人教版八年级数学二次根式的乘除讲义(含解析).pdf

第 14 讲 二次根式的乘除知识定位讲解用时：3 分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习二次根式的计算二次根式的乘除。通过本节课的学习，我们要掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练地进行二次根式的乘除运算。知识梳理讲解用时：20分钟二次根式的性质与化简2 1、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.100602020vv3162xx分式方程整式方程2、判断下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程?2231323=212xxxxxxxx43711121052131xyx xxxxxxx二次根式的性质：（1）（a）2=a（a0）；（2）aa20000a aaa a二次根式的化简：（1）被开方数是小数时，常把小数化成相应的分数，后进行求解.解：233 2661522 222.化简时通常分子、分母同时乘以分数的分母，使分母上的数或式子称为完全平方数或完全平方式.（2）被开方数是分数的二次根式化简解：2111 55512555 5555 52525（3）被开方数是非完全平方数的二次根式化简481634 3将被开方数进行因数分解，是化简的基础.二次根式的乘除法积的算术平方根：=（a0，b0）反过来二次根式的乘法法则：0，b0aba b a算术平方根的积等于被开方数的积的算术平方根商的算术平方根：0，b0aaabb反过来二次根式的除法法则：0，b0aaabbabab分母有理化，简称有理化，指的是将该原为无理数的分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去。有理化后通常方便运算，有理化的过程可能会影响分子，但分子及分母的比例不变。11aaaaaaabab课堂精讲精练【例题 1】如果 m 0，化简|m|的结果是（）A2m B2m C 0 Dm【答案】A【解析】由 m 0，利用二次根式的性质=|a|及绝对值的性质计算可得解：m 0，原式=|m|m|=|m m|=|2m|=2m，故选：A讲解用时：2 分钟解题思路：本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质：=|a|及绝对值的性质教学建议：熟练掌握二次根式的性质并化简.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：昆山市一模年份：2018【练习 1.1】化简得（）AB C D【答案】C【解析】根据二次根式化简的方法可以解答本题解：=，故选：C讲解用时：2 分钟解题思路：本题考查二次根式的性质与化简，解答本题的关键是明确二次根式化简的方法教学建议：掌握最简二次根式并灵活运用.难度：2 适应场景：当堂练习例题来源：揭西县期末年份：2017【练习 1.2】已知 b0，化简的结果是（）A B CD【答案】C【解析】首先根据二次根式有意义的条件，判断a0，再根据二次根式的性质进行化简解：b0，a3b0，a0原式=a故选：C讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的性质教学建议：熟记二次根式有意义的条件并灵活运用.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：吉林模拟年份：2018【例题 2】已知 a，b，c 是三角形的三边长，化简|b a+c|的结果是多少？【答案】0【解析】利用三角形三边关系得出ab+c，进而结合绝对值和二次根式的性质化简求出答案解：a，b，c 是三角形的三边长，ab+c，则原式=|a（b+c）|b+c a|=b+ca（b+ca）=0.讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了二次根式的性质与化简以及三角形三边关系，得出ab+c是解题关键教学建议：利用二次根式的性质和三角形的三边关系解题.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：莒县期末年份：2018【练习 2.1】已知实数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|+【答案】ab【解析】直接利用数轴判断得出：a0，a+c0，ca0，b0，进而化简即可解：如图所示：a0，a+c0，ca0，b0，则原式=a+a+c（ca）b=ab讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各部分符号是解题关键教学建议：利用绝对值的性质和二次根式的性质进行化简.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：天心区校级期末年份：2018【练习 2.2】若实数 a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，试化简：+|b+c|+|ac|【答案】a【解析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果解：根据题意得：ab0c，且|c|b|a|，a+b0，b+c0，a+c0，则原式=|a|a+b|+|b+c|+|ac|=a+a+bbca+c=a讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键教学建议：利用绝对值的性质和二次根式的性质进行化简.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：抚州期末年份：2017【例题 3】把下列二次根式化为最简二次根式：（1）；（2）【答案】（1）20；（2）【解析】（1）将被开方数 1200分为 4003，利用二次根式的乘法逆运算变形，再利用二次根式的化简公式化简，即可得到最简结果；（2）根据=，进而化简求出即可解：（1）=20；（2）=讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键教学建议：熟练掌握二次根式的化简.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：元坝区校级月考年份：2012【练习 3.1】把下列各式化为最简二次根式：（1）；（2）（a0，b0）【答案】（1）4；（2）（a+2b）【解析】（1）根据二次根式的乘法，可化简二次根式；（2）根据二次根式的性质，可化简二次根式解：（1）原式=4；（2）原式=（a+2b）讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查最简二次根式的定义根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式教学建议：熟练掌握最简二次根式的应用.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习 3.2】下列式子哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？，【答案】只有，是最简二次根式【解析】根据必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式，分别进行判断可得出答案解：只有，是最简二次根式含有能开尽方的数，含有能开尽方的数，被开方数不是整数，含有能开尽方的数，=x，被开方数不是整数讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查最简二次根式的知识，比较简单，牢记定义即可教学建议：熟练掌握最简二次根式的应用.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 4】计算或化简：（1）（）（2）（）【答案】（1）2；（2）【解析】（1）根据二次根式的性质即可取出答案（2）根据分式的运算法则即可求出答案解：（1）原式=3=2（2）原式=（）=讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型教学建议：熟练掌握二次根式的乘除法混合计算.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：江都区期末年份：2017【练习 4.1】计算：2【答案】6【解析】根据二次根式的乘除法法则计算即可解：原式=2=6讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键教学建议：熟练掌握二次根式的乘除法混合计算.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：顺义区期末年份：2016【练习 4.2】【答案】【解析】直接利用二次根式乘除运算法则求出答案解：原式=，=，=讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了二次根式的乘除运算法则，正确化简二次根式是解题关键教学建议：熟练掌握二次根式的乘除法混合计算.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：门头沟区期末年份：2016【例题 5】计算（1）（2）（x2y0）【答案】（1）；（2）【解析】（1）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案解：（1）=543=203=；（2）（x2y0）=?=?=讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了二次根式的乘除运算以及二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键教学建议：熟练掌握二次根式的乘除法混合计算及二次根式的化简.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 5.1】【答案】【解析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案解：原式=讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键教学建议：熟练掌握二次根式的乘除法混合计算及二次根式的化简.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：安次区校级月考年份：2017【例题 6】（1）已知 a2+b2=6，ab=1，求 ab 的值；（2）已知 a=，b=，求 a2+b2的值【答案】（1）2；（2）2【解析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；（2）先分母有理化，再根据完全平方公式和平方差公式即可求解解：（1）由 a2+b2=6，ab=1，得 a2+b22ab=4，（ab）2=4，ab=2（2）a=，b=，a2+b2=（a+b）22ab=（+）22=31=2讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了分母有理化、完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键教学建议：灵活运用完全平方公式代入求代数式的值.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：丹江口市期末年份：2017【练习 6.1】已知 a=2，b=2，求 a22ab+b2的值【答案】12【解析】根据已知先求出ab 的值，再把要求的式子化成完全平方的形式，然后代值计算即可解：a=2，b=2，ab=22+=2，a22ab+b2=（ab）2=（2）2=12讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查了分母有理化，用到的知识点是完全平方公式，求出ab的值是解题的关键教学建议：灵活运用完全平方公式代入求代数式的值.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：合肥期中年份：2018【练习 6.2】已知 x=，y=，求 x2xy+y2的值【答案】9【解析】先进行分母有理化，再代入解答即可解：因为 x=，y=，把代入 x2xy+y2中，可得：=5+23+2+52=9讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式的化简求值的方法教学建议：熟练掌握分式的分母有理化.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：武侯区校级期末年份：2016【例题 7】已知 x=，y=，求+的值【答案】3【解析】先由已知条件得出x+y=，xy=1，再将+变形为，整体代入即可求解解：x+y=，xy=1，+=3讲解用时：3 分钟解题思路：考查了分母有理化，关键是由已知条件得出x+y=，xy=1，注意整体思想的运用教学建议：掌握二次根式运算的法则，求代数式的值.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：容县期末年份：2014【练习 7.1】已知 x=+1，y=1，求：（1）xy；（2）x2+y2+xy【答案】（1）1；（2）7【解析】根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案解：（1）原式=（）212=1（2）原式=（x+y）2xy=（2）21=7讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及平方差公式，本题属于基础题型教学建议：掌握二次根式运算的法则，求代数式的值.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：青羊区期末年份：2016【练习 7.2】计算：?（）3【答案】a2b【解析】直接利用二次根式乘除运算法则计算得出答案解：?（）3=（）=a2b讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键教学建议：熟练掌握二次根式的乘除运算.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：长春校级月考年份：2015 课后作业【作业 1】计算：2【答案】【解析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案解：2=难度：3 适应场景：练习题例题来源：泸县期末年份：2017【作业 2】计算：4（）【答案】【解析】根据二次根式的乘法法则和除法法则求解解：原式=2=难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：门头沟区期末年份：2014【作业 3】计算：（1）932+20160（2）（a+2）（a2）（a1）2【答案】（1）-2；（2）2a-5【解析】（1）先根据负整数指数幂的意义、零指数幂的意义化简乘方，再算乘法，然后计算加减；（2）利用平方差公式与完全平方公式计算乘法与乘方，再去括号合并同类项即可解：（1）932+20160=9+14=1+14=2；（2）（a+2）（a2）（a1）2=（a24）（a22a+1）=a24a2+2a1=2a5讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 4】化简下列各式：（1）（2）?（3）；（4）【答案】（1）2；（2）9x；（3）3；（4）【解析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则化简求出答案；（2）直接利用二次根式的乘法运算法则化简求出答案；（3）直接利用二次根式的除法运算法则化简求出答案；（4）直接利用二次根式的除法运算法则化简求出答案解：（1）原式=2；（2）原式=9x；（3）原式=3；（4）原式=讲解用时：3 分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：红桥区期中年份：2018【作业 5】设长方形的面积为S，相邻两边长分别是a，b，已知 S=4，a=，求 b【答案】【解析】利用长方形的边=面积邻边列式计算即可解：b=Sa=4=讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：北流市期中年份：2017