2019年江苏省常州市中考数学试卷及答案解析.pdf

第1页（共 18页）2019 年江苏省常州市中考数学试卷及答案解析一、选择题（本大题共8 小题，每小题2 分，共 16 分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1 3 的相反数是（）A13B-13C3D 3解：（3）+30故选：C2若代数式?+1?-3有意义，则实数x 的取值范围是（）Ax 1Bx3Cx 1Dx3解：代数式?+1?-3有意义，x 30，x 3故选：D3如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A圆柱B正方体C圆锥D球解：该几何体是圆柱故选：A4如图，在线段PA、PB、PC、PD 中，长度最小的是（）A线段 PAB线段 PBC线段 PCD线段 PD第2页（共 18页）解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B故选：B5若 ABC ABC，相似比为1：2，则 ABC 与 ABC的周长的比为（）A2：1B1：2C4：1D1：4解：ABC ABC，相似比为1：2，ABC 与 AB C的周长的比为1：2故选：B6下列各数中与2+3的积是有理数的是（）A2+3B2C 3D2-3解：（2+3）（2-3）431；故选：D7判断命题“如果n1，那么 n210”是假命题，只需举出一个反例反例中的n 可以为（）A 2B-12C0D12解：当 n 2 时，满足n1，但 n213 0，所以判断命题“如果n1，那么 n2 10”是假命题，举出n 2故选：A8随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5 微米的颗粒）的关注日益密切某市一天中PM2.5 的值 y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示 0 时到 t 时 PM2.5 的值的极差（即 0 时到 t 时 PM2.5 的最大值与最小值的差），则 y2与 t 的函数关系大致是（）AB第3页（共 18页）CD解：当 t0 时，极差y285850，当 0t10 时，极差y2随 t 的增大而增大，最大值为43；当 10t20 时，极差y2随 t 的增大保持43 不变；当 20t24 时，极差y2随 t 的增大而增大，最大值为98；故选：B二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共20 分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9计算：a3 aa2解：a3aa2故答案为：a210 4 是16的算术平方根解：4216，4 是 16 的算术平方根故答案为：1611分解因式：ax24aa（x+2）（x2）解：ax24a，a（x24），a（x+2）（x2）12如果 35，那么 的余角等于55解：35，的余角等于90 35 55故答案为：5513如果 ab 20，那么代数式1+2a 2b 的值是5解：ab20，ab2，1+2a2b1+2（ab）1+45；第4页（共 18页）故答案为514平面直角坐标系中，点P（3，4）到原点的距离是5解：作 PAx 轴于 A，则 P A4，OA3则根据勾股定理，得OP5故答案为515若?=1，?=2是关于 x、y的二元一次方程ax+y3 的解，则a1解：把?=1?=2代入二元一次方程ax+y3 中，a+23，解得 a1故答案是：116 如图，AB 是O 的直径，C、D 是O 上的两点，AOC120，则 CDB30解：BOC180 AOC180 120 60，CDB=12BOC30故答案为3017 如图，半径为 3的O 与边长为8 的等边三角形ABC 的两边 AB、BC 都相切，连接 OC，则 tanOCB35解：连接OB，作 OD BC 于 D，O 与等边三角形ABC 的两边 AB、BC 都相切，OBC OBA=12ABC30，tanOBC=?，第5页（共 18页）BD=?30=333=3，CDBCBD835，tanOCB=?=35故答案为 3518如图，在矩形ABCD 中，AD3AB3 10，点 P 是 AD 的中点，点E 在 BC 上，CE2BE，点 M、N 在线段 BD 上若 PMN 是等腰三角形且底角与DEC 相等，则MN6 或158解：分两种情况：MN 为等腰 PMN 的底边时，作PFMN 于 F，如图 1 所示：则 PFM PFN90，四边形ABCD 是矩形，ABCD，BCAD 3AB 3 10，A C90，ABCD=10，BD=?2+?2=10，点 P 是 AD 的中点，PD=12AD=3102，PDF BDA，PDF BDA，?=?，即?10=3 10210，解得：PF=32，第6页（共 18页）CE 2BE，BC AD3BE，BECD，CE 2CD，PMN 是等腰三角形且底角与DEC 相等，PFMN，MF NF，PNF DEC，PFN C90，PNF DEC，?=?=2，MF NF2PF3，MN2NF6；MN 为等腰 PMN 的腰时，作PFBD 于 F，如图 2 所示：由 得：PF=32，MF 3，设 MNPNx，则 FN3x，在 RtPNF 中，（32）2+（3x）2x2，解得：x=158，即 MN=158；综上所述，MN 的长为 6 或158；故答案为：6 或158三、解答题（本大题共10 小题，共84 分。请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）第7页（共 18页）19（8 分）计算：（1）0+（12）1（3）2；（2）（x1）（x+1）x（x1）解：（1）0+（12）1（3）2 1+2 30；（2）（x1）（x+1）x（x1）x2 1x2+xx1；20（6 分）解不等式组?+10，3?-8-?，并把解集在数轴上表示出来解：解不等式x+10，得：x 1，解不等式3x8 x，得：x2，不等式组的解集为1x 2，将解集表示在数轴上如下：21（8 分）如图，把平行四边形纸片ABCD 沿 BD 折叠，点C 落在点 C处，BC与 AD相交于点E（1）连接 AC，则 AC与 BD 的位置关系是AC BD；（2）EB 与 ED 相等吗？证明你的结论解：（1）连接 AC，四边形ABCD 平行四边形，AD BC，ADBC，ADB CBD，由折叠知，BCBC，CBD CBD，AD BC，ADB CBD，BEDE，AECE，第8页（共 18页）DAC=12（180 AEC）90-12AEC，同理：ADB 90-12BED，AEC BED，DAC ADB，ACBD，故答案为：AC BD；（2）EB 与 ED 相等由折叠可得，CBD CBD，AD BC，ADB CBD，EDBCBD，BEDE22（8 分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图（1）本次调查的样本容量是30，这组数据的众数为10元；（2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600 名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数解：（1）本次调查的样本容量是6+11+8+530，这组数据的众数为10 元；故答案为：30，10；第9页（共 18页）（2）这组数据的平均数为6 5+11 10+8 15+5 2030=12（元）；（3）估计该校学生的捐款总数为600 127200（元）23（8 分）将图中的A 型（正方形）、B 型（菱形）、C 型（等腰直角三角形）纸片分别放在 3 个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3 个盒子装入一只不透明的袋子中（1）搅匀后从中摸出1 个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是23；（2）搅匀后先从中摸出1 个盒子（不放回），再从余下的2 个盒子中摸出1 个盒子，把摸出的 2 个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率（不重叠无缝隙拼接）解：（1）搅匀后从中摸出1 个盒子，可能为A 型（正方形）、B 型（菱形）或C 型（等腰直角三角形）这3 种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是23；故答案为：23；（2）画树状图为：共有 6 种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2 种：A 和 C，C 和 A，拼成的图形是轴对称图形的概率为26=1324（8 分）甲、乙两人每小时共做30 个零件，甲做180 个零件所用的时间与乙做120 个零件所用的时间相等甲、乙两人每小时各做多少个零件？解：设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做（30 x）个零件，由题意得：180?=12030-?，第10页（共 18页）解得：x18，经检验：x18 是原分式方程的解，则 301812（个）答：甲每小时做18 个零件，则乙每小时做12 个零件25（8 分）如图，在?OABC 中，OA2 2，AOC45，点 C 在 y 轴上，点 D 是 BC 的中点，反比例函数y=?（x0）的图象经过点A、D（1）求 k 的值；（2）求点 D 的坐标解：（1）OA2 2，AOC45，A（2，2），k 4，y=4?；（2）四边形 OABC 是平行四边形OABC，ABx 轴，B 的横纵标为2，点 D 是 BC 的中点，D 点的横坐标为1，D（1，4）；26（10 分）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想【理解】（1）如图 1，两个边长分别为a、b、c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三第11页（共 18页）角形拼成一个梯形用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图 2，n 行 n 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n21+3+5+7+2n1；【运用】（3）n 边形有 n 个顶点，在它的内部再画m 个点，以（m+n）个点为顶点，把n 边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y 个这样的三角形当n3，m3 时，如图 3，最多可以剪得7 个这样的三角形，所以y7 当 n4，m2 时，如图4，y6；当 n5，m3时，y9；对于一般的情形，在 n 边形内画m 个点，通过归纳猜想，可得 yn+2（m1）（用含 m、n 的代数式表示）请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立解：（1）有三个Rt其面积分别为12ab，12ab 和12c2直角梯形的面积为12（a+b）（a+b）由图形可知：12（a+b）（a+b）=12ab+12ab+12c2整理得（a+b）22ab+c2，a2+b2+2ab 2ab+c2，a2+b2c2故结论为：直角长分别为a、b 斜边为 c 的直角三角形中a2+b2c2（2）n 行 n 列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，2n1由图形可知：n21+3+5+7+2n1故答案为1+3+5+7+2n1（3）如图 4，当 n 4，m2 时，y6，第12页（共 18页）如图 5，当 n5，m3 时，y9 算法 y 个三角形，共3y 条边，其中n 边形的每边都只使用一次，其他边都各使用两次，所以n 边形内部共有（3yn）2 条线段；算法n 边形内部有1 个点时，其内部共有n 条线段，共分成n 个三角形，每增加一个点，都必在某个小三角形内，从而增加 3 条线段，所以n 边形内部有m 个点时，其内部共有n+3（m1）条线段，由（3yn）2 n+3（m1）化简得：yn+2（m1）故答案为：6，3；n+2（m1）27（10 分）如图，二次函数y x2+bx+3 的图象与x 轴交于点A、B，与 y 轴交于点C，点 A 的坐标为（1，0），点 D 为 OC 的中点，点P 在抛物线上（1）b2；（2）若点 P 在第一象限，过点 P 作 PHx 轴，垂足为 H，PH 与 BC、BD 分别交于点M、N是否存在这样的点P，使得 PMMNNH？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 P 的横坐标小于3，过点 P 作 PQBD，垂足为 Q，直线 PQ 与 x 轴交于点R，且 SPQB2SQRB，求点 P 的坐标解：（1）二次函数y x2+bx+3 的图象与x 轴交于点A（1，0）1b+30解得：b2第13页（共 18页）故答案为：2（2）存在满足条件呢的点P，使得 PM MNNH二次函数解析式为y x2+2x+3当 x0 时 y3，C（0，3）当 y0 时，x2+2x+30解得：x1 1，x23A（1，0），B（3，0）直线 BC 的解析式为y x+3点 D 为 OC 的中点，D（0，32）直线 BD 的解析式为y=-12?+32，设 P（t，t2+2t+3）（0t3），则 M（t，t+3），N（t，-12t+32），H（t，0）PM t2+2t+3（t+3）t2+3t，MN t+3（-12x+32）=-12t+32，NH=-12t+32MNNHPMMN t2+3t=-12t+32解得：t1=12，t23（舍去）P（12，154）P 的坐标为（12，154），使得 PMMNNH（3）过点 P 作 PFx 轴于 F，交直线BD 于 EOB 3，OD=32，BOD 90BD=?2+?2=352cos OBD=?=3352=255第14页（共 18页）PQ BD 于点 Q，PF x 轴于点 F PQE BQR PFR90 PRF+OBD PRF+EPQ90 EPQ OBD，即 cosEPQ cosOBD=255在 RtPQE 中，cosEPQ=?=255PQ=255PE在 RtPFR 中，cosRPF=?=255PR=?255=52PFSPQB2SQRB，SPQB=12BQ?PQ，SQRB=12BQ?QRPQ 2QR设直线 BD 与抛物线交于点G-12?+32=-x2+2x+3，解得：x13（即点 B 横坐标），x2=-12点 G 横坐标为-12设 P（t，t2+2t+3）（t3），则 E（t，-12t+32）PF|t2+2t+3|，PE|t2+2t+3（-12t+32）|t2+52t+32|若-12t3，则点 P 在直线 BD 上方，如图2，PF t2+2t+3，PE t2+52t+32PQ 2QRPQ=23PR2 55PE=23?52PF，即 6PE5PF6（t2+52t+32）5（t2+2t+3）解得：t12，t23（舍去）P（2，3）若 1t-12，则点 P 在 x 轴上方、直线BD 下方，如图3，第15页（共 18页）此时，PQQR，即 SPQB2SQRB不成立 若 t 1，则点 P在 x 轴下方，如图4，PF（t2+2t+3）t2 2t3，PE=-12t+32-（t2+2t+3）t2-52t-32PQ 2QRPQ 2PR2 55PE2?52PF，即 2PE5PF2（t2-52t-32）5（t22t3）解得：t1=-43，t23（舍去）P（-43，-139）综上所述，点P 坐标为（2，3）或（-43，-139）第16页（共 18页）28（10 分）已知平面图形S，点 P、Q 是 S 上任意两点，我们把线段PQ 的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度（1）写出下列图形的宽距：半径为 1 的圆：2；如图 1，上方是半径为1 的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：1+5；（2）如图 2，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）、B（1，0），C 是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA 所形成的图形为S，记 S的宽距为 d 若 d2，用直尺和圆规画出点C 所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；若点 C 在M 上运动，M 的半径为1，圆心 M 在过点（0，2）且与 y 轴垂直的直线上对于 M 上任意点C，都有 5d 8，直接写出圆心M 的横坐标x 的取值范围解：（1）半径为 1 的圆的宽距离为2，故答案为2 如图 1，正方形 ABCD 的边长为2，设半圆的圆心为O，点 P 是O 上一点，连接 OP，PC，OC第17页（共 18页）在 RtODC 中，OC=?2+?2=12+22=5OP+OCPC，PC 1+5，这个“窗户形“的宽距为1+5故答案为1+5（2）如图 21 中，连接AB、BC、CA 所形成的图形是图中阴影部分S1和 S2（分别以 A、B 为圆心，以AB 为半径所作的圆心角为120的两条弧所形成的阴影部分即为点C 所在的区域）点 C 所在的区域的面积为S1+S2=83 2 3 如图 22 中，当点M 在 y 轴的右侧时，连接AM，作 MTx 轴于 T对于 M 上任意点 C，都有 5d8，当 d5 时，AM6，第18页（共 18页）AT=?2-?2=4 2，此时 M（4 2-1，2），当 d8 时，AM7，AT=72-22=3 5，此时 M（3 5-1，2），满足条件的点M 的横坐标的范围为4 2-1 x3 5-1当点 M 在 y 轴的左侧时，满足条件的点M 的横坐标的范围为3 5+1 x 4 2+1