数：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域D 内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当 x1 f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数。此区间叫做函数f(x)的单调减区间。证明方法第一步：设x1、x2 是给定区间内的两个任意的值，且x10,b0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限。当 k0,b0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限。当 k0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限。当 k0,b0 时，函数为增函数；当 k0 时，函数为减函数。（2）二次函数函数cbxaxy2)0(a叫做二次函数，定义域为R a 决定抛物线的开口方向和大小。当a0 时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。定点坐标：（-b/2a，(4ac-b2)/4a）；抛物线与x 轴交点个数：=b2-4ac 0 时，抛物线与x 轴有 2 个交点。=b2-4ac=0 时，抛物线与x 轴有 1 个交点。=b2-4ac 0 时，抛物线与x 轴没有交点。11待定系数法定义：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写成为一般的形式，其中系数为待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。一般过程：首先确定所求问题含待定系数的解析式；其次根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；.最后解方程或消去待定系数。12、函数与方程函数的思想：函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。方程的思想：方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；零点：对于函数y=f()，使得f()=0 的实数叫做函数f(x)的零点.。