【数学】江苏省淮安市涟水县2020届高三上学期第二次月考(理).pdf
江苏省淮安市涟水县2020 届高三上学期第二次月考（理）一、填空题（共14 题，每题5 分，合计70 分）1.已知集合3,4A，1,2,3B，则AB_2.复数iiz21（i是虚数单位）的共轭复数为3.若角120的终边上有一点(3,)a，则实数a的值 _4.函数 f（x）=log3（1+x）+34x的定义域是 _5设等差数列na的前n项和为nS，若1122S，71a，则数列na的公差等于 _6.已知222233，333388，44441515，类比这些等式，若99aabb（a，b均为正整数），则ab_7.设x，y满足约束条件10202xyxyx，则23zxy的最小值为 _8.已知函数()()f xA sinx，(0,0,A）的部分图象如图所示，则(0)f_9.如图，在矩形ABCD中，3AB，3BC，点E为BC的中点，点F在边CD上，若3AB AF，则AE BF的值是 _（第 8 题图）（第 9 题图）10.已知1sincos63，则cos 23的值为 _11.已知关于x的不等式2113axaxax在区间2,3上恒成立，则实数a的取值范围为 _.12.已知函数fx是定义在R上的偶函数，若对于0 x，都有32fxfx，且当0,2x时，2log1fxx，则20172019ff_13.对于数列na，定义数列12nnaa为数列na的“2倍差数列”，若12,naa的“2倍差数列”的通项公式为12n，则数列na的前n项和nS_14.已知sin,20()2ln,0 xxf xx x，若关于x的方程()f xk有四个实根1234,x xxx则这四根之和1234xxxx的取值范围是_二、解答题15.（本大题14 分）设命题 p：实数x满足22320 xaxa，其中0a；命题q：实数x满足2760 xx.（1）当1a时，若pq为真，求x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.16（本大题14 分）已知向量(3 sin22,cos)mxxv，(1,2cos)nxv，设函数()f xm nv v（1）求 f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在 ABC 中，a、b、c 分别是角A、B、C 的对边，若()4f A，b1，ABC 的面积为32，求 a 的值17.（本大题14 分）是否存在常数,a b使得等式22212(21)()nnnanb对一切正整数n都成立？若存在，求出,a b值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由.18（本大题16 分）首届中国国际进口博览会于2018 年 11 月 5 日至 10 日在上海的国家会展中心举办.国家展、企业展、经贸论坛、高新产品汇集 首届进博会高点纷呈.一个更加开放和自信的中国，正用实际行动为世界构筑共同发展平台，展现推动全球贸易与合作的中国方案.某跨国公司带来了高端智能家居产品参展，供购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场.已知该产品年固定研发成本30 万美元，每生产一台需另投入90 美元.设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为G x万美元,2403,020,3000600080,20.11xxG xxxx x（1）写出年利润S（万美元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润.19.（本大题16 分）已知函数321()4f xxxx.（）求曲线()yf x的斜率为1 的切线方程；（）当 2,4x时，求证：6()xfxx；（）设()|()()|()F xfxxaaR，记()F x在区间 2,4上的最大值为M（a），当 M（a）最小时，求a 的值20.（本大题16 分）定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“M 数列”.（1）已知等比数列 an满足：245132,440a aaaaa，求证:数列 an为“M 数列”；（2）已知数列 bn 满足:111221,nnnbSbb，其中 Sn为数列 bn的前 n 项和求数列 bn的通项公式；设 m为正整数，若存在“M 数列”cn，对任意正整数k，当 k m时，都有1kkkcbc成立，求m 的最大值参考答案一、填空题11,2,3,42i233 34314xx51；6.897881992107911.6a120131(n1)22n1410,2ee二、解答题15解：（1）当1a时，p真，则2320 xx，解得21x；.2 分q真，则解得61x.4 分pq为真，则p真且q真，故x的取值范围为(2,1).7 分（2）p是q的必要不充分条件，则q是p的必要不充分条件，.9 分p真，有2axa，.11 分1,26,aa.故31a.14 分16.解（1）3sin22 cosmxx，1 2cosnx，23sin222cosfxm nxx3sin2cos23xx2sin236x.3 分22T.4 分令3222262kxk（kZ），263kxk（kZ）fx的单调区间为263kk，kZ.7 分（2）由4fA得，2sin2346fAA，1sin262A又A为ABC的内角，132666A，5266A，3A.10 分32ABCS，1b，13sin22bcA，2c.12 分2222cosabcbcA14122 132，3a.14 分17解：分别令1,2n，可得13510 2abab，解得1616ab.4 分故猜想等式222211126nnnn对一切正整数n都成立.下面用数学归纳法证明：当 n=1 时，由上面的探求可知等式成立.6 分假设(*,1)nk kNk时猜想成立，即222211126kkkk.8 分当 n=k 1时，2222221112116kkkkkk.10 分121616kkkk212766kkk12326kkk.12 分所以当 n=k1 时，等式也成立.13 分由知猜想成立，即存在11,66ab使命题成立.14 分18解：（1）当020 x时，9030SxG xx2315030 xx；.3 分当20 x时，9030SxG xx3000210301xxx.6 分函数解析式为2315030,020,300021030,20.1xxxSxxxx.8 分（2）当020 x时，因为23251845Sx，S在0,20上单调递增，所以当20 x时，max201770SS.10 分当20 x时，3000210301xSxx9000=1029701xx900010129801xx90002 101298023801xx.13 分当且仅当90001011xx，即29x时等号成立.14 分因为23801770，所以29x时，S的最大值为2380 万美元.15 分答：当年产量为29 万台时，该公司在该产品中获得的利润最大，最大利润为2380 美元.16 分19解：（）23()214fxxx，令23()2114fxxx得0 x或者83x.2 分当0 x时，(0)0f，此时切线方程为yx，即0 xy；当83x时，88()327f，此时切线方程为6427yx，即2727640 xy；综上可得所求切线方程为0 xy和23()24g xxx 2727640 xy.4 分（）设321()()4g xf xxxx，.5 分令23()204g xxx得0 x或者83x，所以当 2,0 x时，()0g x，()g x为增函数；当8(0,)3x时，()0g x，()g x为减函数；当8,43x时，()0g x，()g x为增函数；.7 分而(0)(4)0gg，所以()0g x，即()f xx；.8 分同理令321()()664h xf xxxx，可求其最小值为(2)0h，所以()0h x，即()6f xx，.9 分综上可得6()xf xx.10 分（）由（）知6()0f xx，所以()M a是,6aa中的较大者，.12 分若6aa，即3a时，()3M aaa；.13 分若6aa，即3a时，()663M aaa.14 分所以当()M a最小时，()3M a，此时3a.16 分20解（1）设等比数列an的公比为q，所以 a10，q 0.由245321440a aaaaa，得244112111440a qa qa qa qa，解得112aq因此数列na为“M数列”.4 分（2）因为1122nnnSbb，所以0nb由1111,bSb得212211b，则22b.5 分由1122nnnSbb，得112()nnnnnb bSbb，.6 分当2n时，由1nnnbSS，得111122nnnnnnnnnb bbbbbbbb，整理得112nnnbbb.9 分所以数列 bn 是首项和公差均为1 的等差数列.因此，数列 bn的通项公式为bn=n*nN.10 分由知，bk=k，*kN.因为数列 cn 为“M 数列”，设公比为q，所以 c1=1，q0因为 ck bk ck+1，所以1kkqkq，其中 k=1，2，3，m.当 k=1 时，有 q1；当 k=2，3，m 时，有lnlnln1kkqkk设 f（x）=ln(1)xxx，.13 分则21 ln()xf xx令()0f x，得 x=e.列表如下：x(1,e)e(e，+)()f x+0f（x）极大值因为ln 2ln8ln9ln32663，所以maxln3()(3)3f kf.14 分取33q，当 k=1，2，3，4，5 时，lnlnkqk，即kkq，经检验知1kqk也成立因此所求 m 的最大值不小于5若 m6，分别取k=3，6，得 3 q3，且 q56，从而 q15 243，且 q15 216，所以 q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上，所求m 的最大值为5.16 分
