高中数学第3章导数及其应用3.3.2极大值与极小值学业分层测评苏教版.pdf

精品教案可编辑学业分层测评(十八)极大值与极小值(建议用时：45 分钟)学业达标 一、填空题1.函数y2x2x3的极大值为 _；极小值为 _.【解析】y 2x 3x2x(3x 2)，由y 0 得x0 或x23.函数在，23，(0，)上都递减，在 23，0 上递增，所以函数的极大值为f(0)2，极小值为f235027.【答案】2 50272.(2016浏阳高二检测)函数f(x)2xln x(x 0)的极小值为 _.【解析】f(x)2xln x(x0)，f(x)2x21x.由f(x)0 解得x2.当x(0,2)时，f(x)0，f(x)为减函数；当x(2，)时，f(x)0，f(x)为增函数.x2 为f(x)的极小值点，所以函数f(x)2xln x的极小值为f(2)1ln 2.【答案】1ln 23.(2016宿迁高二检测)若函数f(x)x2ax1在x1 处取得极值，则a_.【导学号：24830086】【解析】f(x)x22xax12(x1)，又yf(x)在x1 处取得极值，则f(1)0，解得a 3.【答案】3精品教案可编辑4.(2016浙江瑞安月考)已知函数f(x)x3bx2cx的图象如图3-3-6所示，则x21x22等于 _.图 3-3-6【解析】由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1bc0,84b2c0，解得b 3，c2，所以f(x)x33x22x，所以f(x)3x26x2.x1，x2是方程f(x)3x26x20 的两根，因此x1x22，x1x223，所以x21x22(x1x2)22x1x244383.【答案】835.函数yx33x29x(2x2)的极大值为 _.【解析】y 3x26x93(x1)(x3)，令y 0，得x 1 或x3.当 2x 1 时，y 0；当 1x 2 时，y 0.所以当x 1 时，函数有极大值，且极大值为5，无极小值.【答案】56.已知函数f(x)ax3bx2c，其导函数图象如图3-3-7所示，则函数f(x)的极小值是_.图 3-3-7【解析】由函数导函数的图象可知，函数f(x)在(，0)上递减，在(0,2)上递增，所以函数f(x)在x0 时取得极小值c.【答案】c精品教案可编辑7.若函数f(x)x33xa有 3 个不同的零点，则实数a的取值范围是 _.【解析】令f(x)0 得a3xx3，于是ya和y3xx3有 3 个不同交点，画出y3xx3的图象即可解决.结合下图，可知2a2.【答案】2a 28.(2016南通高二检测)如果函数yf(x)的导函数的图象如图3-3-8所示，给出下列判断：图 3-3-8函数yf(x)在区间3，12内单调递增；函数yf(x)在区间12，3 内单调递减；函数yf(x)在区间(4,5)内单调递增；当x2 时，函数yf(x)有极小值；当x12时，函数yf(x)有极大值.则上述判断中正确的是_(填序号).【解析】从图象知，当x(3，2)时，f(x)0，当x 2，12时，f(x)0，所以函数yf(x)在3，12内不单调，同理，函数yf(x)在 12，3 内也不单调，故均不正确；当x(4,5)时，f(x)0，所以函数yf(x)在区间(4,5)内单调递增，故正确；由于f(2)0，且在x2 的左、右两侧的附近分别有f(x)0 与f(x)0，精品教案可编辑所以当x2 时函数yf(x)取得极大值，而在x12的左、右两侧的附近均有f(x)0，所以x12不是函数yf(x)的极值点，即均不正确.故填.【答案】二、解答题9.求函数f(x)2xx212 的极值.【解】函数的定义域为R.f(x)2x214x2x2122x1x1x212，令f(x)0 得x 1 或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极小值极大值由表可知，当x 1 时，函数取得极小值f(1)3.当x1 时，函数取得极大值f(1)1.10.已知函数yax3bx2，当x1 时函数有极大值3.(1)求a，b的值；(2)求函数y的极小值.【导学号：24830087】【解】(1)y 3ax22bx，当x1 时，y 3a2b0，又因为yab3，即3a2b0，ab3，解得a 6，b9.(2)y 6x39x2，y 18x218x，令y 0，得x0 或x1.当x 0 时，函数y取得极小值0.能力提升 精品教案可编辑1.若函数f(x)x33ax23(a2)x 3 既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_.【解析】f(x)3x26ax3(a2)，令 3x26ax3(a 2)0，即x22axa20.函数f(x)有极大值和极小值，方程x2 2axa20 有两个不相等的实数根，即4a24a80，解得a2 或a 1.【答案】(，1)(2，)2.已知f(x)x36x29xabc，abc，且f(a)f(b)f(c)0.现给出如下结论：f(0)f(1)0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0；f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是_.【解析】f(x)x36x29xabc，f(x)3x212x93(x1)(x3)，令f(x)0，得x1 或x3.依题意，函数f(x)x36x29xabc的图象与x轴有三个不同的交点，故f(1)f(3)0，即(169abc)(33 632 9 3abc)0，0abc4，f(0)abc0，f(1)4abc0，f(3)abc0，故正确.【答案】3.(2016淮安高二检测)若函数f(x)x22bx3a在区间(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是 _.【解析】f(x)2x2b2(xb)，令f(x)0，解得xb，由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值，则有0b1.当 0 xb时，f(x)0；当bx1 时，f(x)0，符合题意.所以实数b的取值范围是0b1.【答案】0b14.设函数f(x)ln xmx，m R.(1)当me(e 为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；精品教案可编辑(2)当m0时，确定函数g(x)f(x)x3零点的个数.【解】(1)由题设，当me 时，f(x)ln xex，则f(x)xex2，当x(0，e)，f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x(e，)，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，xe 时，f(x)取得极小值f(e)ln e ee2，f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)f(x)x31xmx2x3(x0)，令g(x)0，得m13x3x(x0).设(x)13x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)，当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，(x)0，(x)在(1，)上单调递减.x1 是(x)的唯一极值点，且是极大值点，(x)的极大值为(1)23.又(0)0，结合y(x)的图象(如图)，因为m 0，所以函数g(x)有且只有一个零点.