2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全(三角函数三角恒等变换).pdf

第 1页（共 22页）2015 年全国各地高考数学试题及解答分类大全（三角函数三角恒等变换）一、选择题：1.（2015 安徽理）已知函数sinfxx（，均为正的常数）的最小正周期为，当23x时，函数fx取得最小值，则下列结论正确的是（）（A）220fff（B）022fff（C）202fff（D）202fff2（2015 福建文）若5sin13，且为第四象限角，则tan的值等于（）A125B125C512D512【答案】D【解析】试题分析：由5sin13，且为第四象限角，则212cos1sin13，则sintancos第 2页（共 22页）512，故选 D考点：同角三角函数基本关系式3.(2015 湖南理)将函数()sin2f xx的图像向右平移(0)2个单位后得到函数()g x的图像，若对满足12()()2f xg x的1x，2x，有12min3xx，则（）A.512B.3C.4D.6【答案】D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以)sin()(xAxf为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.4、(2015 全国新课标卷文、理)函数()cos()f xx的部分图像如图所示，则()f x的单调递减区间为（）（A）13(,),44kkkZ（B）13(2,2),44kkkZ（C）13(,),44kkkZ（D）13(2,2),44kkkZ【答案】D【解析】试题分析：由五点作图知，1+4253+42，解得=，=4，所以()cos()4f xx，令22,4kxkkZ，解得124kx324k，kZ，故单调减区间为（124k，324k），kZ，故选 D.考点：三角函数图像与性质第 3页（共 22页）5.(2015 全国新课标卷理)sin20cos10-con160sin10=（）（A）32（B）32（C）12（D）12【答案】D【解析】试题分析：原式=sin20cos10+cos20sin10=sin30=12，故选 D.考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式18(2015 全国新课标卷文、理)如图，长方形ABCD的边2AB，1BC，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx将动P到A、B两点距离之和表示为x的函数()f x，则()yf x的图像大致为（）ABCD【答案】B考点：函数图像7.(2015 重庆文)若11tan,tan()32aab=+=,则tan=b（）(A)17(B)16(C)57(D)56【答案】A【解析】第 4页（共 22页）试题分析：71312113121tan)tan(1tan)tan()tan(tanabaabaabab；故选 A.考点：正切差角公式.8(2015 重庆理)若tan2tan5，则3cos()10sin()5（）A、1B、2C、3D、4【答案】C【解析】【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.9.(2015 山东文、理)要得到函数sin 43yx的图象，只需要将函数sin 4yx的图象（）（A）向左平移12个单位（B）向右平移12个单位（C）向左平移3个单位（D）向右平移3个单位【答案】B【考点定位】三角函数的图象变换.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.第 5页（共 22页）10.(2015 陕西理)如图，某港口一天6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6yxk，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A5B6C8D10【答案】C【解析】试题分析：由图象知：min2y，因为min3yk，所以32k，解得：5k，所以这段时间水深的最大值是max3358yk，故选 C考点：三角函数的图象与性质11.(2015 上海文)已知点A的坐标为)1,34(，将OA绕坐标原点O逆时针旋转3至OB，则点B的纵坐标为（）.A.233B.235C.211D.213【答案】D因为491)34(2222nm，所以491692722nn，所以213n或213n（舍去），所以点B的纵坐标为213.【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.12、(2015 四川文)下列函数中，最小正周期为的奇函数是()(A)ysin(2x2)(B)ycos(2x2)(C)ysin2xcos2x(D)ysinxcosx【答案】B第 6页（共 22页）【考点定位】本题考查三角函数的基本概念和性质，考查函数的周期性和奇偶性，考查简单的三角函数恒等变形能力.【名师点睛】讨论函数性质时，应该先注意定义域，在不改变定义域的前提下，将函数化简整理为标准形式，然后结合图象进行判断.本题中，C、D两个选项需要先利用辅助角公式整理，再结合三角函数的周期性和奇偶性(对称性)进行判断即可.属于中档题.13.(2015四川理)下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）()cos(2)2Ayx()sin(2)2Byx()sin2cos2Cyxx()sincosDyxx【答案】A【考点定位】三角函数的性质.【名师点睛】本题不是直接据条件求结果，而是从4 个选项中找出符合条件的一项，故一般是逐项检验，但这类题常常可采用排除法.很明显，C、D选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而 B选项中的函数是偶函数，故均可排除，所以选A.二、填空题：1.（2015 湖北文）函数2()2sinsin()2f xxxx 的零点个数为_.【答案】2.【考点定位】本题考查函数与方程，涉及常见函数图像绘画问题，属中档题.【名师点睛】将函数的零点问题和方程根的问题、函数的交点问题联系在一起，凸显了数学学科内知识间的内在联系，充分体现了转化化归的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生第 7页（共 22页）准确绘制函数图像的能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.2（2015 湖北理）函数2()4coscos()2sin|ln(1)|22xf xxxx的零点个数为【答案】2考点：1.二倍角的正弦、余弦公式，2.诱导公式，3.函数的零点.3、(2015 湖南文)已知0,在函数 y=2sinx 与 y=2cosx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则=_.【答案】2考点：三角函数图像与性质第 8页（共 22页）4.(2015 江苏)已知tan2，1tan7，则tan的值为 _.【答案】3【解析】试题分析：12tan()tan7tantan()3.21tan()tan17考点：两角差正切公式5、(2015 陕西文)如图，某港口一天6 时到 18 时的谁深变化曲线近似满足函数y 3sin(6x)k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 _.【答案】8【解析】试题分析：由图像得，当sin()16x时min2y，求得5k，当sin()16x时，max3 158y，故答案为8.考点：三角函数的图像和性质.6.(2015 上海文)函数xxf2sin31)(的最小正周期为.【答案】7.(2015 上海文)已知函数xxfsin)(.若存在1x，2x，mx满足6021mxxx，且12|)()(|)()(|)()(|13221mmxfxfxfxfxfxf),2(Nmm，则m的最小值为.第 9页（共 22页）【答案】88.(2015 上海理)已知函数sinfxx 若存在1x，2x，mx满足1206mxxx，且1223112nnfxfxfxfxfxfx（2m，m），则m的最小值为【答案】8【解析】因为sinfxx，所以maxmin()()2mnfxfxf xf x，因此要使得满足条件1223112nnfxfxfxfxfxfx的m最小，须取123456783579110,6,222222xxxxxxxx即8.m【考点定位】三角函数性质9.(2015 四川理)75sin15sin.【答案】62.第 10页（共 22页）【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值.【名师点睛】这是一个来自于课本的题，这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个角，然后再化为一个三角函数一般地，有22sincossin()abab.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.10、(2015 四川文)已知sin 2cos0，则 2sin coscos2的值是 _.【答案】1【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力.【名师点睛】同角三角函数(特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是：结合sin2cos21，解出sin 与cos的值，然后代入计算，但这种方法往往比较麻烦，而且涉及符号的讨论.利用整体代换思想，先求出tan的值，对所求式除以sin2cos2(1)是此类题的常见变换技巧，通常称为“齐次式方法”，转化为tan的一元表达式，可以避免诸多繁琐的运算.属于中档题.11.(2015 天津文)已知函数sincos0,fxxxxR若函数fx在区间,内单调递增,且函数fx的图像关于直线x对称,则的值为【答案】2【解析】由fx在区间,内单调递增,且fx的图像关于直线x对称,可得2,且222sincos2sin14f,所以2.422考点：三角函数的性质.12、(2015 浙江文)函数2sinsincos1fxxxx的最小正周期是，最小值是【答案】32,2第 11页（共 22页）【解析】211cos2113sinsincos1sin 21sin 2cos222222xfxxxxxxx23sin(2)242x，所以22T；min32()22f x.考点：1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变换.13.(2015 浙江理)函 数2()sinsincos1fxxxx的最小正周期是，单调递减区间是三、解答题：1.（2015 安徽文）已知函数2()(sincos)cos2fxxxx（）求()f x最小正周期；（）求()f x在区间0,2上的最大值和最小值.第 12页（共 22页）2、（2015 北京文）已知函数2sin2 3 sin2xfxx（）求fx的最小正周期；（）求fx在区间20,3上的最小值【答案】（1）2；（2）3.考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值.3（2015 北京理）已知函数2()2sincos2sin222xxxf x()求()f x 的最小正周期；()求()f x 在区间 0，上的最小值【答案】（1）2，（2）212【解析】试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为()sin()f xAxm形式，再利用周期公式2T求出周期，第二步由于0,x则可求出3444x，借助正弦函数图象找出在这个范围内当42x，即34x时，()fx取得最小值为：212.试题解析：()211cos()2 sincos2 sin2sin222222xxxxf xx第 13页（共 22页）222sincos222xx2sin()42x(1)()fx的最小正周期为221T；(2)30,444xx，当3,424xx时，()f x取得最小值为：212考点：1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质.4（2015 福建文）已知函数210 3sincos10cos222xxxfx（）求函数fx的最小正周期；（）将函数fx的图象向右平移6个单位长度，再向下平移a（0a）个单位长度后得到函数g x的图象，且函数g x的最大值为2（）求函数g x的解析式；（）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0 x，使得00g x【答案】（）2；（）（）10sin8g xx；（）详见解析【解析】试题分析：（）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将fx化为()10sin56f xx，然后利用2T求周期；（）由函数fx的解析式中给x减6，再将所得解析式整体减去a得g x的解析式为10sin5g xxa，当sin x取 1 的时，g x取最大值105a，列方程求得13a，从而g x的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数0 x，使得00g x，可解不等式00g x，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数0 x试题解析：（I）因为210 3 sincos10cos222xxxfx5 3sin5cos5xx10sin56x所以函数fx的最小正周期2（II）（i）将fx的图象向右平移6个单位长度后得到10sin5yx的图象，再向下平移a（0a）个单位长度后得到10sin5g xxa的图象又已知函数g x的最大值为2，所以1052a，解得13a所以10sin8g xx第 14页（共 22页）（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0 x，使得00g x，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0 x，使得010sin80 x，即04sin5x由4352知，存在003，使得04sin5由正弦函数的性质可知，当00,x时，均有4sin5x因为sinyx的周期为2，所以当002,2xkk（k）时，均有4sin5x因为对任意的整数k，00022213kk，所以对任意的正整数k，都存在正整数002,2kxkk，使得4sin5kx亦即存在无穷多个互不相同的正整数0 x，使得00g x考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式5（2015 福建理）已知函数f()x的图像是由函数()cosg xx=的图像经如下变换得到：先将()g x图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p个单位长度.()求函数f()x的解析式，并求其图像的对称轴方程；()已知关于x的方程f()g()xxm+=在0,2)p内有两个不同的解,a b（1)求实数m的取值范围；（2)证明：22cos)1.5mab-=-(【答案】()f()2sinxx=，(kZ).2xkpp=+?；()（1）(5,5)-；（2）详见解析【解析】试题分析：()纵向伸缩或平移：()()g xkg x或()()g xg xk；横向伸缩或平移：()()g xgx（纵坐标不变，横坐标变为原来的1倍），()()g xg xa(0a时，向左平移a个单位；0a时，向右平移a个单位)；()（1)由()得f()2sinxx=，则f()g()2sincosxxxx+=+，利用辅助角公式变形为f()g()xx+5sin()xj=+（其中12sin,cos55jj=），方程f()g()xxm+=在0,2)p内有两个不同的解,a b，等价于直线ym和函数5 sin()yxj=+有两个不同交点，数形结合求实数m的取值范围；（2)结合图像可得+=2()2pa bj-和3+=2()2pa bj-，进而利用诱导公式结合已知条件求解试题解析：解法一：(1)将()cosg xx=的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍（横坐标不变）得到y2cos x=的图像，再将y2cos x=的图像向右平移2p个单位长度后得到y2cos()2xp=-第 15页（共 22页）的图像，故f()2sinxx=，从而函数f()2sinxx=图像的对称轴方程为(kZ).2xkpp=+?(2)1)21f()g()2sincos5(sincos)55xxxxxx+=+=+5 sin()xj=+（其中12sin,cos55jj=）依题意，sin()=5mxj+在区间0,2)p内有两个不同的解,a b当且仅当|15m，故 m的取值范围是(5,5)-.2)因为,a b是方程5 sin()=mxj+在区间0,2)p内有两个不同的解，所以sin()=5maj+，sin()=5mbj+.当1m5时，+=2(),2();2pa bjabpbj-=-+当5m1-时,3+=2(),32();2pa bjabpbj-=-+所以2222cos)cos2()2sin()12()11.55mmabbjbj-=-+=+-=-=-(解法二：(1)同解法一.(2)1)同解法一.2)因为,a b是方程5 sin()=mxj+在区间0,2)p内有两个不同的解，所以sin()=5maj+，sin()=5mbj+.当1m5时，+=2(),+();2pa bja jpbj-=-+即当5m1-时,3+=2(),+3();2pa bja jpbj-=-+即所以cos+)cos()a jbj=-+(于是cos)cos()()cos()cos()sin()sin()abajbjajbjajbj-=+-+=+(22222cos()sin()sin()1()()1.555mmmbjajbj=-+=-+=-考点：1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式6、（2015广东文）已知tan21求tan4的值；2求2sin 2sinsincoscos21的值【答案】（1）3；（2）1第 16页（共 22页）考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.7（2015广东理）在平面直角坐标系xoy中，已知向量22,22m，sin,cosnxx，0,2x。（1）若mn，求 tanx 的值（2）若m与n的夹角为3，求x的值。【答案】（1）1；（2）512x【考点定位】本题考查向量数量积的坐标运算、两角和差公式的逆用、知角求值、值知求角等问题，属于中档题第 17页（共 22页）8（2015 湖北理）某同学用“五点法”画函数()sin()(0,|)2f xAx在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x02322x356sin()Ax0550（）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（）将()yf x 图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到()yg x 的图象.若()yg x 图象的一个对称中心为5(,0)12，求的最小值.【答案】（）()5sin(2)6f xx；（）6.【解析】试题解析：（）根据表中已知数据，解得5,2,6A.数据补全如下表：x02322x123712561312sin()Ax05050且函数表达式为()5sin(2)6f xx.（）由（）知()5sin(2)6f xx，得()5sin(22)6g xx.因为sinyx 的对称中心为(,0)k，kZ.令226xk，解得212kx，kZ.由于函数()yg x 的图象关于点5(,0)12成中心对称，令521212k，解得23k，kZ.由0 可知，当1k时，取得最小值6.考点：1.“五点法”画函数()sin()(0,|)2f xAx在某一个周期内的图象，2.三角函数的平移变换，3.三角函数的性质.9.(2015 湖北文)某同学用“五点法”画函数()sin()(0,|)2f xAx在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x02322x356第 18页（共 22页）sin()Ax0550（）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x的解析式；（）将()yf x 图象上所有点向左平行移动6个单位长度，得到()yg x 图象，求()yg x 的图象离原点O 最近的对称中心.【答案】（）根据表中已知数据，解得5,2,6A.数据补全如下表：x02322x123712561312sin()Ax05050且函数表达式为()5sin(2)6f xx；（）离原点O 最近的对称中心为(,0)12.【考点定位】本题考查五点作图法和三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质，属基础题.【名师点睛】将五点作图法、三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质联系在一起，正确运用方程组的思想，合理的解三角函数值，准确使用三角函数图像的平移和三角函数的图像及其性质是解题的关键，能较好的考查学生基础知识的实际应用能力、准确计算能力和规范解答能力.10.(2015 湖南文)设ABC的内角,A B C的对边分别为,tana b c abA。（I）证明：sincosBA；(II)若3sinsincos4CAB，且B为锐角，求,A B C。【答案】（I）略；(II)30,120,30.ABC【解析】第 19页（共 22页）试题分析：（I）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得sinsincossinAAAB，所以sincosBA；(II)根据两角和公式化简所给条件可得3sinsincoscossin4CABAB，可得23sin4B，结合所给角B的范围可得角B,进而可得角A,由三角形内角和可得角C.试题解析：（I）由tanabA及正弦定理，得sinsincossinAaAAbB，所以sincosBA。（II）因为sinsincossin180()sincosCABABABsin()sincossincoscossinsincoscossinABABABABABAB3cossin4AB有（）知sincosBA，因此23sin4B，又为钝角，所以3sin2B，故120B，由3cossin2AB知30A，从而180()30CAB，综上所述，30,120,30,ABC考点：正弦定理及其运用11.(2015 湖南理)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanabA，且B为钝角.（1）证明：2BA；（2）求sinsinAC的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）2 9(,28.【解析】第 20页（共 22页）【考点定位】1.正弦定理；2.三角恒等变形；3.三角函数的性质.【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等变形等知识点，属于中档题，高考解答题对三角三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可，在三角函数求值问题中，一般运用恒等变换，将未知角变换为已知角求解，在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解，对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小.12.(2015 天津理)已知函数22sinsin6fxxx，Rx(I)求()f x最小正周期；(II)求()f x在区间,34p p-上的最大值和最小值.【答案】(I);(II)max3()4f x,min1()2fx.考点：1.两角和与差的正余弦公式；2.二倍角的正余弦公式；3.三角函数的图象与性质.13、(2015 重庆文)已知函数 f(x)=12sin2x-32cos x.（I）求 f（x）的最小周期和最小值；（II）将函数 f（x）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图像.当 x,2时，求 g(x)的值域.第 21页（共 22页）【答案】（）()f x的最小正周期为p，最小值为2+32-；（）13 23,22-.【解析】试题分析：（）首先用降幂公式将函数21()sin 23 cos2f xxx=-的解析式化为()sin()f xAxB的形式，从而就可求出f（x）的最小周期和最小值；（）由题目所给变换及（）的化简结果求出函数g（x）的表达式，再由x,2并结合正弦函数的图象即可求出其值域试题解析：(1)2113()sin 23cossin 2(1 cos2)222f xxxxx=-=-+1333sin 2cos2sin(2)22232xxxp=-=-,因此()f x的最小正周期为p，最小值为2+32-.(2)由条件可知：3g()sin()32xxp=-.当,2xpp?时，有2,363xppp-?，从而sin()3xp-的值域为1,12，那么3sin()32xp-的值域为13 23,22-.故g()x在区间,2pp上的值域是13 23,22-.考点：1.三角恒等变换；2.正弦函数的图象及性质.14(2015 重庆理)已知函数2sinsin3cos2fxxxx（1）求fx的最小正周期和最大值；（2）讨论fx在2,63上的单调性.【答案】（1）最小正周期为p，最大值为232-；（2）()f x在5,612上单调递增；()f x在52,123上单调递减.【解析】第 22页（共 22页）调区间【考点定位】三角函数的恒等变换，周期，最值，单调性，考查运算求解能力方法进行研究