【精编】复数运算的常用规律和几何意义.pdf

复数的运算种类虽多，但各种运算方式间有联系，最本质的运算方式是代数形式的运算。多样性的运算使我们研究复数问题时有多种可考虑的途径，以便从中选择较好的方式，运算常用的结论：1.(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i (a+bi)+(a-bi)=2a (a,bR)(a+bi)(a-bi)=a2+b2 (a+bi)2=a2-b2+2abi (a,bR)(a-bi)2=a2-b2-2abi (a,bR)等2.i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i (bN)3.Z+Z=2ReZ Z-Z=2(ImZ)i(其中 ReZ,ImZ 分别表示复数Z的实部和虚部)4.ZZ=Z2=Z25.设 w=-21+23i 则 w3=1,1+w+w 2=0,w=w2=w16.2121ZZZZ2121ZZZZ2121ZZ)ZZ(Z20)7.Z1Z2=Z1 Z221ZZ=21ZZ(Z20)8.Z=ZZ R 9.Z=-ZZ=ki(kR)Z=Z 10.r1(cos 1+isin 1)r2(cos 2+isin 2)rk(cos k+isin k)=r1r2r3rkcos(1+2+3+k)+isin(1+2+3+k)其中 r1r2r3rk0 (1、2、3kR)复数的几何意义加法的几何意义：设1OZ，2OZ各与复数 Z1，Z2对 应，以1OZ，2OZ为边的平行四边形的对角线OZ就与 Z1+Z2对应。减法的几何意义：设1OZ，2OZ各与复数 Z 1，Z2对应，则图中向量21ZZ所对应的复数就是Z2-Z1。Z1-Z2的几何意义是分别与Z1，Z2对应的两点间的距离。乘法的几何意义：设AB表示复数 r(cos+isin)(r 0)，把AB绕 A点按逆时针方向旋转角，旋转后再把所得向量的长度变为原来的k 倍(k 0)得到AC，则AC对应的复数是 r(cos+isin)k(cos+isin)，如果把AB绕 A点按顺时针方向进行同样方式的旋转和伸缩，那么所得向量对应的复数是 r(cos+isin)k(cos-isin)除法是乘法的逆运算，除法也可表现为乘法的形式，Z1Z2=Z1(21Z)因此除法运算的几何意义与乘法运算的几何意义实质相同。复数方根的几何意义：设OZ对应的复数是 Z，Z的 n 次方根(n2,nN)对应于 从原点出发且在原点处 n等分圆周角的 n 个向量，这 n 个向量的模都是nZ，其中一个向量的辐角是复数Z的辐角的 n 分之一，图中画出了模为8的向量OZ所对应的复数的三次方根1OZ，2OZ，3OZ其中1OZ的辐角取OZ辐角的三分之一。由复数的几何意义推导的结论1.Z1Z20，则 Z1+Z2=Z1-Z221ZZ=i (R 且0)对应的向量1OZ2OZ2.设 P点对应的复数为Z1，点 Q对应的复数为Z2，则向量PQ对应的 复数是 Z2-Z13.向量PQ绕点 P 顺时针方向旋转角(0)所得到的向量对应的复数应是(Z2-Z1)cos(-)+isin(-)而旋转之后点Q对应的复数应是(Z 2-Z1)cos(-)+isin(-)+Z14.Z-Z1=Z-Z2表示以复数 Z1、Z2在复平面内对应的点为端点的线段垂直平分线的方程。5.Z-Z0=r 表示以 Z0为复平面内对应的点Z0为圆心，半径是 r的圆的方程。6.Z-Z1+Z-Z2=2a(2aZ1Z2)表示以 Z1、Z2在复平面内对应的点 Z 1、Z2为焦点，长轴是 2a 的椭圆方程。7.Z-Z1-Z-Z2=2a(2aZ1Z2)表示以 Z1、Z2在复平面内对应点 Z1、Z2为焦点，实轴长是 2a 的双曲线方程，在复数集上的方程主要有三个问题：复数集上方程的求解；根据方程解的情况讨论参数的取值范围；与复数集上方程有关的计算或证明。求解复数集上的方程主要有以下四种解法：设 Z=x+yi(x，y R)从而转 化为关于实数 x，y 的方程。若是复数集上的二次方程，则可以直接利用二次方程的求根公式，但要注意判别式0，则 x1，2=a2ib考虑复数的几何意义，结合图形去分析。以复数的模为突破口，即着眼于Z，再求 Z。