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吉林省吉林市2020 届高三第三次调研测试（4 月）试题数学（理）一、选择题：本大题共12 题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。1.已知集合-1,0,1,2A,|lg(1)Bxyx，则ABA.2B.1,0C.1D.1,0,12.已知复数z满足iz11，则z=A.i1122B.i1122C.i1122D.i11223.已知向量ab(3,1),(3,3)，则向量b在向量a方向上的投影为A.3B.3C.1D.14.已知m n,为两条不重合直线，,为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是A.mn mn,B.mn mn,C.mn m,n,D.mn m,n,5.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为2221正视图俯视图侧视图A.103B.3C.83D.736.函数f xx2()cos(2)3的对称轴不可能为A.x56B.x3C.x6D.x37.已知fx()为定义在R上的奇函数，且满足f xf x(4)(),当x(0,2)时，fxx2()2,则f(3)A.18B.18C.2D.28.已知数列na为等比数列，若aaa76826，且aa5936，则aaa768111A.1318B.1318或1936C.139D.1369.椭圆xy22192的焦点为FF12,，点P在椭圆上，若PF2|2，则F PF12的大小为A.150B.135C.120D.9010.已知babca0.2121()2,log 0.2,，则a b c,的大小关系是A.abcB.cabC.acbD.bca11.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222 年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A FF A2,若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为ABCDEFABCDEF图1图2A.2 1313B.413C.2 77D.4712.已知FF12,分别为双曲线xyCab2222:1的左、右焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以F F12为直径的圆经过点P，若PF F12的面积为b22 33，则双曲线的离心率为A.3B.2C.5D.3二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置13.二项式x5(2)的展开式中x3的系数为（用数字作答）.14.已知两圆相交于两点A aB(,3),(1,1)，若两圆圆心都在直线xyb0上，则ab的值是 .15.若点P(cos,sin)在直线yx2上，则cos(2)2的值等于 .16.已知数列na的前n项和nnSa14且114a，设xxfxee2()1，则fafafa721222(log)(log)(log)的值等于 .三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分17.（12 分）在ABC中，角A B C,的对边分别为a b c,，若abCC3(sin3cos).（1）求角B的大小；（2）若A3，D为ABC外一点，DBCD2,1,求四边形ABDC面积的最大值.18.（12 分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习。某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45 名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5 小时的有19 人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120 分的占813，统计成绩后得到如下2 2列联表：分数不少于120 分分数不足120 分合计线上学习时间不少于5 小时4 19 线上学习时间不足5 小时合计45（1）请完成上面2 2列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）（）按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120 分和分数不足120 分的两组学生中抽取 9 名学生，设抽到不足120 分且每周线上学习时间不足5 小时的人数是X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；（）若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120 分的学生中随机抽取 20 人，求这些人中每周线上学习时间不少于5 小时的人数的期望和方差.（下面的临界值表供参考）20()P Kk0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式n adbcKab cdacbd22()()()()()其中nabcd）19.（12 分）如图所示，在四棱锥PABCD中，ABCD,ADABCDDAB1,602，点E F,分别为CD AP,的中点.（1）证明：PC面BEF；（2）若PAPD，且PAPD，面PAD面ABCD,求 二 面 角FBEA的 余 弦 值.ABCDEFP20.（12 分）已知倾斜角为4的直线经过抛物线2:2(0)Cxpy p的焦点F，与抛物线C相交于A、B两点,且|8AB.（1）求抛物线C的方程；（2）设P为抛物线C上任意一点（异于顶点），过P做倾斜角互补的两条直线1l、2l，交抛物线C于另两点C、D，记抛物线C在点P的切线l的倾斜角为，直线CD的倾斜角为，求证：与互补.21.（12 分）已知函数2()ln(1)1(,).fxxaxabxba bR（1）若0a，试讨论()f x的单调性；（2）若02,1ab，实数12,xx为方程2()fxmax的两不等实根，求证：121142axx.（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（10 分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为3cossinxy（为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()26.（1）求曲线1C的普通方程与曲线2C的直角坐标方程；（2）设,A B为曲线1C上位于第一，二象限的两个动点，且2AOB,射线,OA OB交曲线2C分别于,D C，求AOB面积的最小值，并求此时四边形ABCD的面积.23.（10 分）已知,a b c均为正实数，函数222111()|4f xxxcab的最小值为1.证明：（1）22249abc；（2）111122abbcac.一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B A D A D C A C B D B 二、填空题13.-40；14.-1;15.45；16.7 三、解答题17.解：（1）3(sin3 cos)abCC,由正弦定理得:3 sinsin(sin3cos)ABCC3 sin()sinsin3 sincosBCBCBC，即3 cossinsinsinBCBC -3分sin0,3 cossinCBB即tan3B(0,),3BB -6分（2）在BCD中，2,1BDCD222122 12cosBCD54cosD又3A，则ABC为等边三角形，21sin23ABCSBC5 33 cos4D-8分又1sinsin2BDCSBDDCDD，5 3sin3 cos4ABCDSDD5 32sin()43D -10分当56D时，四边形ABCD的面积取最大值，最大值为5 324.-12分18.解：（1）分数不少于120 分分数不足120 分合计线上学习时间不少于5 小时15 4 19 线上学习时间不足5 小时10 16 26 合计25 20 45 -3分2245(15 16104)7.296.6352520 1926K有 99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”-5分（2）（I）由分层抽样知，需要从不足120 分的学生中抽取209445人 -6分X的可能取值为0，1,2,3,4.44420(0)CP XC,31416420(1)C CP XC,22416420(2)C CP XC13416420(3)C CP XC,416420(4)CP XC -8分（II）从全校不少于120 分的学生中随机抽取1 人此人每周上线时间不少于5 小时的概率为150.625 -10分设从全校不少于120分的学生中随机抽取20 人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y，则(20,0.6)YB，故()200.612E Y,()200.6(10.6)4.8D Y -12分19解“（1）证明：连接AC交BE于H，连接FH,ABCEHABHCEBHACHAABHCEHAHCHFHPC -2分FH面,FBEPC面FBEPC面FBE -4分（2）取AD中点O，连PO，OB.由PAPD，POAD面PAD面ABCDPO面ABCD，又由60DAB，ADABOBADABCDEFPxyzHO以,OA OB OP分别为,X Y Z轴建立如图所示空间直角坐标系 -6分设2AD，则(1,0,0)A，(0,3,0)B,(1,0,0)D,11(0,0,1),(,0,)22PF(2,0,0)EBDA，11(,3,)22BF -8分1(0,0,1)n为面BEA的一个法向量 -9分设面FBE的法向量为2000(,)nxy z，依题意，2200EB nBF n即000020113022xxyz令03y，解得026.(0,3,6)zn -10分121212,62 39cos,1339n nn nnn因为二面角为锐角，故其余弦值为2 3913 -20.解：（1）由题意设直线AB的方程为2pyx令11(,)A xy、22(,)B xy，联立222pyxxpy得22304pypy-3分123yyp，根据抛物线的定义得124AByypp，又8AB，48,2pp故所求抛物线方程为24xy -5分（2）依题意，设200(,)4xP x，2(,)4CCxC x，2(,)4DDxD x设1l的方程为200()4xyk xx，与24xy联立消去y得2200440 xkxkxx -7分04Cxxk，同理04Dxxk -8分02CDxxx，直线CD的斜率2221214()CDxxKxx=1()4CDxx012x-10分切线l的斜率0012lxxKyx。由0lCDKK，得与互补 -12分21.解：（1）依题意0 x，当0a时，1()(1)fxbx -1分当1b时，()0fx恒成立，此时()f x在定义域上单调递增；-3分当1b时，若10,1xb，()0fx；若1,1xb，()0fx故此时()f x的单调增、减区间分别为10,1b、1,1b -5分（2）方法 1：由2()fxmax得ln(2)20 xaxm令()ln(2)2g xxax，则12()()g xg xm -7分依题意有1122ln(2)ln(2)xaxxax，2112ln2xxaxx -8分要证121142axx，只需证212112122ln2(2)xxxxax xxx（不妨设12xx），即证1222112lnxxxxxx -10分令21(1)xt tx，1()2ln,g tttt22211()1(1)0g tttt，()g t在(1,)单调递减，()(1)0g tg，从而有121142axx -12分方法 2：由2()f xmax得ln(2)20 xaxm令()ln(2)2g xxax，则12()()g xg xm，1()(2)g xax -7分当1(0,)2xa时()0g x，1(,)2xa时()0g x，故()g x在1(0,)2a上单调递增，在1(,)2a上单调递减，-8分不妨设12xx，则12102xxa，要证121142axx，只需证212(42)1xxa x，易知221(0,)(42)12xa xa，故只需证212()()(42)1xg xga x，即证222()()(42)1xg xga x -10分令()()()(42)1xh xg xga x，（12xa），则21()()()(42)1421xh xg xga xa x=21(2)1(2)1421a xa xxxa x=224(2)210421aa xa x -11分（也可代入后再求导）()h x在1,2a上单调递减，1()()02h xha，故对于12xa时，总有()()(42)1xg xga x。由此得121142axx -12分22.解：（1）由曲线1C的参数方程为3cossinxy（为参数）消去参数得2213xy-2分曲线2C的极坐标方程为sin()26即sincoscossin266340 xy -4分（2）依题意得1C的极坐标方程为2222cossin13 -5分设1(,)A,2(,)2B,3(,)D,4(,)2C则222211cossin13，222222sincos13，故22121143 -7分22121221143，当且仅当12（即4）时取“=”-8分故121324AOBS，即AOB面积的最小值为34 -9分此时34112222sin()cos()4646CODS48cos3故所求四边形的面积为329844 -10分23.证明（1）,0a b c，222111()4f xxxabc222111()4xxabc2221114abc2221114abc1 -3分由柯西不等式得222(4)abc222111()4abc2(11 1)9当且仅当23abc时取“=”。22249abc -5分（2）22112,abab22111,4bcbc221114acac（以上三式当且仅当23abc时同时取“=”）-7分将以上三式相加得211abbcac2221112()24abc即111122abbcac -10分
