2020届高三开学摸底大联考山东卷数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 20 页2020 届高三开学摸底大联考山东卷数学试题一、单选题1已知集合|31Axx，集合2|2Bx yx，则AB（）A2,1B2,1C3,2D3,2【答案】D【解析】由题意|22Bxx，再由集合并集的概念直接计算即可得解.【详解】由题意22|2|20|22Bx yxxxxx，所以|31|3|2223,2xxABxxxx故选：D.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法和集合并集的运算，属于基础题.2函数1sinfxxxx的图象大致为（）ABCD【答案】A【解析】由函数fx的性质对比各选项图象的特征，逐项排除即可得解.【详解】由11sinsinfxxxxxfxxx，第 2 页 共 20 页函数1sinfxxxx为偶函数，排除选项B，C；当0,2x，0fx，排除选项D故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的识别，关键是验证各选项的差异，属于基础题.3已知圆锥的底面半径为1，高为3，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上下两部分，在原来圆锥的表面上任取一点A，则点A在圆锥上半部分的概率为（）A16B23C12D15【答案】A【解析】由题意计算出圆锥侧面积和底面积，再计算出圆锥上半部分的面积，根据几何概型概率的求解即可得解.【详解】由题意圆锥的母线长为2312，该圆锥侧面积为12222，底面积为21，圆锥上半部分的面积为1121222，所求概率1226p故选：A.【点睛】本题考查了圆锥的特征和几何概型概率的求解，属于基础题.4已知 P 为圆2211xy上任一点，A，B 为直线l：3470 xy上的两个动点，且3AB，则PAB面积的最大值为（）A9B92C3D32【答案】B【解析】计算出圆上点到直线的最远距离为3，利用面积公式即可得解.【详解】第 3 页 共 20 页由题意知圆2211xy的圆心为1,0，半径为1，则圆心到直线的距离为2237372534，所以圆上的点到直线的最大距离为213，所以PABS的最大值为193322故选：B.【点睛】本题考查了圆上点到直线距离最值的求解，考查了转化化归思想，属于基础题.5元代数学家朱世杰编著的算法启蒙 中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（）A1 升B32升C23升D43升【答案】B【解析】由题意得12676aaaa，由等差数列的性质即可直接得解.【详解】设竹子自下而上的各节容米量分别为1a，2a7a，则有12676aaaa，由等差数列的性质可得17423aaa，所以432a故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.6已知偶函数fx在0,上减函数，若31log10af，13log 4bf，0.53cf，则a，b，c的大小关系为（）AcbaBbacCabcDcab【答案】C【解析】由偶函数的性质可得331loglog 1010ff，133log 4log 4ff，比较3log 10、3log 4、0.53的大小后，根据函数的单调性即可得解.第 4 页 共 20 页【详解】fx为偶函数，在0,上为减函数，33311logloglog 101010fff，11333log4log 4log 4fff，由函数3xy的单调性可得0.500331，由函数3logyx的单调性可得331log 4log 10，0.533031log 4log 10，1330.51log 4l3og10fff即abc.故选：C.【点睛】本题考查了函数奇偶性和单调性的应用，考查了指数和对数式的大小比较，属于中档题.75102221xxxx的展开式中，含7x项的系数为（）A100B 300C500D110【答案】A【解析】转化条件得510520222211xxxxxxx，则可写出其通项公式30115201krkrkrkTTC Cx，通过分别给r、k赋值令23rk，即可得解.【详解】由题意510520222211xxxxxxx，则其通项公式为：5302201152052011rkkrkrrkkrkrkTTCxxC xC Cx，其中05r，020k，则23rk，所以可取3r，20k，此时20320520110C C；4r，19k，此时194195201100C C；=5r，18k，此时185185201190C C；所以7x项的系数为10100190100故选：A.第 5 页 共 20 页【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了计算能力和分类讨论思想，属于中档题.8若 tan2，则2sin 2cos（）A1B-1C2D-2【答案】A【解析】由题意2222cos2sincoscossin 2sincos，利用商数关系即可得解.【详解】由题意2222cos2sincoscossin 2sincos2212 tan1221tan121.故选：A.【点睛】本题考查了三角函数的以值求值，考查了商数关系和平方关系的应用，属于基础题.9双曲线C：222210,0 xyabab，1F，2F为其左?右焦点，线段2F A垂直直线byxa，垂足为点A，与C交于点 B，若2F BBA，则C的离心率为（）A2B 2C3D3【答案】A【解析】由题意2,0Fc，2F A所在的直线方程为ayxcb，求出点2,aabAcc，进而求得22,22caabBcc，代入双曲线的方程化简后得222ca，利用22cea即可得解.【详解】由题意2,0Fc，线段2F A垂直直线byxa，2F Aakb，2F A所在的直线方程为ayxcb，与直线byxa的交点为2,aabAcc，2F BBA，B 为线段2F A的中点，第 6 页 共 20 页22,22caabBcc，代入双曲线方程得2222222222244aca bbaa bcc，得222ca，222cea故选：A.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解，考查了计算能力，属于中档题.10如图，棱长为2 的正方体1111ABCDA B C D中，点 E、F 分别为AB、11A B的中点，则三棱锥FECD的外接球体积为（）A414B43C41 4164D41 4148【答案】D【解析】三棱锥FECD的外接球即为三棱柱11FC DECD的外接球，三棱柱外接球的球心为MN的中点设为点O，利用勾股定理解得半径得到答案.【详解】如图所示：在正方体1111ABCDA BC D中，连接11,FCFD，三棱锥FECD的外接球即为三棱柱11FC DECD的外接球，在ECD中，取CD中点 H，连接EH，则EH为边CD的垂直平分线，所以ECD的外心在EH上，设为点M，同理可得11FC D的外心 N，连接MN，则三棱柱外接球的球心为MN的中点设为点O，由图可得，2222EMCMCHMH，又2,1MHEM CH，可得54EMCM，所以2222514OCMOCM，解得414OC，第 7 页 共 20 页所以344141 413448V.故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥外接球问题，转化为三棱柱的外接球是解题的关键.二、多选题11已知i为虚数单位，则下面命题正确的是（）A若复数3iz，则131010izB复数z满足21zi，z在复平面内对应的点为,x y，则2221xyC若复数1z，2z满足21zz，则120z zD复数1 3zi的虚部是3【答案】ABC【解析】直接运算可判断A；由复数的几何意义和复数模的概念可判断B；由共轭复数的概念，运算后可判断C；由复数虚部的概念可判断D；即可得解.【详解】由11333i3i3i1010iiz，故 A 正确；由 z在复平面内对应的点为,x y，则221zixyi，即2221xy，第 8 页 共 20 页则2221xy，故 B 正确；设复数1zabi，则2zabi，所以21220abiabzbiza，故 C 正确；复数13zi的虚部是-3，故 D 不正确.故选：A、B、C【点睛】本题综合考查了复数的相关问题，属于基础题.12下面四个结论正确的是（）A向量,0,0a b ab，若ab，则0a bB若空间四个点P，A，B，C，1344PCPAPB，则A，B，C三点共线C已知向量1,1,ax，3,9bx，若310 x，则,a b为钝角D任意向量a，b，c满足a bcab cr rrrr r【答案】AB【解析】由向量垂直的充要条件可判断A；由题意11334444PCPAPBPC，即可判断 B；举出反例可判断C；由向量的数量积运算不满足结合律可判断D.即可得解.【详解】由向量垂直的充要条件可得A 正确；1344PCPAPB，11334444PCPAPBPC即3ACCB，A，B，C三点共线，故B 正确；当3x时，两个向量共线，夹角为，故 C 错误；由于向量的数量积运算不满足结合律，故D 错误故选：A、B【点睛】本题考查了向量垂直的判定、利用向量证明点共线和向量数量积的应用，属于基础题.13在下列命题中正确命题是（）A长方体的长?宽?高分别为a?b?c，则长方体外接球的表面积为222abcB函数sin 43yx图象的一个对称中心为点5,024C若函数fx在R上满足1fxf x，则fx是周期为2 的函数第 9 页 共 20 页Dm，n表示两条不同直线，表示两个不同平面若m，/n且，则/mn【答案】AC【解析】由长方体外接球的半径可判断A；代入524x判断 y 的值即可判断B；由1 11fxfxfx可判断 C；由线面和面面位置关系可判断D；即可得解.【详解】长方体外接球的半径2222abrc，则其外接球的表面积为2222222444abcaScrb，故 A 正确；当524x，sin 4sin132yx，所以5,024不是对称中心，故B 错误；由函数fx在R上满足1f xf x，则111fxfxfx即2fxfx，则fx是周期为2 的函数，故C 正确；若m，/n且，m，n不一定平行，也可以异面及相交，故D 错误.故选：A、C【点睛】本题综合考查了长方体外接球的性质、三角函数对称中心的求解、函数周期性的判断和线面、面面位置关系的应用，属于中档题.三、填空题14在一次考试后，为了分析成绩，从1，2，3 班中抽取了3 名同学(每班一人)，记这三名同学为A?B?C，已知来自2 班的同学比B 成绩低，A与来自 2 班的同学成绩不同，C的成绩比来自3 班的同学高由此判断，来自1 班的同学为 _【答案】B【解析】由题意先确定C 来自 2 班，再根据“来自 2 班的同学比B 成绩低，C的成绩比来自 3 班的同学高”，即可得解.【详解】由题，B 不是来自2 班，A不是来自 2 班，所以C来自 2 班，第 10 页 共 20 页又 B 的成绩比来自2 班的同学高，C的成绩比来自3 班的同学高，所以 B 不能来自 3 班，只能来自1 班.故答案为：B.【点睛】本题考查了简单的逻辑推理的应用，属于基础题.15设函数322fxxaxax若fx的图像关于原点0,0对称，则曲线yfx在点1,3处的切线方程为_【答案】520 xy【解析】由fx的图像关于原点0,0对称可得0a，由导数的几何意义可知切线的斜率为15f，求得13f后利用点斜式即可得解.【详解】由题知fx为奇函数，可得11ff即233a，则0a，32fxxx，232fxx，1325f，13f，切线方程为351yx即520 xy故答案为：520 xy.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用和导数几何意义的应用，属于基础题.16已知函数2312logfxxx，且321faf，则实数a的取值范围为_【答案】1,1,3【解析】由题意fx为偶函数且在0,上单调递增，转化条件得321a，解不等式即可得解.【详解】由题可得22331122loglogfxxxxxfx，第 11 页 共 20 页fx为偶函数，又 当0,x时，2233122loglogfxxxxxfx在0,上单调递增，321321fafa，解得13a或1a故答案为：1,1,3.【点睛】本题考查了函数奇偶性和单调性的综合应用，考查了含绝对值不等式的解法和转化化归思想，属于中档题.172sinsin3cosfxxxx，则fx的最小正周期是_，在区间,66上的最大值是 _【答案】2【解析】化简得2sin216fxx，利用2T即可得周期；由,66x可得2,626x，即可求得fx的最大值；即可得解.【详解】由题意1cos22sinsin3 cos23 sin22sin2126xfxxxxxx，fx最小正周期为22T，当,66x时，2,626x，当266x时，fx取最大值max12122fx故答案为：，2.【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用和三角函数图象的应用，属于中档题.第 12 页 共 20 页四、解答题18在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinsinsinacAcABbB（1）求 B；（2）若8ac，三角形的面积4 3ABCS，求b【答案】（1）3（2）4【解析】（1）由题意结合正弦定理得222acbac，再由余弦定理可得1cos2B，即可得解；（2）由（1）结合三角形面积公式可得16ac，则利用余弦定理可得22222cos3bacacBacac，计算即可得解.【详解】（1）由sinsinsinacAcABbB得sinsinsinacAcCbB，由正弦定理得22acacb即222acbac，222122acbac，1cos2B，由0,B可得3B（2）由（1）知3B，则1sin4 32ABCSacB，解得16ac，又8ac，22222cos316bacacBacac，解得4b【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题.19已知数列na满足11a，*131nnnananN（1）证明数列nan为等比数列并求na的通项公式；（2）求数列na的前n项和nS【答案】（1）证明见解析，13nnan（2）21314nnnS第 13 页 共 20 页【解析】（1）对递推公式变形得131nnaann，由111a即可证明数列nan为等比数列，求出数列nan的通项公式后即可得na的通项公式；（2）由13nnan，利用错位相减法即可直接得解.【详解】（1）131nnnana，131nnaann，设nnabn，13nnbb又11a，11b，数列nan是首项为1，公比为 3 的等比数列，13nnnanb，13nnan（2）012211 32 33 3133nnnSnn12313332 33 3133nnnSnn-得，121213333nnnSn，21313312444nnnnnnS【点睛】本题考查了等比数列的证明和数列通项的求解，考查了错位相减法求数列前n 项和的应用，属于中档题.20如图所示的多面体的底面ABCD为直角梯形，四边形DCFE为矩形，且DEBC，ADDC，ADAB，122ABADDECD，M，N，P 分别为EF，BF，BC的中点（1）求证：BC 平面MNP；（2）求直线MN与平面BCF所成角的余弦值第 14 页 共 20 页【答案】（1）答案见解析（2）33【解析】（1）先证明PN 平面ABCD，可得PNBC，取CD中点 H，利用等腰三角形的性质可得HPBC，由线面垂直的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，再求出平面BCF的一个法向量n和直线MN的方向向量MN，求出两向量夹角的余弦值后利用平方关系即可得解.【详解】（1）证明：P，N分别为BC，BF的中点，/PNCFDE，四边形EDCF为矩形，DECD，又DEBC，BCCDC，BC，CD平面ABCD，DE平面ABCD，PN 平面ABCD，PNBC，取CD中点 H，连接PH，BH，MH，则/MHCFPN，点M，N，P，H同在平面MNP内在BHC中，2BHAD，2CHCDAB，P 为BC中点，HPBC，又PNHPP，PN，HP平面MNP，BC 平面MNP（2）由（1）知AD，DE，CD三条直线两两垂直且交于点D，以D为原点，DA，DC，DE分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，如图则2,2,0B，0,4,0C，0,0,2E，0,4,2F，M，N分别为EF，BF中点，可得0,2,2M，1,3,1N，2,2,2BF，2,2,0BC，1,1,1MN，设平面BCF的一个法向量为,nm n p，则00n BCn BF，即2202220mnmnp，令1m，可得1n，0p，1,1,0n，所以6cos,3n MNn MNn MN所以MN与平面BCF所成角的余弦值为263133.第 15 页 共 20 页【点睛】本题考查了线面垂直的判定和利用空间向量求线面角，属于中档题.21已知椭圆C：222210 xyabab的离心率32e，椭圆的左焦点为1F，短轴的两个顶点分别为1B?2B，且11122F BF B（1）求椭圆C的标准方程（2）若过左顶点A作椭圆的两条弦AM?AN，且0AMANuuu r uuu r，求证：直线MN与x轴的交点为定点【答案】（1）2214xy（2）答案见解析【解析】（1）由题意32ca、222cb、222cab，解方程组求出24a，21b，即可得解；（2）设直线AM方程为2yk x，联立方程组得222284,1 414kkMkk，222284,44kkNkk，则直线MN的方程为222245284444kkkyxkkk，令0y得65x，即可得证.【详解】（1）设1,0Fc，10,Bb，20,Bb，由题意，32ca221112,2F BF Bc bcbcb又222cab第 16 页 共 20 页由得：24a，21b，所以椭圆方程为：2214xy（2）证明：由题可知：0,2A，直线AM，AN斜率存在且不为零，设直线AM斜率为k，则直线AN斜率为1k，设直线AM方程为2yk x，与椭圆方程联立得222440yk xxy，得：222214161640kxk xk方程的一根为-2，设,MMMxy，则22164214Mkxk，得222814Mkxk，所以2MMyk x，得2414Mkyk，得222284,1414kkMkk，同理可得(将k换为1k)得222284,44kkNkk，则3222242244202014428281616144MNkkkkkkkkkkkk2222011611k kkk2544kk，所以直线MN的方程为222245284444kkkyxkkk，令0y，则22222216 12862445454kkkxkkk22646554kk所以，直线MN与x轴的交点为定点6,05【点睛】本题考查了椭圆方程的求解，考查了与椭圆相关的定点问题，考查了计算能力，属于中档题.22函数ln1fxxaxaR（1）试讨论函数fx的单调性；（2）若3a，证明：1fxefx(e为自然对数的底数)【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析第 17 页 共 20 页【解析】（1）求导得afxxx，根据0a、0a分类讨论，求出0fx与0fx的解集即可得解；（2）令3lnxxt，求导得33ln 3,t，令1th tet，求导得h t在0t时取得极小值，即为最小值，可得00h th，即可得证.【详解】（1）fx的定义域为0,，1axafxxx，当0a时，0fx，fx在0,单调递增当0a时，0,xa时，0fx，fx单调递减，当,xa时，0fx，fx单调递增综上，当0a时fx在0,单调递增；当0a时，0,xa时，fx单调递减，当,xa时，fx单调递增（2）3a，110fxfxefxefx，即3ln3ln10 xxexx，设3lnxxt，则3310 xxxtx，当03x时，0t，当3x时，0t，当3x时，0t，所以t在3x时取得极小值，即为最小值33ln 3，所以33ln 3,t.令1th tet，33ln 3,t，则1th te，当33ln 3,0t时，0h t，当0t时，0h t，当0,t时，0h t，所以h t在0t时取得极小值，即为最小值所以00h th即1tet，所以1f xefx恒成立【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性和证明不等式，考查了换元法的应用，属于中档题.第 18 页 共 20 页23 自 2017 年起，全国各省市陆续实施了新高考，许多省市采用了“33”的选科模式，即：考生除必考的语?数?外三科外，再从物理?化学?生物?历史?地理?政治六个学科中，任意选取三科参加高考，为了调查新高考中考生的选科情况，某地调查小组对某中学进行了一次调查，研究考生选择化学与选择物理是否有关已知在调查数据中，选物理的考生与不选物理的考生人数相同，其中选物理且选化学的人数占选物理人数的45，在不选物理的考生中，选化学与不选化学的人数比为1:9（1）若在此次调查中，选物理未选化学的考生有100 人，将选物理且选化学的人数占选化学总人数的比作为概率，从该中学选化学的考生中随机抽取4 人，记这 4 人中选物理且选择化学的考生人数为Y，求Y的分布列(用排列数?组合数表示即可)和数学期望（2）若研究得到在犯错误概率不超过001 的前提下，认为选化学与选物理有关，则选物理且选化学的人数至少有多少？(单位：百人，精确到001)附：22n adbcKabcdacbd，其中nabcd20P Kk01000050001000010k27063841663510828【答案】（1）分布列见解析，数学期望为329（2）至少 537 人【解析】（1）分别计算出选物理且选化学和选化学不选物理的人数，利用超几何分布的性质即可得分布列和期望，即可得解；（2）设选物理又选化学的人数为x，列出联表，计算出2245198Kx，令26.635K解不等式即可得解.【详解】（1）由题意列联表如图：选化学不选化学合计(人数)选物理400100500不选物理50450500合计(人数)4505501000第 19 页 共 20 页所以45044500P XCC，134005044501CCCP X，224005044502CCCP X，314005044503CCCP X，440044504P XCC，则分布列为Y01234P4504450CC13400504450CCC22400504450CCC31400504450CCC44004450CC由题意选物理且选化学的人数占选化学总人数的比为89，且Y符合超几何分布，所以832499E Y（2）设选物理又选化学的人数为x，则列联表如下：选化学不选化学合计(人数)选物理x14x54x不选物理18x98x54x合计(人数)98x118x52x所以：22225912452832559111984488xxxKxxxxx在犯错误概率不超过0.01 的前提下，则26.635K，即2456.635198x，即：5.37x所以选物理又选化学的人数至少有5.37(百人)，即至少537 人第 20 页 共 20 页【点睛】本题考查了超几何分布的应用，考查了相关性检验的应用，考查了计算能力，属于中档题.