2007—2008第一学期《高等数学B》期末考试试题及答案(B卷).pdf
武汉大学数学与统计学院B卷20072008 第一学期高等数学B期末考试试题一、（86）试解下列各题：1、计算30arctanlimln(12)xxxx2、计算120ln(1)d(2)xxx3、计算积分：21arctanxdxx4、已知两曲线()yf x与1xyxye所确定，在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim()nnfn5、设，2221cos1coscos2txtuduyttu，试求：ddyx，222d|dtyx的值。6、确定函数sinsinsin()lim()sinxtxtxtfxx的间断点，并判定间断点的类型。7、设1(1)yxx，求()ny8、求位于曲线(0)xyxex下方，x轴上方之图形面积。二、（12 分）设()f x具有二阶连续导数，且()0f a，()()f xxag xxaAxa1、试确定A的值，使()g x在xa处连续；2、求()gx3、证明()gx在xa处连续。三、（15 分）设P为曲线2cos(0)2sin2xttyt上一点，作原点(0,0)O和点P的直线OP，由曲线、直线OP以及x轴所围成的平面图形记为A，1、将y表成x的函数；2、求平面图形A的面积()S x的表达式；3、将平面图形A的面积()S x表成t的函数(cos)()SStS t，并求ddtS取得最大值时点P的坐标；四、（15 分）已知函数253xyx求：1、函数)(xf的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线。五、（10 分）设函数()f x在,l l上连续，在0 x处可导，且(0)0f，1、证明：对于任意(0,)xl，至少存在一个(0,1)使00()d()d()()xxf ttf ttx fxfx2、求极限0limx武汉大学数学与统计学院 B卷20072008 第一学期高等数学B期末考试试题参考答案一、试解下列各题：（86）1、解：30arctanlimln(12)xxxx22232200011arctan111limlimlim6266xxxxxxxxxxx2、解：原式111000ln(1)1111|ln 2()d2(1)(2)31+2xdxxxxxxx110011ln 2(ln(1)|ln(2)|)ln 233xx3、解：12211arctanx11darctan|dx(1)xxxxxx2111lnln(1)ln 24242xx4、解：由(0)0(0)(0)ffy，又(1)0 xyyxyey；(0)1(0)1yf故所求切线方程为：0 xy，且2()(0)2lim()lim22(0)22nnffnnffnn5、解：2222sin(0),2 sindydttttttdtdx2|2tdydytdxdx，22222211|2 sin2td yd ydxttdx6、解：sinsinsinsin()lim()sinxxtxxtxtf xex，故0 x是)(xf的第一类可去间断点。lim()xkf x，故(1,2,)xkkL是函数)(xf的第二类无穷间断点。7、解：由111yxx()(1)(1)(1)(1)!nnnnyxxn8、解：0000|1xxxxSxe dxxee dxe二、（10 分）解：1、()lim()xafxAfaxa2、当2()()(),()()fxxaf xxa g xxa当2()()()()()(),()limlim()2()xaxag xg af xfx xafaxag axaxa所以2()()()()()()2fxxafxxaxag xfaxa3、2()()()()lim()lim()2()xaxafx xaf xfag xg axa故()gx在xa处连续。三、（10 分）解：1、22(1)yx2、设曲线上有点2(,2(1)P xx，而OP的方程为：22(1)yxYXXxx，则所求面积为：122302(1)41()2(1)33xxxS xXdXXdXxxx3、341()coscos33S ttt，2()sin(1cos)S ttt2()cos(3cos1)S ttt，令2214()0cos,sin33Sttt14,33xyddtS取得最大值时点P的坐标；14(,)33P四、（15 分）解：定义域为：(,3)(3,)U2(1)(3)(3)xxyx令0y驻点1,3x38(3)yxx(,1)1(1,3)3(3,5)5(5,)y+y+y单增极大值点单减单减极小值点单增)(xfy上凸上凸下凸下凸1）故单调增加区间为：(,1)、(5,)单调减少区间为：(1,3),(3,5)极小值为：(5)10f，极大值(1)2f。2）下凸区间为：(3,)上凸区间为：(,3)由323lim(1)xxx，故3x为函数图形的铅直渐近线。又()lim1xf xxlim()3xf xx故3yx为函数图形的斜渐近线。五、（9 分）解：1、设00()()d()dxxF xf ttf tt，,xl l应用拉格朗日中值定理有：00()d()d()()xxf ttf ttx fxfx2、由 1、所以002()d()d()()22xxf ttf ttfxfxxx因此00200()d()d()()(0)limlim422xxxxf ttf ttf xfxfxx00()()lim(0)lim2xxfxfxfx故01lim2x
