2021届高三数学(理)“大题精练”(20200816024425).pdf
第 1 页 共 11 页2021 届高三数学（理）“大题精练”17已知数列na的前 n 项和1nnSa，其中0（1）证明na是等比数列，并求其通项公式；（2）若53332S，求18 为推进“千村百镇计划”，2018年4月某新能源公司开展“电动莆田绿色出行”活动，首批投放200台P型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月试用到期后，为了解男女试用者对P型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表（满分为100分）最后该公司共收回600份评分表，现从中随机抽取40份（其中男、女的评分表各20份）作为样本，经统计得到如下茎叶图：（1）求40个样本数据的中位数m；（2）已知40个样本数据的平均数80a，记m与a的最大值为M该公司规定样本中试用者的“认定类型”：评分不小于M的为“满意型”，评分小于M的为“需改进型”请根据40个样本数据，完成下面22列联表：根据2 2列联表判断能否有99%的把握认为“认定类型”与性别有关？为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者按性别用分层抽样的方法，从中抽取8 人进行回访，根据回访意见改进车辆后，再从这 8 人中随机抽取3 人进行二次试用，记这3 人中男性人数为X，求X的分布列及数学期望.第 2 页 共 11 页19如图，正方体1111ABCDA B C D的棱长为2，P 是 BC 的中点，点Q 是棱1CC上的动点（1）点 Q 在何位置时，直线1D Q，DC，AP 交于一点，并说明理由；（2）求三棱锥1BDBQ的体积；（3）棱1CC上是否存在动点Q，使得1DB与平面1AQD所成角的正弦值为5 39，若存在指出点Q 在棱1CC上的位置，若不存在，请说明理由第 3 页 共 11 页20如图，中心为坐标原点O的两圆半径分别为11r，22r，射线OT与两圆分别交于 A、B 两点，分别过A、B 作垂直于x 轴、y 轴的直线1l、2l，1l交2l于点 P（1）当射线OT 绕点 O 旋转时，求P 点的轨迹E 的方程；（2）直线 l：3ykx与曲线 E交于 M、N 两点，两圆上共有6 个点到直线l 的距离为12时，求MN的取值范围21已知函数?(?)=ln(1+?)-?(1+?)1+?.（）若?0时，?(?)0，求?的最小值；（）设数列?的通项?=1+12+13+?+1?，证明：?2?-?+14?ln2.第 4 页 共 11 页22已知曲线C的极坐标方程是1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 经过伸缩变换2xxyy得到曲线E，直线 l：1232txyt（t 为参数）与曲线E 交于 A，B 两点，（1）设曲线C 上任一点为,Mx y，求3xy的最小值；（2）求出曲线E 的直角坐标方程，并求出直线l 被曲线 E 截得的弦 AB 长；23已知函数?(?)=?-|?+4|(?0)，且?(?-2)0的解集为-3,-1（）求?的值；（）若?，?，?都是正实数，且1?+12?+13?=?，求证：?+2?+3?9.第 5 页 共 11 页2021 届高三数学（理）“大题精练”（答案解析）17已知数列na的前 n 项和1nnSa，其中0（1）证明na是等比数列，并求其通项公式；（2）若53332S，求【解】（1）1nnSa,0,0na当2n时,111nnSa,两式相减,得1111nnnnnaaaaa,即11nnaa,0,0na10即1,即11nnaa,（2n）,na是等比数列,公比1q,当1n时,1111Saa,即111a,1111nna；（2）若53332S,则4513311132S,即5331113232,则112,得1318 为推进“千村百镇计划”，2018年4月某新能源公司开展“电动莆田绿色出行”活动，首批投放200台P型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月试用到期后，为了解男女试用者对P型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表（满分为100分）最后该公司共收回600份评分表，现从中随机抽取40份（其中男、女的评分表各20份）作为样本，经统计得到如下茎叶图：（1）求40个样本数据的中位数m；第 6 页 共 11 页（2）已知40个样本数据的平均数80a，记m与a的最大值为M该公司规定样本中试用者的“认定类型”：评分不小于M的为“满意型”，评分小于M的为“需改进型”请根据40个样本数据，完成下面22列联表：根据2 2列联表判断能否有99%的把握认为“认定类型”与性别有关？为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者按性别用分层抽样的方法，从中抽取8人进行回访，根据回访意见改进车辆后，再从这8人中随机抽取3人进行二次试用，记这3 人中男性人数为X，求X的分布列及数学期望.【解】（1）由茎叶图可知：8082812m（2）因为81m，80a，所以81M 由茎叶图值，女性试用者评分不小于81的有15个，男性试用者评分不小于81的有5个，根据题意得22列联表：满意型需改进型合计女性15520男性51520合计202040由于24015 1555106.63520202020K查表得：26.6350.010P K所以有99%的把握认为“认定类型”与性别有关第 7 页 共 11 页 由知，从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法抽出女性2名，男性6名X的所有可能取值为1，2，3则2126386315628C CP XC，122638301525628C CP XC，03263820535614C CP XC所以X的分布列如下：X123P3281528514所以X的数学期望为：315591232828144E X19如图，正方体1111ABCDA B C D的棱长为2，P 是 BC 的中点，点Q 是棱1CC上的动点（1）点 Q 在何位置时，直线1D Q，DC，AP 交于一点，并说明理由；（2）求三棱锥1BDBQ的体积；（3）棱1CC上是否存在动点Q，使得1DB与平面1AQD所成角的正弦值为5 39，若存在指出点Q 在棱1CC上的位置，若不存在，请说明理由【解】（1）当Q是1C C中点时,直线1D Q,DC,AP交于一点第 8 页 共 11 页理由如下：延长AP 交 DC 于 M,连结1D M交1C C于点 Q,CPAD,MCPMDA,12MCCPMDAD1CQD D,1MCQMDD,112CQMCDDMD Q 是1C C中点（2）V 棱锥1BDBQV棱锥111114=8=3323BB QDBBQSCD（3）以 D 为原点,DA,DC,1DD所在直线分别为x 轴,y 轴,z轴,建系则0,0,0D,2,0,0A,12,2,2B,0,2,Q,10,0,2D12,0,2AD,2,2,AQ,12,2,2DB设面1AQD的法向量为,nx y z,则122002200 xzn ADxyzn AQ取2x,2z,2y即2,2,2n设1DB与面1AQD所成角为则11211225 3sincos,912 82n DBn DBn DB化简得2230解得1或32（舍去）第 9 页 共 11 页所以存在点Q,且点Q为1CC的中点20如图，中心为坐标原点O 的两圆半径分别为11r，22r，射线 OT 与两圆分别交于 A、B 两点，分别过A、B 作垂直于x 轴、y 轴的直线1l、2l，1l交2l于点 P（1）当射线OT 绕点 O 旋转时，求P 点的轨迹E 的方程；（2）直线 l：3ykx与曲线 E交于 M、N 两点，两圆上共有6 个点到直线l 的距离为12时，求MN的取值范围【解】设,P x y,OT 与 x 轴正方向夹角为,则cossinxOAyOB即cos2sinxy化简得2214yx,即 P 点的轨迹 E 的方程为2214yx（2）当两圆上有6 个点到直线1 的距离为12时,原点 O 至直线 l 的距离1 3,2 2d,即2133221k,解得21,113k联立方程22314ykxyx得2242 310kxkx设11,Mx y,22,N xy,则1222 34kxxk,12214x xk2222121222212414144kMNkxxx xkkk第 10 页 共 11 页2224 134 144kkk则16 16,135MN21已知函数?(?)=ln(1+?)-?(1+?)1+?.（）若?0时，?(?)0，求?的最小值；（）设数列?的通项?=1+12+13+?+1?，证明：?2?-?+14?ln2.【解】（）由已知?(0)=0，?(?)=(1-2?)?-?2(1+?)2，?(0)=0.若?12，则当 0?0，所以?(?)0.若?12，则当?0时，?(?)0时，?(?)0时，?(?)ln(1+?).取?=1?，则2?+12?(?+1)ln(?+1?).于是?2?-?+14?=(12?+12(?+1)2?-1?=?=2?+12?(?+1)2?-1?=?ln?+1?2?-1?=?=ln2?-ln?=ln2.所以?2?-?+14?ln2.22已知曲线C 的极坐标方程是1，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 经过伸缩变换2xxyy得到曲线E，直线 l：1232txyt（t 为参数）与曲线E 交于 A，B 两点，（1）设曲线C 上任一点为,Mx y，求3xy的最小值；（2）求出曲线E 的直角坐标方程，并求出直线l 被曲线 E 截得的弦 AB 长；【解】（1）根据222xy,进行化简得C：221xy,曲线 C 的参数方程cossinxy（为参数）,第 11 页 共 11 页3cos3 sin2sin6xy,则2 3xy的最小值为2；（2）2xxyy,2xxyy代入 C 得E：2212xy,将直线 l 的参数方程1232txyt（t 为参数）,代入曲线E 方程得：27440tt,121 24747ttt t,212121 28 247ABttttt t23已知函数?(?)=?-|?+4|(?0)，且?(?-2)0的解集为-3,-1（）求?的值；（）若?，?，?都是正实数，且1?+12?+13?=?，求证：?+2?+3?9.【解】（I）依题意?(?-2)=?-|?+2|0,即|?+2|?-?-2?-2+?,?=1（II）方法 1:1?+12?+13?=1(?,?,?0)?+2?+3?=(?+2?+3?)(1?+12?+13?)=3+(?2?+2?)+(?3?+3?)+(2?3?+3?2?)9当且仅当?=2?=3?,即?=3,?=32,?=1时取等号方法 2:1?+12?+13?=1(?,?,?0)由柯西不等式得3=?1?+2?12?+3?1 3?+2?+3?1?+12?+13?整理得?+2?+3?9当且仅当?=2?=3?,即?=3,?=32,?=1时取等号.
