【精编版】等差数列知识点总结和题型分析.pdf

1 等差数列一等差数列知识点：知识点 1、等差数列的定义:如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示知识点 2、等差数列的判定方法:定义法：对于数列na，若daann 1(常数)，则数列na是等差数列等差中项：对于数列na，若212nnnaaa，则数列na是等差数列知识点 3、等差数列的通项公式:如果等差数列na的首项是1a，公差是d，则等差数列的通项为dnaan)1(1该公式整理后是关于n 的一次函数知识点 4、等差数列的前n 项和:2)(1nnaanSdnnnaSn2)1(1对于公式 2 整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数知识点 5、等差中项:如果 a，A，b成等差数列，那么A叫做 a 与b的等差中项 即：2baA或baA2在一个等差数列中，从第2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点 6、等差数列的性质:等差数列任意两项间的关系：如果na 是等差数列的第 n项，ma 是等差数列的第 m项，且nm，公差为d，则有dmnaamn)(对于等差数列na，若qpmn，则qpmnaaaa也就是：23121nnnaaaaaa若数列na是等差数列，nS 是其前 n 项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等差数列 如下图所示：kkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S321 10、等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 性 质：若 项 数 为*2n n，则21nnnSn aa，且SSnd偶奇，1nnSaSa奇偶若项数为*21nn，则2121nnSna，且nSSa奇偶，1SnSn奇偶（其中nSna奇，1nSna偶）2 二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、.等差数列 an的前三项依次为 a-6，2a-5，-3a+2，则 a 等于（)A.-1 B.1 C.-2 D.2 2在数列 an中，a1=2，2an+1=2an+1，则 a101的值为（）A49 B50 C51 D52 3等差数列 1，1，3，89 的项数是（）A92 B47 C46 D45 4、已知等差数列na中，12497,1,16aaaa则的值是()()A 15 B 30 C 31 D 64 5.首项为 24的等差数列，从第 10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A.d38 B.d3 C.38d3 D.38d3 6、.在数列na中，31a，且对任意大于1 的正整数n，点),(1nnaa在直03yx上，则na=_.7、在等差数列 an 中，a53，a62，则 a4a5a108、等差数列na的前n项和为nS，若则432,3,1Saa（）（A）12（B）10（C）8（D）6 9、设数列na的首项)Nn(2aa,7an1n1且满足，则1721aaa_.10、已知 an 为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则 a5=_ 11、已知数列的通项 an=-5 n+2,则其前 n 项和为 Sn=.12、设nS为等差数列na的前 n 项和，4S14，30SS710，则9S.题型二、等差数列性质1、已知 an为等差数列，a2+a8=12,则 a5等于（）(A)4 (B)5(C)6(D)7 2、设nS是等差数列na的前n项和，若735S，则4a（）A8 B 7 C 6 D53、若等差数列na中，37101148,4,aaaaa则7_.a4、记等差数列na的前 n 项和为nS，若42S，204S，则该数列的公差 d=（）A7 B.6 C.3 D.2 5、等差数列na中，已知31a1，4aa52，33an，则 n 为（）（A）48 （B）49 （C）50 （D）51 6.、等差数列 an中，a1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100,则 n=（）(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 3 7、设 Sn是等差数列na的前 n 项和，若5935,95SSaa则（）A1 B 1 C 2 D218、已知等差数列 an满足1231010 则有()A11010 B21000 C3990 D5151 9、如果1a，2a，8a为各项都大于零的等差数列，公差0d，则()（A）1a8a45a a（B）8a1a45a a（C）1a+8a4a+5a（D）1a8a=45a a10、若一个等差数列前3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（）（A）13 项（B）12 项（C）11 项（D）10 项4 题型三、等差数列前n 项和1、等差数列na中，已知12310aaaapL，98nnnaaaqL，则其前 n项和nS2、等差数列,4,1,2的前 n 项和为（）A.4321nn B.7321nn C.4321nn D.7321nn3、已知等差数列na满足099321aaaa，则（）A.0991aa B.0991aa C.0991aa D.5050a 来源:学科网 ZXXK4、在等差数列na中，78,1521321nnnaaaaaa，155nS，则n。5、等差数列na的前 n 项和为nS，若2462,10,SSS则等于（）A12 B18 C24 D42 6、若等差数列共有12n项*Nn，且奇数项的和为44，偶数项的和为 33，则项数为（）A.5 B.7 C.9 D.11 7、设等差数列na的前 n项和为nS，若39S，636S，则789aaa8、若两个等差数列na和nb的前 n项和分别是nnST，已知73nnSnTn，则55ab等于（）7232782145 题型四、等差数列综合题精选1、等差数列 na的前 n 项和记为 Sn.已知.50,302010aa（）求通项na；（）若 Sn=242，求 n.2、已知数列na是一个等差数列，且21a，55a。（1）求na的通项na；（2）求na前 n 项和nS的最大值。3、设na为等差数列，nS为数列na的前n项和，已知77S，7515S，nT为数列nSn的前n项和，求nT。4、已知na是等差数列，21a，183a；nb也是等差数列，4a22b，3214321aaabbbb。（1）求数列nb的通项公式及前n项和nS的公式；（2）数列na与nb是否有相同的项？若有，在 100 以内有几个相同项？若没有，请说明理由。6、已知二次函数()yf x的图像经过坐标原点，其导函数为()62fxx，数列na6 的前 n 项和为nS，点(,)()nn SnN均在函数()yf x的图像上。()求数列na的通项公式；()设1nnnaa3b,nT是数列nb的前 n 项和，求使得20nmT对所有nN都成立的最小正整数 m；7 五、等差数列习题精选1、等差数列na的前三项依次为 x，12x，24x，则它的第 5 项为（）A、55x B、12x C、5 D、4 2、设等差数列na中，17,594aa,则14a的值等于（）A、11 B、22 C、29 D、12 3、设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380a a a，则111213aaa()A120 B105 C90 D754、若等差数列na的公差0d，则（）（A）5362aaaa（B）5362aaaa（C）5362aaaa（D）62aa与53aa的大小不确定5、已知na满足，对一切自然数 n均有1nnaa，且2nann恒成立，则实数的取值范围是（）00036、等差数列daaadaan成等比数列，则若公差中，5211,0,1为（）(A)3 (B)2 (C)2 (D)2或27、在等差数列na中，)(,qppaqaqp，则qpaA、qp B、)(qp C、0 D、pq8、设数列na是单调递增的等差数列，前三项和为12，前三项的积为48，则它的首项是A、1 B、2 C、4 D、8 9、已知为等差数列，135246105,99aaaaaa，则20a等于（）A.-1 B.1 C.3 D.7 10、已知na为等差数列，且7a 24a 1,3a 0,则公差 dA.2 B.12 C.12 D.2 11、在等差数列na中，284aa,则 其前 9 项的和 S9等于（）A18 B 27 C 36 D 9 12、设等差数列na的前 n项和为nS，若39S，636S，则789aaa（）A63 B45 C36 D27 13、在等差数列na中，78,1521321nnnaaaaaa，155nS，则n。14、数列na是等差数列，它的前n项和可以表示为（）A.CBnAnSn2 B.BnAnSn28 C.CBnAnSn20a D.BnAnSn20a小结1、等差中项：若,a A b成等差数列，则A叫做 a与b的等差中项，且2abA2、为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，2,2ad ad a ad ad（公 差 为d）；偶 数 个 数 成 等 差，可 设 为 ，3,3ad ad ad ad,（公差为 2d）3、当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于 n 的一次函数，且斜率为公差d；若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。4、当 mnpq时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa.5、若na、nb是等差数列，则nka、nnkapb(k、p 是非零常数)、*(,)pnqap qN、232,nnnnnSSSSS，也成等差数列，而naa成等比数列；等差数列参考答案题型一：计算求值题号1 2 3 4 5 6 7 答案B D C A D 3n2-49 题号8 9 10 11 12 13 14 答案C 153 15-(5n2+n)/2 54 题型二、等差数列的性质1、C 2、D 3、12（a3+a7-a10+a11-a4=8+4=a7=12）4、C 5、C 6、B 7、A 8、C 9、B 10、A 9 题型三、等差数列前n 项和1、5n(p+q)2、B 3、C 4、n=10 5、24 6、S奇/S偶=n/n-1=4/3,n=4 7、45 8、D（a5/b5=S9/T9）题型四：等差数列综合题精选1、解：（）由,50,30,)1(20101aadnaan得方程组.5019,30911dada4 分解得.2,121da所以.102nan（）由242,2)1(1nnSdnnnaS得方程.24222)1(12nnn10分 解得).(2211舍去或nn2、解：（）设na的公差为 d，由已知条件，得11145adad，解出13a，2d所以1(1)25naandn（）21(1)42nn nSnadnn24(2)n所以2n时，nS取到最大值 43、解：设等差数列na的公差为d，则dnnnaSn121177S，7515S，,7510515,721711dada即,57,1311dada解得21a，1d。12121211ndnanSn，2111nSnSnn，数列nSn是等差数列，其首项为2，公差为21，nnTn49412。4、解：（1）设 an 的公差为 d1，bn 的公差为 d2 由 a3=a1+2d1得82ad131a所以68n)1n(82an，所以 a2=10,a1+a2+a3=30 依题意，得30d2344b6db2121解得3d3b21，所以 bn=3+3(n-1)=3n.23232)(21nnbbnSnn1 0（2）设 an=bm,则 8n-6=3m,既8)2m(3n，要是式对非零自然数m、n 成立，只需 m+2=8k,Nk,所以 m=8k-2，Nk代入得，n=3k,Nk,所以 a3k=b8k-2=24k-6,对一切Nk都成立。所以，数列na与nb有无数个相同的项。令 24k-6100,得,1253k又Nk，所以 k=1,2,3,4.即 100 以内有 4 个相同项。5、解：（）由 S14=98得 2a1+13d=14,又 a11=a1+10d=0，故解得 d=2,a1=20.因此，an 的通项公式是 an=222n,n=1,2,3（）由6,0,7711114aaS得6,010,11132111adada即122,0202,11132111adada由+得 7d11。即 d711。由+得 13d1 即 d131于是711d131，又 dZ,故 d=1，将代入得 10a112.又 a1Z,故 a1=11或 a1=12.所以，所有可能的数列 an 的通项公式是an=12-n 和 an=13-n,n=1,2,3,6、解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx(a0),则 f(x)=2ax+b,由于 f(x)=6x2,得a=3,b=2,所以f(x)3x22x.又因为点(,)()nn SnN均在函数()yf x的图像上，所以nS3n22n.当 n2 时，anSnSn1（3n22n）)1(2)132nn（6n5.当 n1 时，a1S13122615，所以，an6n5（nN）（）由（）得知13nnnaab5)1(6)56(3nn)161561(21nn，故 Tnniib121)161561(.)13171()711(nn21（1161n）.因此，要使21（1161n）20m（nN）成立的 m,必须且仅须满足2120m，即 m 10，所以满足要求的最小正整数m为 10 1 1题型五、精选练习题号1 2 3 4 5 6 7 答案D C B B A B C 题号8 9 10 11 12 13 14 答案B B B A B 10 B