2020届高考数学例解互斥事件.pdf
2020届高考数学例解互斥事件例 1今有标号为1、2、3、4、5 的五封信，另有同样标号的五个信封，现将五封信任意地装入五个信封中，每个信封一封信，试求至少有两封信与信封标号一致的概率分析：至少有两封信与信封的标号配对，包含了下面两种类型：两封信与信封标号配对；3 封信与信封标号配对；4 封信与信封标号配对，注意：4 封信配对与5 封信配对是同一类型现在我们把上述三种类型依次记为事件321AAA、，能够看出321AAA、两两互斥，记至少有两封信与信封标号配对为事件A，事件A发生相当于321AAA、有一个发生，因此用公式)()()()(321APAPAPAP能够运算)(AP.解：设至少有两封信配对为事件A，恰好有两封信配对为事件1A，恰有 3 封信配对为事件2A，恰有 4 封信 也确实是5 封信配对为事件3A，那么事件A等于事件321AAA，且321AAA、事件为两两互斥事件，因此)()()()(321APAPAPAP5 封信放入5 个不同信封的所有放法种数为55A，其中正好有2 封信配对的不同结果总数为.225C正好有 3 封信配对的不同结果总数为.35C正好有 4 封信 5 封信全配对的不同结果总数为1，而且显现各种结果的可能性相同，.12031)()()()(,1201)(,121)(,61)2()(32135535255251ApAPAPAPAPACAPACAP讲明：至少有两封信与信封配对的反面是全不配对和恰好有1 封信配对，然而配对越少，运算该结果的所有方法总数越困难，即运算该事件的概率越不方便现在把咨询题改为运算至多两封信与信封标号配对的概率是多少？我们转化为求其对立事件的概率就简单得多，它的对立事件为3 封信配对或4 封信即5 封配对，得到其结果的概率为120109)1(1555535AAC，在运算事件的概率时有时采纳正难那么反的逆向思维方法，直截了当运算事件的概率比较难，而运算其对立事件的概率比较容易时可采纳这种方法典型例题七例 7射手张强在一次射击中射中10 环、9 环、8 环、7环、7 环以下的概率分不为24.0，28.0，19.0，16.0，13.0运算那个射手在一次射击中：(1)射中 10 环或 9 环的概率；(2)至少射中7 环的概率；(3)射中环数不足8 环的概率分析：射中 10 环，射中9 环，射中7环以下是彼此互斥事件，可运用事件的和的概率公式求解解：设射中10 环、射中9 环、射中8 环、射中7 环、射中7 环以下的事件分不为A、B、C、D、E，那么(1)52.028.024.0)()()(BPAPBAP，因此射中 10 环或 9 环的概率为52.0(2)(DCBAP)()()()(DPCPBPAP87.016.019.028.024.0，因此至少射中7 环的概率为87.0(3)29.013.016.0)()()(EPDPEDP，因此射中环数不足8 环的概率为29.0讲明：公式)()()(BPAPBAP只有在A、B两事件互斥时才使用，假如A、B两事件不互斥，就不能应用这一公式，一定要注意)()()(BPAPBAP这一公式应用的前提是A、B两个事件互斥典型例题三例 3有 4 个红球，3 个黄球，3 个白球装在袋中，小球的形状、大小相同，从中任取两个小球，求取出两个同色球的概率是多少？分析：与倒 2 中取球方式不同的是，从中取出两球是不放回的取出处理上，例 2是分步取球，先取哪个后取哪个是有区不地对待，而本例中，只要搞清是取的什么球，直截了当用组合数列式取出两个同色球能够分成下面几个类型：两个红球；两个黄球；两个白球解：从 10 个小球中取出两个小球的不同取法数为,210C从中取出两个红球的不同取法数为，其概率为,21024CC从中取出两个黄球的不同取法数为，其概率为,21023CC从中取出两个白球的不同取法数为，其概率为,21023CC因此取出两个同色球的概率为：.154210232102321024CCCCCC讲明：此题求取出两个同色球的概率，对结果比较容易分类，假如换上取出3 个球，至少两个同颜色，如此的咨询题分类相对就比较复杂，在此我们不一一列出，但考虑其反面，对立事件为取出3 个球，颜色全不相同，对立事件的概率比较容易算出取出3个 球，颜 色 全 不 相 同 的 所 有 不 同 取 法 数 为36334 种 ，对 立 事 件 的 概 率 为453636210C，因此取出3 个球，至少两个同颜色的概率为：.2.045361典型例题九例 9小明的袋中放有3 个伍分硬币、3 个贰分硬币和4 个壹分硬币，从中任取3 个，求总数超过8 分的概率分析 1：视其为互斥事件，进而求概率解法 1：(1)记总数超过8 分为事件A，它包括以下四种情形：取到3 个伍分硬币记为事件1B；取到2 个伍分硬币和1 个贰分硬币为事件2B；取到2个伍分硬币和1 个壹分硬币为事件3B；取到个伍分硬币和2 个贰分硬币为事件4B1201)(310331CCBP，1209)(31013232CCCBP，12012)(31014233CCCBP，1209)(31023134CCCBP依照题意，1B、2B、3B、4B彼此互斥，故所求概率)()(4321BBBBPAP)()()()(4321BPBPBPBP12031分析 2：视其为等可能事件，进而求概率解法 2：从 10 个硬币中取3 个，共有310C种不同方法 总数超过8 分的共有以下四种情形：取 3 个伍分硬币，共有33C种方法；取 2 个伍分硬币和1 个贰分硬币，共有1323CC种方法；取2 个伍分硬币和1 个壹分硬币，共有1423CC种方法；取个伍分硬币和2 个贰 分 硬 币，共 有2313CC种 不 同 方 法，因 此 总 数 超 过8分 共 有3123131423132333CCCCCCC种方法总数超过8 分的概率为12031讲明：复杂的等可能事件的概率可化为彼此互斥的简单事件来求，要注意分类的不重、不漏典型例题二例 2袋中装有红、黄、白3 种颜色的球各1 只，从中每次任取1 只，有放回地抽取3次，求：1 3 只全是红球的概率，2 3 只颜色全相同的概率，3 3 只颜色不全相同的概率，4 3 只颜色全不相同的概率分析：有放回地抽3 次的所有不同结果总数为33，3 只全是红球是其中的1 种结果，同样 3 只颜色全相同是其中3 种结果，全红、全黄、全白，用求等可能事件的概率方式能够求它们的概率 3 种颜色不全相同包含的类型较多，而其对立事件为三种颜色全相同却比较简单，因此用对立事件的概率方式求解3 只颜色全不相同，由因此一只一只地按步取出，相当于三种颜色的一个全排列，其所有不同结果的总数为33A，用等可能事件的概率公式求解解：有放回地抽取3 次，所有不同的抽取结果总数为：3 只全是红球的概率为,2713 只颜色全相同的概率为.912733 只颜色不全相同的对立事件为三只颜色全相同故 3 只颜色不全相同的概率为,989113 只颜色全不相同的概率为.2763333A讲明：假如 3 种小球的数目不是各1 个，而是红球3 个，黄球和白球各两个，其结果又分不如何？第一抽3 次的所有不同结果总数为37，全是红球的结果总数为33，因此全是红球的概率为343277333，同样全是黄球的概率为3438，全是白球的概率也是3438，因此3 只球颜色全相同的概率为上述三个事件的概率之和，243432438243824327，三种颜色不全相同为三种颜色全相同的对立事件，其概率为.2432002434313 只小球颜色全不相同能够明白得为三种颜色的小球各取一只，然后再将它们排成一列，得到抽取的一种结果，其所有不同结果总数为7222333A种，因此 3 只小球颜色全不相同的概率为.24372典型例题五例 5判定以下各对事件是否是互斥事件，并讲明道理某小组有 3 名男生和2 名女生，从中任选2 名同学去参加演讲竞赛，其中(1)恰有 1 名男生和恰有2 名男生；(2)至少有一名男生和至少有一名女生；(3)至少有一名男生和全是男生；(4)至少有 1 名男生和全是女生分析：判定两个事物是否为互斥事件，确实是考察它们能否同时发生，假如不能同时发生，那么是五斥事件，不然就不是互斥事件解：(1)是互斥事件道理是：在所选的2 名同学中，恰有 1 名男生实质是选出的是一名男生和一名女生，它与恰有两名男生，不可能同时发生，因此是一对互斥事件(2)不可能是互斥事件道理是：至少有1 名男生包括1 名男生、1 名女生和两名差不多上男生两种结果至少有1 名女生包括1 名女生、1 名男性和两名差不多上女生两种结果，它们可同时发生(3)不可能是互斥事件道理是：至少有一名男生包括一名男生、一名女生和两名差不多上男性，这与全是男生，可同时发生(4)是互斥事件道理是：至少有1 名男生包括1 名男生、1 名女生和两名差不多上男生两种结果，它和全是女生不可能同时发生小结：互斥事件是概率知识中重要概念，必须正确明白得(1)互斥事件是对两个事件而言的假设有A、B两个事件，当事件A发生时，事件B就不发生；当事件B发生时，事件A就不发生即事件A、B不可能同时发生，我们就把这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件否那么就不是互斥事件(2)对互斥事件的明白得，也能够从集合的角度去加以认识假如A、B是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A、B这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交假如事件nAAA,21中的任何两个差不多上互斥事件，那么称事件nAAA,21彼此互斥，反映在集合上，表现为由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交典型例题八例 8玻璃球盒中装有各色球12 只，其中 5 红、4 黑、2 白、1 绿，求从中取1 球：(1)红或黑的概率；(2)红或黑或白的概率分析 1：视其为等可能事件，进而求概率解法 1：(1)从 12 只球中任取1 球得红球有5 种取法，得黑球有4 种取法，得红球或黑球共有945种不同取法，任取一球有12种取法，任取 1 球得红球或黑球的概率得431291P(2)从 12 只球中任取1 球得红球有5 种取法，得黑球有4 种方法，得白球有2 种取法，从而得红或黑或白球的概率为1211122452P分析 2：视其为互斥事件，进而求概率解法 2：记事件1A：从 12 只球中任取1 球得红球；2A：从中任取1 球得黑球；3A：从中任取1 球得白球；4A：从中任取1 球得绿球，那么125)(1AP，124)(2AP，122)(3AP，121)(4AP依照题意，1A、2A、3A、4A彼此互斥，由互斥事件概率得(1)取出红球或黑球的概率为43124125)()()(2121APAPAAP；(2)取出红或黑或白球的概率为1211122124125)()()()(321321APAPAPAAAP分析 3：应用对立事件求概率解法 3：(1)由思路2，取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球，即21AA的对立事件为43AA，取出红球或黑球的概率为)()(1)(1)(434321APAPAAPAAP431291211221(2)321AAA的对立事件为4A12111211)(1)(4321APAAAP即为所求讲明：(1)互斥和对立事件容易搞混互斥事件是指指事件不能同时发生，对立事件是指互斥的两事件中必有一个发生(2)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率典型例题六例 6判定以下给出的每对事件，(1)是否为互斥事件，(2)是否为对立事件，并讲明道理从扑克 40 张(红桃、黑桃、方块、梅花点数从110 各 10 张)中，任取一张(1)抽出红桃与抽出黑桃；(2)抽出红色牌与抽出黑色色牌；(3)抽出的牌点数为5 的倍数与抽出的牌点数大于9”解：(1)是互斥事件，不是对立事件道理是：从40 张扑克牌中任意抽取1 张，抽出红桃和抽出黑桃是不可能同时发生的，因此是互斥事件，同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出方块或者梅花，因此，二者不是对立事件(2)既是互斥事件，又是对立事件道理是：从40 张扑克牌中，任意抽取1 张抽出红色牌与抽出黑色色牌，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件(3)不是互斥事件，因此不可能是对立事件道理是：从40 张扑克牌中任意抽取1 张抽出的牌点数为5 的倍数与抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得10，因此，二者不是互斥事件，因此不可能是对立事件讲明：互斥事件和对立事件差不多上就两个事件而言的，互斥事件是不可同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也确实是讲互斥事件是对立事件的必要但不充分的条件对立事件是互斥事件的充分不必要条件典型例题十例 10同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5 点或 6 点的概率分析 1：视其为等可能事件，进而求概率解法 1：同时投掷两枚骰子，可能结果如下表：共有 36 个不同的结果，其中至少有一个5 点或 6 点的结果有20 个，因此至少有一个5点或 6 点的概率为953620P分析 2：利用对立事件求概率解法 2：至少有一个5 点或 6 点的对立事件是没有5 点或 6 点如上表，没有5点或 6点的结果共有16 个，没有5 点或 6 点的概率为943616P至少有一个5 点或 6 点的概率为95941下面再给出一种解法此解法可在下一节学完后，再学习分析 3：利用公式)()()()(BAPBPAPBAP解法 3：记事件A：含有点数为5 的事件B：含有点数为6 的明显A、B不是互斥事件3611)(AP，3611)(BP，362)(BAP至少有一个5 点或 6 点的概率为)()()()(BAPBPAPBAP953620362362236236113611讲明：(1)此题常显现的错误有两类：一类是不符合题意的臆想，含5 的有 6 个，含6的有 6 个，至少有一个5 或 6 的有 12 个，从而所求概率为3136123666；另一类是没有搞清晰A、B是否为互斥事件，直截了当利用公式3622)()()(BPAPBAP(2)解题时，将所有差不多事件全部列出是幸免重复和遗漏的有效方法；关于用直截了当法难于解决的咨询题，可求其对立事件的概率，进而求得概率，以降低难度典型例题十一例 11 一批产品共100件，其中5件是废品，任抽10件进行检查，求以下事件的概率(1)10件产品中至多有一件废品；(2)10件产品中至少有一件废品分析：10件产品中恰有5,4,3,2,1,0件废品是互斥事件，可用概率加法公式解：设iA为事件10件产品中恰有i件废品，其中5,4,3,2,1,0i，易知iA(5,1,0i)为彼此互斥事件(1)设iA为事件10件产品中至多有1件废品，那么有10AAA，又由于0A与1A互斥，因此)()()()(1010APAPAAPAP923.0101009951510100109505CCCCCC(2)(法1)设B为 事 件 10件 产 品 中 至 少 有1件 废 品 ，那 么 有54321AAAAAB，而且521,AAA彼此互斥，因此)()(54321AAAAAPBP)()()()()(54321APAPAPAPAP416.010100595551010069545101007953510100895251010099515CCCCCCCCCCCCCCC(法 2)由于B的对立事件为10件产品中无废品，即0AB，)(1)(1)(0APBPBP416.0110100109505CCC讲明：抽查产品咨询题与模球咨询题类似，是一类典型咨询题，应予以专门好地明白得和把握(1)至多有一件废品的意义是能够有一件废品，也能够没有废品，即1m 又Nm，1,0m，其 反 面 是 有2件 以 上 废 品 ，即2m 故5,4,3,2m 至少有一件废品的意义是能够一件废品、能够有两件废品，能够有五件废品，即1m，故5,4,3,2,1m，其反面是没有废品，即0m故0m 要正确明白得至多、至少的含义，有时直截了当解简单，而有时用其反而去解简单(2)注意求概率的直截了当法和间接法两种思路典型例题十三例 13 学校文娱队员唱歌、跳舞至少会一项，会唱歌的有5人，会跳舞的有7人，现从中选3人，且至少有一位既会唱歌又会跳舞的概率是216，咨询该文娱队有多少人？分析：可选设既会唱歌又会跳舞的人数为x，那么该队的队员人数为)75(x人如下图解：设该队既会唱歌又会跳舞的人有x名，那么该队队员的人数为)212(x名，只会唱歌的人有x5人，只会跳舞的人有x7人，从中选出3人，记A为事件至少有一位既会唱歌又会跳舞的人，那么A的对立事件A为3人都只会唱歌或只会跳舞3123212)(xxCCAP，21161)(1)(3123212xxCCAPAP215)10)(11)(12()210)(211)(212(xxxxxx解得：3x912x该文娱队共有9人讲明：(1)注意集合元素个数的运算方法：card BA=cardA+cardB-card BA (2)此题中显现了至少一词，可考虑从反而做，因为人数不知，因此从正面做较繁典型例题十二例 12 某战士射击一次，设中靶的概率为95.0令事件A为射击一次、中靶，求：(1)A的概率是多少？(2)假设事件B中靶环数大于5的概率是75.0，那么事件C中靶环数小于6的概率是多少？事件D中靶环数大于0且小于6的概率是多少？分析：(1)易做(2)搞清三个事件B、C、D之间的包含或对立关系解：(1)05.095.01)(1)(APAP(2)由题意，事件B即为中靶环数为10,9,8,7,6环，而事件C为中靶环数为5,4,3,2,1,0环，事件D为中靶环数为5,4,3,2,1环可见B与C是对立事件，而ADC25.075.01)(1)()(BPBPCP又)()()(APDPCP，20.005.025.0)()()(APCPDP讲明：离散型随机变量在某一范畴内取值的概率，往往利用其在不同范畴内发生的互斥性，再依照概率的加法处理例如教材中例题：某地区年降水量在150,100(mm)内的概率是12.0，在200,150(mm)内的概率是25.0，那么该地区年降水量在200,100(mm)内的概率即为37.025.012.0，因为这两个事件是互斥的典型例题四例 4在 9 个国家乒乓球队中有3 个亚洲国家队，抽签分成三组进行竞赛预赛求：1三个组各有一支亚洲队的概率；2至少有两个亚洲国家队在同组的概率分析：9 个队平均分成三组的所有不同的分法总数为33363639)(ACCC，其中每个队有一支亚洲国家队的分法数为222426CCC，用等可能事件的概率公式可求其概率至少有两支亚洲国家队在同一小组可分成两类：恰好有两支亚洲国家队在同一组；三支亚洲国家队在同一组分不运算它们的概率然后相加此外，我们也能够先运算其对立事件的概率，而其对立事件为 3 支亚洲国家队不在同一组，实际上两小题的事件互为对立事件解：1所有的分组结果是等可能的，9 支队平均分成3 组的不同分法数为：280)(33333639ACCC种 其中三个组各有一支亚洲队，能够看成其它6 支队中任取2 支队与第1 个亚洲队合为一组，剩下4 支队任取2 支与第 2 个亚洲队一组，最后2 支队与第2、3 支亚洲队一组，所有不同的分法数为902426CC种。因此三个组各有一支亚洲队的概率为.289280902方法 1：至少有两支亚洲队在同一组分为两类：恰好两支亚洲国家队在一组，概率为;2818280)(251623CCC三支亚洲国家队在同一组的概率为.28192812818方法 2：至少有两支亚洲在同一组的对立事件为三个组各有一支亚洲队。由 1可得，至少有两支亚洲队在同一组的概率为：.28192891
