2019年河北省中考数学试卷及答案解析.pdf

第1页（共 30页）2019年河北省中考数学试卷一、选择题（本大题有16 个小题，共42 分，1-10 小题各 3 分，11-16 小题各 2 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3 分）下列图形为正多边形的是（）ABCD2（3 分）规定：（2）表示向右移动2 记作+2，则（3）表示向左移动3 记作（）A+3B 3CD+3（3 分）如图，从点C 观测点 D 的仰角是（）A DABB DCEC DCAD ADC4（3 分）语句“x 的与 x 的和不超过5”可以表示为（）A+x5B+x5C5D+x55（3 分）如图，菱形ABCD 中，D150，则 1（）A30B25C20D156（3 分）小明总结了以下结论：a（b+c）ab+ac；a（bc）abac；（bc）abaca（a0）；a（b+c）ab+ac（a0）其中一定成立的个数是（）A1B2C3D4第2页（共 30页）7（3 分）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（）A代表 FECB代表同位角C代表 EFCD代表AB8（3 分）一次抽奖活动特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为（）p26-11A5 104B5 105C2104D21059（3 分）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6 个小正三角形涂黑，还需涂黑n 个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n 的最小值为（）A10B6C3D210（3 分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）ABCD11（2 分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类 去图书馆收集学生借阅图书的记录 绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 整理借阅图书记录并绘制频数分布表正确统计步骤的顺序是（）A B C D 第3页（共 30页）12（2 分）如图，函数y的图象所在坐标系的原点是（）A点 MB点 NC点 PD点 Q13（2 分）如图，若x 为正整数，则表示的值的点落在（）A段 B段 C段 D段 14（2 分）图 2 是图 1 中长方体的三视图，若用S表示面积，S主x2+2x，S左x2+x，则 S俯（）Ax2+3x+2Bx2+2Cx2+2x+1D2x2+3x15（2 分）小刚在解关于x 的方程 ax2+bx+c 0（a0）时，只抄对了a 1，b4，解出其中一个根是 x 1他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小 2则原方程的根的情况是（）A不存在实数根B有两个不相等的实数根C有一个根是x 1D有两个相等的实数根16（2 分）对于题目：“如图 1，平面上，正方形内有一长为12、宽为 6 的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数 n”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n甲：如图2，思路是当x 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n13第4页（共 30页）乙：如图3，思路是当x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n14丙：如图4，思路是当x 为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n13下列正确的是（）A甲的思路错，他的n 值对B乙的思路和他的n 值都对C甲和丙的n 值都对D甲、乙的思路都错，而丙的思路对二、填空题（本大题有3 个小题，共11 分，17 小题 3 分：1819 小题各有2 个空，每空2 分，把答案写在题中横线上）17（3 分）若 7271 707p，则 p 的值为18（4 分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数示例：即 4+37则（1）用含 x的式子表示m；（2）当 y 2 时，n 的值为19（4 分）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C 三地的坐标，数据如图（单位：km）笔直铁路经过A，B 两地（1）A，B 间的距离为km；（2）计划修一条从C 到铁路 AB 的最短公路l，并在 l 上建一个维修站D，使 D 到 A，C 的距离相等，则 C，D 间的距离为km第5页（共 30页）三、解答题（本大题有7 个小题，共67 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20（8 分）有个填写运算符号的游戏：在“1269”中的每个内，填入+，中的某一个（可重复使用），然后计算结果（1）计算：1+269；（2）若 1269 6，请推算内的符号；（3）在“12 69”的内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数21（9 分）已知：整式A（n21）2+（2n）2，整式 B0尝试化简整式A发现AB2，求整式B联想由上可知，B2（n21）2+（2n）2，当 n1 时，n21，2n，B 为直角三角形的三边长，如图填写下表中B 的值：直角三角形三边n212nB勾股数组/8勾股数组35/22（9 分）某球室有三种品牌的4 个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种从中随机拿出一个球，已知P（一次拿到8 元球）（1）求这 4 个球价格的众数；（2）若甲组已拿走一个7 元球训练，乙组准备从剩余3 个球中随机拿一个训练 所剩的 3 个球价格的中位数与原来4 个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由；oyx第6页（共 30页）乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到8 元球的概率 p137-10又拿先拿23（9 分）如图，ABC 和 ADE 中，ABAD6，BCDE，B D 30，边 AD 与边 BC 交于点 P（不与点B，C 重合），点 B，E 在 AD 异侧，I 为 APC 的内心（1）求证：BAD CAE；p235-五（2）设 APx，请用含x 的式子表示PD，并求 PD 的最大值；p173-20（3）当 ABAC 时，AIC 的取值范围为m AIC n，分别直接写出m，n 的值 p168-6 第7页（共 30页）24（10 分）长为 300m 的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图 2，当队伍排尾行进到位置 O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进设排尾从位置O 开始行进的时间为t（s），排头与 O 的距离为 S头（m）p268-（1）当 v2 时，解答：求 S头与 t 的函数关系式（不写t 的取值范围）；当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O 的距离为S甲（m），求 S甲与 t 的函数关系式（不写t 的取值范围）（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求 T 与 v 的函数关系式（不写v 的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程25（10 分）如图 1 和 2，?ABCD 中，AB3，BC15，tanDAB点 P 为 AB 延长线上一点，过点 A 作O 切 CP 于点 P，设 BP xp167-4 p235-二（1）如图 1，x 为何值时，圆心 O 落在 AP 上？若此时 O 交 AD 于点 E，直接指出PE 与 BC 的位置关系；（2）当 x4时，如图 2，O 与 AC 交于点 Q，求 CAP 的度数，并通过计算比较弦AP 与劣弧长度的大小；（3）当 O 与线段 AD 只有一个公共点时，直接写出x 的取值范围、第8页（共 30页）26（12 分）如图，若b 是正数，直线l：yb 与 y 轴交于点A；直线 a：yxb 与 y 轴交于点B；抛物线 L：y x2+bx 的顶点为C，且 L 与 x 轴右交点为D p92-4 p93-n p117-21（1）若 AB8，求 b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标；（2）当点 C 在 l 下方时，求点C 与 l 距离的最大值；（3）设 x00，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a 和 L 上，且 y3是 y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点 D 间的距离；（4）在 L 和 a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出 b2019 和 b2019.5 时“美点”的个数第9页（共 30页）2019 年河北省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有16 个小题，共42 分，1-10 小题各 3 分，11-16 小题各 2 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3 分）下列图形为正多边形的是（）ABCD【分析】根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等，故选：D【点评】此题主要考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义2（3 分）规定：（2）表示向右移动2 记作+2，则（3）表示向左移动3 记作（）A+3B 3CD+【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示“正”和“负”相对，所以，如果（2）表示向右移动2 记作+2，则（3）表示向左移动3 记作 3【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果（2）表示向右移动2记作+2，则（3）表示向左移动 3 记作 3故选：B【点评】此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量3（3 分）如图，从点C 观测点 D 的仰角是（）A DABB DCEC DCAD ADC【分析】根据仰角的定义进行解答便可第10页（共 30页）【解答】解：从点C 观测点 D 的视线是CD，水平线是CE，从点 C 观测点 D 的仰角是 DCE，故选：B【点评】本题主要考查了仰角的识别，熟记仰角的定义是解题的关键仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角4（3 分）语句“x 的与 x 的和不超过5”可以表示为（）A+x5B+x5C5D+x5【分析】x 的即x，不超过5 是小于或等于5 的数，按语言叙述列出式子即可【解答】解：“x 的与 x 的和不超过5”用不等式表示为x+x5故选：A【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式5（3 分）如图，菱形ABCD 中，D150，则 1（）A30B25C20D15【分析】由菱形的性质得出AB CD，BAD 21，求出 BAD30，即可得出115【解答】解：四边形ABCD 是菱形，D150，AB CD，BAD2 1，BAD+D180，BAD 180 150 30，115；故选：D【点评】此题考查了菱形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键6（3 分）小明总结了以下结论：a（b+c）ab+ac；a（bc）abac；（bc）abaca（a0）；第11页（共 30页）a（b+c）ab+ac（a0）其中一定成立的个数是（）A1B2C3D4【分析】直接利用单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算法则计算得出答案【解答】解：a（b+c）ab+ac，正确；a（bc）abac，正确；（bc）abaca（a0），正确；a（b+c）ab+ac（a0），错误，无法分解计算故选：C【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键7（3 分）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（）A代表 FECB代表同位角C代表 EFCD代表AB【分析】根据图形可知代表CD，即可判断D；根据三角形外角的性质可得代表EFC，即可判断 A；利用等量代换得出代表EFC，即可判断C；根据图形已经内错角定义可知代表内错角【解答】证明：延长BE 交 CD 于点 F，则 BEC EFC+C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）又 BEC B+C，得 B EFC 故 ABCD（内错角相等，两直线平行）故选：C【点评】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，比较简单第12页（共 30页）8（3 分）一次抽奖活动特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为（）A5 104B5 105C2104D2105【分析】绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定【解答】解：0.00002 2105故选：D【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a10n，其中1|a|10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定9（3 分）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6 个小正三角形涂黑，还需涂黑n 个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n 的最小值为（）A10B6C3D2【分析】由等边三角形有三条对称轴可得答案【解答】解：如图所示，n 的最小值为3，故选：C【点评】本题主要考查利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质10（3 分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）AB第13页（共 30页）CD【分析】根据三角形外心的定义，三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图格选项进行判断【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C 选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心故选：C【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）也考查了三角形的外心11（2 分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类 去图书馆收集学生借阅图书的记录 绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 整理借阅图书记录并绘制频数分布表正确统计步骤的顺序是（）A B C D 【分析】根据题意和频数分布表、扇形统计图制作的步骤，可以解答本题【解答】解：由题意可得，正确统计步骤的顺序是：去图书馆收集学生借阅图书的记录 整理借阅图书记录并绘制频数分布表 绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类，故选：D【点评】本题考查扇形统计图、频数分布表，解答本题的关键是明确制作频数分布表和扇形统计图的制作步骤12（2 分）如图，函数y的图象所在坐标系的原点是（）第14页（共 30页）A点 MB点 NC点 PD点 Q【分析】由函数解析式可知函数关于y 轴对称，即可求解；【解答】解：由已知可知函数y关于 y 轴对称，所以点 M 是原点；故选：A【点评】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键13（2 分）如图，若x 为正整数，则表示的值的点落在（）A段 B段 C段 D段【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x 为正整数，从所给图中可得正确答案【解答】解1又 x 为正整数，1故表示的值的点落在故选：B【点评】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等14（2 分）图 2 是图 1 中长方体的三视图，若用 S表示面积，S主 x2+2x，S左x2+x，则 S俯（）第15页（共 30页）Ax2+3x+2Bx2+2Cx2+2x+1D2x2+3x【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案【解答】解：S主 x2+2xx（x+2），S左x2+xx（x+1），俯视图的长为x+2，宽为 x+1，则俯视图的面积S俯（x+2）（x+1）x2+3x+2，故选：A【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高15（2 分）小刚在解关于x 的方程 ax2+bx+c 0（a0）时，只抄对了a 1，b4，解出其中一个根是 x 1他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小 2则原方程的根的情况是（）A不存在实数根B有两个不相等的实数根C有一个根是x 1D有两个相等的实数根【分析】直接把已知数据代入进而得出c 的值，再解方程求出答案【解答】解：小刚在解关于x 的方程 ax2+bx+c0（a 0）时，只抄对了a1，b4，解出其中一个根是x 1，（1）24+c 0，解得：c3，故原方程中c5，则 b2 4ac16 415 40，则原方程的根的情况是不存在实数根故选：A【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出c 的值是解题关键16（2 分）对于题目：“如图 1，平面上，正方形内有一长为12、宽为 6 的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整第16页（共 30页）数 n”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n甲：如图2，思路是当x 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n13乙：如图3，思路是当x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n14丙：如图4，思路是当x 为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n13下列正确的是（）A甲的思路错，他的n 值对B乙的思路和他的n 值都对C甲和丙的n 值都对D甲、乙的思路都错，而丙的思路对【分析】平行四边形的性质矩形都具有；角：矩形的四个角都是直角；边：邻边垂直；对角线：矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形，又是中心对称图形它有2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点【解答】解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n14；乙的思路与计算都正确；丙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；故选：B【点评】本题考查了矩形的性质与旋转的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键二、填空题（本大题有3 个小题，共11 分，17 小题 3 分：1819 小题各有2 个空，每空2 分，把答案写在题中横线上）17（3 分）若 7271 707p，则 p 的值为3【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案【解答】解：7271707p，21+0p，解得：p 3故答案为：3第17页（共 30页）【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键18（4 分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数示例：即 4+37则（1）用含 x的式子表示m3x；（2）当 y 2 时，n 的值为1【分析】（1）根据约定的方法即可求出m；（2）根据约定的方法即可求出n【解答】解：（1）根据约定的方法可得：mx+2x3x；故答案为：3x；（2）根据约定的方法即可求出nx+2x+2x+3m+ny当 y 2 时，5x+3 2解得 x 1n2x+3 2+31故答案为：1【点评】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是掌握列代数式的约定方法19（4 分）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C 三地的坐标，数据如图（单位：km）笔直铁路经过A，B 两地（1）A，B 间的距离为20km；（2）计划修一条从C 到铁路 AB 的最短公路l，并在 l 上建一个维修站D，使 D 到 A，C 的距离相等，则 C，D 间的距离为13km第18页（共 30页）【分析】（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB 的长度；（2）根据 A、B、C 三点的坐标可求出CE 与 AE 的长度，设CDx，根据勾股定理即可求出x 的值【解答】解：（1）由 A、B 两点的纵坐标相同可知：AB x 轴，AB 12（8）20；（2）过点 C 作 lAB 于点 E，连接 AC，作 AC 的垂直平分线交直线l 于点 D，由（1）可知：CE1（17）18，AE12，设 CDx，ADCDx，由勾股定理可知：x2（18 x）2+122，解得：x13，CD13，故答案为：（1）20；（2）13；【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是根据A、B、C 三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型三、解答题（本大题有7 个小题，共67 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20（8 分）有个填写运算符号的游戏：在“1269”中的每个内，填入+，中的某一个（可重复使用），然后计算结果（1）计算：1+269；（2）若 1269 6，请推算内的符号；（3）在“12 69”的内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；（2）根据题目中式子的结果，可以得到内的符号；oyx第19页（共 30页）（3）先写出结果，然后说明理由即可【解答】解：（1）1+26936 9 39 12；（2）1269 6，169 6，39 6，内的符号是“”；（3）这个最小数是20，理由：在“1 269”的内填入符号后，使计算所得数最小，12 6 的结果是负数即可，12 6 的最小值是126 11，12 69 的最小值是119 20，这个最小数是20【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题得关键是明确有理数混合运算的计算方法21（9 分）已知：整式A（n21）2+（2n）2，整式 B0尝试化简整式A发现AB2，求整式B联想由上可知，B2（n21）2+（2n）2，当 n1 时，n21，2n，B 为直角三角形的三边长，如图填写下表中B 的值：直角三角形三边n212nB勾股数组/817勾股数组35/37【分析】先根据整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把 n 的值代入即可解答第20页（共 30页）【解答】解：A（n21）2+（2n）2n42n2+1+4n2n4+2n2+1（n2+1）2，AB2，B0，Bn2+1，当 2n 8 时，n 4，n2+142+117；当 n2 135 时，n2+137故答案为：17；37【点评】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知ABC 的三边满足a2+b2 c2，则ABC 是直角三角形22（9 分）某球室有三种品牌的4 个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种从中随机拿出一个球，已知P（一次拿到8 元球）（1）求这 4 个球价格的众数；（2）若甲组已拿走一个7 元球训练，乙组准备从剩余3 个球中随机拿一个训练 所剩的 3 个球价格的中位数与原来4 个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由；乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到8 元球的概率又拿先拿【分析】（1）由概率公式求出8 元球的个数，由众数的定义即可得出答案；（2）由中位数的定义即可得出答案；用列表法得出所有结果，乙组两次都拿到8 元球的结果有4 个，由概率公式即可得出答案【解答】解：（1）P（一次拿到8 元球），第21页（共 30页）8 元球的个数为42（个），按照从小到大的顺序排列为7，8，8，9，这 4 个球价格的众数为8 元；（2）所剩的 3 个球价格的中位数与原来4 个球价格的中位数相同；理由如下：原来 4 个球的价格按照从小到大的顺序排列为7，8，8，9，原来 4 个球价格的中位数为8（元），所剩的 3 个球价格为8，8，9，所剩的3 个球价格的中位数为8 元，所剩的3 个球价格的中位数与原来4 个球价格的中位数相同；列表如图所示：共有9 个等可能的结果，乙组两次都拿到8 元球的结果有4 个，乙组两次都拿到8 元球的概率为【点评】本题考查了众数、中位数以及列表法求概率；熟练掌握众数、中位数的定义，列表得出所有结果是解题的关键23（9 分）如图，ABC 和 ADE 中，ABAD6，BCDE，B D 30，边 AD 与边 BC 交于点 P（不与点B，C 重合），点 B，E 在 AD 异侧，I 为 APC 的内心（1）求证：BAD CAE；（2）设 APx，请用含x 的式子表示PD，并求 PD 的最大值；（3）当AB AC 时，AIC 的取值范围为m AIC n，分别直接写出m，n 的第22页（共 30页）值【分析】（1）由条件易证ABC ADE，得 BAC DAE，BAD CAE（2）PDADAP6x，点 P 在线段 BC 上且不与B、C 重合，AP 的最小值即APBC 时AP 的长度，此时PD 可得最大值（3）I 为 APC 的内心，即I 为 APC 角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180“及角平分线定义即可表示出AIC，从而得到m，n 的值【解答】解：（1）在 ABC 和 ADE 中，（如图 1）ABC ADE（SAS）BAC DAE即 BAD+DAC DAC+CAE BAD CAE（2）AD 6，APx，PD6x当 ADBC 时，APAB3 最小，即PD 633 为 PD 的最大值（3）如图 2，设 BAP，则 APC+30，AB AC BAC 90，PCA60，PAC90 ，I 为 APC 的内心AI、CI 分别平分 P AC，PCA，IACPAC，ICAPCA AIC180（IAC+ICA）180（PAC+PCA）第23页（共 30页）180（90 +60）+1050 90，105+105 150，即 105 AIC150，m105，n 150【点评】本题是一道几何综合题，考查了点到直线的距离垂线段最短，30的角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，三角形内心概念及角平分线定义等，解题关键是将PD 最大值转化为P A 的最小值24（10 分）长为 300m 的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图 2，当队伍排尾行进到位置 O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进设排尾从位置O 开始行进的时间为t（s），排头与 O 的距离为 S头（m）（1）当 v2 时，解答：求 S头与 t 的函数关系式（不写t 的取值范围）；当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O 的距离为S甲（m），求 S甲与 t 的函数关系式（不写t 的取值范围）（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求 T 与 v 的函数关系式（不写v 的取值范围），并写出第24页（共 30页）队伍在此过程中行进的路程【分析】（1）排头与 O 的距离为S头（m）等于排头行走的路程+队伍的长300，而排头行进的时间也是t（s），速度是2m/s，可以求出S头与 t 的函数关系式；甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求S 即可；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O 的距离为S甲（m）是在 S的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间（总时间t 减去甲从排尾赶到排头的时间），于是可以求S甲与 t 的函数关系式；（2）甲这次往返队伍的总时间为T（s），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程队伍速度返回时间【解答】解：（1）排尾从位置O 开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），S头2t+300 甲从排尾赶到排头的时间为300（2vv）300v3002150 s，此时 S头 2t+300600 m甲返回时间为：（t150）sS甲S头S甲回2150+3004（t150）4t+1200；因此，S头与 t 的函数关系式为S头2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为 600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与 t 的函数关系式为S甲 4t+1200（2）T t追及+t返回+，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v400；因此 T 与 v 的函数关系式为：T，此时队伍在此过程中行进的路程为400m【点评】考查行程问题中相遇、追及问题的数量关系的理解和应用，同时函数思想方法的应用，切实理解变量之间的变化关系，由于时间有重合的部分，容易出现错误25（10 分）如图 1 和 2，?ABCD 中，AB3，BC15，tanDAB点 P 为 AB 延长线上一点，过点 A 作O 切 CP 于点 P，设 BP x（1）如图 1，x 为何值时，圆心 O 落在 AP 上？若此时 O 交 AD 于点 E，直接指出PE 与 BC 的位置关系；第25页（共 30页）（2）当 x4时，如图 2，O 与 AC 交于点 Q，求 CAP 的度数，并通过计算比较弦AP 与劣弧长度的大小；（3）当 O 与线段 AD 只有一个公共点时，直接写出x 的取值范围【分析】（1）由三角函数定义知：RtPBC 中，tan PBCtanDAB，设 CP4k，BP3k，由勾股定理可求得BP，根据“直径所对的圆周角是直角”可得 PEAD，由此可得PEBC；（2）作 CGAB，运用勾股定理和三角函数可求CG 和 AG，再应用三角函数求CAP，应用弧长公式求劣弧长度，再比较它与AP 长度的大小；（3）当 O 与线段 AD 只有一个公共点时，O 与 AD 相切于点 A，或 O 与线段 DA 的延长线相交于另一点，此时，BP 只有最小值，即x18【解答】解：（1）如图 1，AP 经过圆心O，CP 与O 相切于 P，APC 90，?ABCD，ADBC，PBC DABtanPBCtanDAB，设 CP4k，BP3k，由 CP2+BP2BC2，得（4k）2+（3k）2 152，解得 k1 3（舍去），k23，xBP339，故当 x9 时，圆心O 落在 AP 上；AP 是O 的直径，AEP90，PE AD，?ABCD，第26页（共 30页）BCADPE BC（2）如图 2，过点 C 作 CGAP 于 G，?ABCD，BCAD，CBG DABtanCBGtan DAB，设 CG4m，BG3m，由勾股定理得：（4m）2+（3m）2152，解得 m3，CG4 312，BG339，PGBGBP945，APAB+BP3+4 7，AGAB+BG3+912tan CAP1，CAP 45；连接 OP，OQ，过点 O 作 OHAP 于 H，则 POQ2 CAP2 45 90，PHAP，在 RtCPG 中，13，CP 是O 的切线，OPC OHP90，OPH+CPG 90，PCG+CPG90 OPH PCG OPH PCG，即 PH CPCGOP，1312OP，OP劣弧长度，2 7弦 AP 的长度劣弧长度（3）如图 3，O 与线段 AD 只有一个公共点，即圆心O 位于直线AB 下方，且 OAD90，当 OAD 90，CPM DAB 时，此时 BP 取得最小值，过点C 作 CMAB 于 M，第27页（共 30页）DAB CBP，CPM CBPCBCP，CMABBP 2BM2918，x18【点评】本题是一道几何综合题，考查了圆的切线性质，相似三角形性质，三角函数解直角三角形，勾股定理，弧长计算等；综合性较强，学生解题时要灵活运用所学数学知识解决问题26（12 分）如图，若b 是正数，直线l：yb 与 y 轴交于点A；直线 a：yxb 与 y 轴交于点B；抛物线 L：y x2+bx 的顶点为C，且 L 与 x 轴右交点为D（1）若 AB8，求 b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标；（2）当点 C 在 l 下方时，求点C 与 l 距离的最大值；（3）设 x00，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a 和 L 上，且 y3是 y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点 D 间的距离；（4）在 L 和 a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出 b2019 和 b2019.5 时“美点”的个数第28页（共 30页）【分析】（1）当 x0 时，y xb b，所以 B（0，b），而 AB8，而 A（0，b），则 b（b）8，b4所以L：y x2+4x，对称轴x2，当 x2 吋，yx4 2，于是 L 的对称轴与 a 的交点为（2，2）；（2）y（x）2+，顶点 C（）因为点C 在 l 下方，则C 与 l 的距离 b（b2）2+1 1，所以点C 与 1 距离的最大值为1；（3）由題意得，即 y1+y22y3，得 b+x0b2（x02+bx0）解得 x00 或 x0b 但x00，取 x0b，对于 L，当 y0 吋，0 x2+bx，即 0 x（xb），解得 x10，x2b，右交点 D（b，0）因此点（x0，0）与点 D 间的距离b（b）（4）当 b2019 时，抛物线解析式L：y x2+2019x 直线解析式a：yx 2019，美点”总计4040 个点，当 b2019.5 时，抛物线解析式L：y x2+2019.5x，直线解析式a：yx2019.5，“美点”共有 1010 个【解答】解：（1）当 x0 时，yx b b，B（0，b），AB 8，而 A（0，b），b（b）8，b4L：y x2+4x，L 的对称轴x 2，当 x2 吋，yx4 2，L 的对称轴与a 的交点为（2，2）；第29页（共 30页）（2）y（x）2+，L 的顶点 C（）点 C 在 l 下方，C 与 l 的距离 b（b 2）2+11，点 C 与 1 距离的最大值为1；（3）由題意得，即 y1+y22y3，得 b+x0b2（x02+bx0）解得 x0 0 或 x0b但 x00，取 x0b，对于 L，当 y0 吋，0 x2+bx，即 0 x（xb），解得 x1 0，x2b，b0，右交点D（b，0）点（x0，0）与点 D 间的距离b（b）（4）当 b2019 时，抛物线解析式L：y x2+2019x直线解析式a：yx2019联立上述两个解析式可得：x1 1，x22019，可知每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值，且 1 和 2019 之间（包括 1 和 2019）共有2021 个整数；另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，线段和抛物线上各有2021 个整数点总计 4042 个点，这两段图象交点有2个点重复，美点”的个数：4042 24040（个）；当 b2019.5 时，抛物线解析式L：y x2+2019.5x，直线解析式a：yx2019.5，联立上述两个解析式可得：x1 1，x22019.5，第30页（共 30页）当 x 取整数时，在一次函数yx2019.5 上，y 取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数yx2+2019.5x 图象上，当x 为偶数时，函数值y 可取整数，可知 1 到 2019.5 之 间有 1010 个偶数，因此“美点”共有1010 个故 b2019 时“美点”的个数为4040 个，b2019.5 时“美点”的个数为1010 个【点评】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键