2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高二下学期期中数学试卷(解析版).pdf

2019-2020 学年华东师大二附中高二第二学期期中数学试卷一、填空题（共10 小题）.1 从单词“shadow”中任意选取4 个不同的字母排成一排，则其中含有“a”的共有种排法（用数字作答）2若an是（2+x）n（n N*，n 2，x R）展开式中x2项的系数，则?(22?2+23?3+?+2?)=3二项式（x-1?）15的展开式中系数最大的项是第项4如图，在矩形区域ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是5记?=?=?+?+?+?，若 a1 4.47，a2 4.51，a3 4.61，a4 4.65，a5 4.76则?=?=?另有正整数Ai（1i5）的和仍是23，若以 Ai来估计 ai，则“误差和”?=?|?-?|的最小值为6在平行四边形ABCD 中，O 是 AC 与 BD 的交点，P、Q、M、N 分别是线段OA、OB、OC、OD 的中点，在APMC 中任取一点记为E，在 B、Q、N、D 中任取一点记为F，设G 为满足向量?=?+?的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形 ABCD 外（不含边界）的概率为7设函数f（x）=?，?-?-?，?-?，则当 x 1 时，则 ff（x）表达式的展开式中含x2项的系数是8由 1，2，3，1000 这个 1000 正整数构成集合A，先从集合A 中随机取一个数a，取出后把 a放回集合A，然后再从集合A 中随机取出一个数b，则?13的概率为9从 0，1，2，9 这 10 个整数中任意取3 个不同的数作为二次函数f（x）ax2+bx+c的系数，则使得?(1)2 Z 的概率为10已知当|x|12时，有11+2?=?-?+?-?+(-?)?+?，根据以上信息，若对任意|x|12都有?(1-?3)(1+2?)=a0+a1x+a2x2+anxn+，则a11二.选择题11设 P1、P2、P3、P4为空间中的四个不同点，则“P1、P2、P3、P4中有三点在同一条直线上”是“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件12设 l是直二面角，直线a 在平面 内，直线b 在平面 内，且 a、b 与 l 均不垂直，则（）Aa 与 b 可能垂直，但不可能平行B a 与 b 可能垂直也可能平行Ca 与 b 不可能垂直，但可能平行Da 与 b 不可能垂直，也不可能平行13函数 f：1，2，31，2，3满足 f（f（x）f（x），则这样的函数个数共有（）A1 个B4 个C8 个D10 个14如图，棱长为2 的正方体ABCD A1B1C1D1中，E 为 CC1的中点，点P，Q 分别为面A1B1C1D1和线段 B1C 上动点，则 PEQ 周长的最小值为（）A2?B?C?D?三、解答题15在四棱锥PABCD 中，底面正方形ABCD 的边长为2，PA底面 ABCD，E 为 BC 的中点，PC 与平面 PAD 所成的角为?22（1）求 PA 的长度；（2）求异面直线AE 与 PD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）16电视传媒为了解某市100 万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100 名观众进行调查如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5 小时的观众称为“足球迷”，并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5 小时的观众称为“铁杆足球迷”（1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10 万名观众根据调查，如果票价定为100 元/张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看如果票价提高10 x 元/张（x N），则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少10 x%，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少100?+11%问票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10 万人？17如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，DA DC2，?=?，E 是 C1D1的中点，F是 CE 的中点（1）求证：EA平面 BDF；（2）求证：平面BDF 平面 BCE；（3）求二面角D EBC 的正切值18正四棱锥PABCD 的底面正方形边长是3，O 是在底面上的射影，PO 6，Q 是 AC上的一点，过Q 且与 PA、BD 都平行的截面为五边形EFGHL（1）在图中做出截面EFGHL，并写出作图过程；（2）求该截面面积的最大值参考答案一.填空题1从单词“shadow”中任意选取4 个不同的字母排成一排，则其中含有“a”的共有240种排法（用数字作答）【分析】由题意知本题是一个分步计数问题，当选取4 个字母时从其它5 个字母中选3个，再与“a“全排列，有C53A44种结果解：由题意知本题是一个分步计数问题，当选取 4个字母时从其它5 个字母中选3 个，再与“a“全排列，C53A44 240，即含有“a”的共有240 种故答案为2402若 an是（2+x）n（n N*，n2，x R）展开式中x2项的系数，则?(22?2+23?3+?+2?)=8【分析】由题意可得x2项的系数为?-?，即 an=?-?再把要求的式子?(22?2+23?3+?+2?)化为?(11+1?32+?+1?2)，即?(?-1?)，从而得到结果解：an是（2+x）n（n N*，n2，x R）展开式中x2项的系数，又（2+x）n的展开式的通项公式为Tr+1=?2nr?xr，令 r 2，可得 x2项的系数为?-?an=?-?(22?2+23?3+?+2?)=?(221+23?2?2+?+2?2?2?-2)=?(221+22?32+?+22?2)=?(11+1?32+?+1?2)=?(11+223+234?+2?(?-1)=?(?-12+12-13+13-14+?+1?-1-1?)=?(?-1?)=8，故答案为：83二项式（x-1?）15的展开式中系数最大的项是第9项【分析】根据二项式系数的性质可得，（x-1?）15展开式中，二项式系数最大是?=?，由此可得结论解：根据二项式系数的性质可得，（x-1?）15展开式中，二项式系数最大是?=?，是第 8 项或第 9 项，又（x-1?）15展开式中的奇数项为“+”，偶数项符号为“”，二项式（x-1?）15的展开式中系数最大的项是第9 项故答案为：94如图，在矩形区域ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是1-?4【分析】求出有信号的区域面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可得到结论解：扇形区域ADE 和扇形区域CBF 的面积之和为14?=?2，矩形的面积S2，则该地点无信号的面积S2-?2，则对应的概率P=2-?22=?-?4，故答案为：1-?45记?=?=?+?+?+?，若 a1 4.47，a2 4.51，a3 4.61，a4 4.65，a5 4.76则?=?=?另有正整数Ai（1i5）的和仍是23，若以 Ai来估计 ai，则“误差和”?=?|?-?|的最小值为1.96【分析】先将?=?=?分解为a1+a2+a3+a4+a5 23，以 Ai来估计ai，根据绝对值的性质和物理上处理误差的原理，a1a2 4，a3a4a55 时，?=?|?-?|取到最小值，代入题中的表达式即可求出这个最小值解：根据题意，?=?=?+?+?+?+?=?当“误差和”?=?|?-?|取最小值时，a1a24，a3a4a55，此时：?=?|?-?|=|4 4.47|+|44.51|+|54.61|+|54.65|+|54.76|1.96，故答案为：1.966在平行四边形ABCD 中，O 是 AC 与 BD 的交点，P、Q、M、N 分别是线段OA、OB、OC、OD 的中点，在APMC 中任取一点记为E，在 B、Q、N、D 中任取一点记为F，设G 为满足向量?=?+?的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形 ABCD 外（不含边界）的概率为34【分析】本题主要考查了古典概型的综合运用，属中档题关键是列举出所有G 点的个数，及落在平行四边形ABCD 不含边界）的G 点的个数，再将其代入古典概型计算公式进行求解解：由题意知，G 点的位置受到E、F 点取法不同的限制，令（E，F）表示 E、F 的一种取法，则（A，B），（A，Q），（A，N），（A，D）（P，B），（P，Q），（P，N），（P，D）（M，B），（M，Q），（M，N），（M，D）（C，B），（C，Q），（C，N），（C，D）共有 16 种取法，而只有（P，Q），（P，N），（M，Q），（M，N）落在平行四边形内，故符合要求的 G 的只有 4 个，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率P=16-416=34故答案为：347设函数f（x）=?，?-?-?，?-?，则当 x 1 时，则 ff（x）表达式的展开式中含x2项的系数是60【分析】根据分段函数的解析式先求出ff（x）表达式，再根据利用二项展开式的通项公式写出第r+1 项，整理成最简形式，令x 的指数为2 求得 r，再代入系数求出结果解：由函数f（x）=?，?-?-?，?-?，当 x 1 时，f（x）2x1，此时 f（x）minf（1）211，ff（x）（2x1）6（2x+1）6，Tr+1C6r2rxr，当 r2 时，系数为C6222 60，故答案为：608由 1，2，3，1000 这个 1000 正整数构成集合A，先从集合A 中随机取一个数a，取出后把 a 放回集合 A，然后再从集合A 中随机取出一个数b，则?13的概率为16672000【分析】P（?13）1 P（?13），由?13，得 a13?，求出 P（?13）=3332000，由此能求出?13的概率解：由 1，2，3，1000 这个 1000 正整数构成集合A，先从集合A 中随机取一个数a，取出后把a 放回集合 A，然后再从集合A 中随机取出一个数b，P（?13）1P（?13），?13，a13?，P（?13）=3332000，则?13的概率 P（?13）1-3332000=16672000故答案为：166720009从 0，1，2，9 这 10 个整数中任意取3 个不同的数作为二次函数f（x）ax2+bx+c的系数，则使得?(1)2 Z 的概率为4181【分析】由题意可得f（1）a+b+c 是偶数，分 a，b，c 里面三个都是偶数和 a，b，c 里面一个偶数、两个奇数，两种情况，分别求得满足条件的（a，b，c）的个数，相加即得所求基本事件的个数，从而可求出使得?(1)2 Z 的概率解：由题意可得f（1）a+b+c 是偶数，若 a，b，c 里面三个都是偶数，则（a，b，c）（a0）共有?-?=?个，若 a，b，c 里面一个偶数，两个奇数，则（a，b，c）（a0）共有?-?=?个，使得?(1)2 Z 的事件共有48+280328 个，从 0，1，2，9 这 10 个整数中任意取3 个不同的数的事件共?-?=?个，使得?(1)2 Z 的概率为?=328648=4181，故答案为：418110已知当|x|12时，有11+2?=?-?+?-?+(-?)?+?，根据以上信息，若对任意|x|12都有?(1-?3)(1+2?)=a0+a1x+a2x2+anxn+，则a111102【分析】推导出|x|12，11-?3=1+（x3）1+（x3）2+（x3）3+（x3）n+，求出|x|12，都有?(1-?3)(1+2?)=?+?+?+?+?+?的泰勒展开式中含x11的项是T（2x）101x+（2x）6x x3+（2x）4x x6+（2x）1xx91102x11由此能求出a11解：|x|12时，有11+2?=12x+4x2+（2x）n+|x|12，11-?3=1+（x3）1+（x3）2+（x3）3+（x3）n+，|x|12，都有?(1-?3)(1+2?)=?+?+?+?+?+?的泰勒展开式中含x11的项是：T（2x）101 x+（2x）6xx3+（2x）4x x6+（2x）1 xx91102x11解得 a111102故答案为：1102二.选择题11设 P1、P2、P3、P4为空间中的四个不同点，则“P1、P2、P3、P4中有三点在同一条直线上”是“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件【分析】“P1、P2、P3、P4中有三点在同一条直线上”?“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”，“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”知“P1、P2、P3、P4中可以任意三点不在同一条直线上”，由此能求出结果解：设 P1、P2、P3、P4为空间中的四个不同点，则“P1、P2、P3、P4中有三点在同一条直线上”?“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”，“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”知“P1、P2、P3、P4中可以任意三点不在同一条直线上”，“P1、P2、P3、P4中有三点在同一条直线上”是“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”的充分非必要条件故选：A12设 l是直二面角，直线a 在平面 内，直线b 在平面 内，且 a、b 与 l 均不垂直，则（）Aa 与 b 可能垂直，但不可能平行B a 与 b 可能垂直也可能平行Ca 与 b 不可能垂直，但可能平行Da 与 b 不可能垂直，也不可能平行【分析】利用空间中线线间的位置关系求解解：l 是直二面角，直线a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且 a、b 与 l 均不垂直，当 al，且 bl 时，由平行公理得a b，即 a，b 可能平行，故A 与 D 错误；当 a，b 垂直时，若二面角是直二面角，则a l，与已知矛盾，a 与 b 不可能垂直，也有可能平行故选：C13函数 f：1，2，31，2，3满足 f（f（x）f（x），则这样的函数个数共有（）A1 个B4 个C8 个D10 个【分析】将f（1）、f（2）、f（3）取不同的值进行讨论，得出结论解：1、f（1）f（2）f（3）1 或 2 或 3，共 3 个2、f（1）1；f（2）f（3）2 或 3，共 2 个f（2）2；f（1）f（3）1 或 3，共 2 个f（3）3；f（1）f（2）1 或 2，共 2 个3、f（1）1；f（2）2；f（3）3；1 个所以这样的函数共有10 个故选D14如图，棱长为2 的正方体ABCD A1B1C1D1中，E 为 CC1的中点，点P，Q 分别为面A1B1C1D1和线段 B1C 上动点，则 PEQ 周长的最小值为（）A2?B?C?D?【分析】由题意得：PEQ 周长取最小值时，P 在 B1C1上，在平面B1C1CB 上，设 E 关于 B1C 的对称点为M，关于 B1C1的对称点为N，求出MN，即可得到 PEQ 周长的最小值解：由题意得：PEQ 周长取最小值时，P 在 B1C1上，在平面 B1C1CB 上，设 E 关于 B1C 的对称点为M，关于 B1C1的对称点为N，连结 MN，当 MN 与 B1C1的交点为P，MN 与 B1C 的交点为M 时，则 MN 是 PEQ 周长的最小值，EM 2，EN=?，MEN 135，MN=?+?-?(-22)=?PEQ 周长的最小值为?故选：B三、解答题15在四棱锥PABCD 中，底面正方形ABCD 的边长为2，PA底面 ABCD，E 为 BC 的中点，PC 与平面 PAD 所成的角为?22（1）求 PA 的长度；（2）求异面直线AE 与 PD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）【分析】（1）推导出CDPA，CDAD，从而CD平面PAD，进而是 CPD 是 PC与平面 PAD 所成的角，由PC 与平面 PAD 所成的角为?22得 tan CPD=?=2?=22，求出 PD2?，由此能求出PA（2）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与 PD 所成角的大小解：（1）在四棱锥PABCD 中，底面正方形ABCD 的边长为2，PA底面 ABCD，CDPA，CDAD，又 PAADA，CD平面 PAD，CPD 是 PC 与平面 PAD 所成的角，PC 与平面 PAD 所成的角为?22tan CPD=?=2?=22，解得 PD2?，PA=?-?=(?)?-?=2（2）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），E（2，1，0），P（0，0，2），D（0，2，0），?=（2，1，0），?=（0，2，2），设异面直线AE 与 PD 所成角为，则 cos=|?|?|?|?|=25?8=1010，异面直线AE 与 PD 所成角的大小 arccos 101016电视传媒为了解某市100 万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100 名观众进行调查如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5 小时的观众称为“足球迷”，并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5 小时的观众称为“铁杆足球迷”（1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10 万名观众根据调查，如果票价定为100 元/张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看如果票价提高10 x 元/张（x N），则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少10 x%，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少100?+11%问票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10 万人？【分析】（1）求出后三组数据的频率之和，利用频率乘以样本容量得频数求得“足球迷”的人数和“铁杆足球迷”人数；（2）设票价为100+10 x 元，求出一般“足球迷”和“铁杆足球迷”中去现场看球的人数，根据现场观看足球比赛的人数不超过10 万人，列出不等式通过解不等式求得正整数x的值，可得答案解：（1）样本中“足球迷”出现的频率（0.16+0.10+0.06）0.516%，“足球迷”的人数10016%16（万），“铁杆足球迷”100（0.060.5）3（万）16 万“足球迷”中，“铁杆足球迷”约有3 万人；（2）设票价为100+10 x 元，则一般“足球迷”中约有13（110 x%）万人，“铁杆足球迷”约有?(?-100?+11%)万人去现场看球，令?(?-?%)+?(?-100?+11%)=?-13?10-3?+11?，化简得：13x2+113x 6600解得：?-16513，或?，由 x N，x4，即平均票价至少定为100+40140 元，才能使前往现场观看足球比赛的“足球迷”不超过 10 万人17如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，DA DC2，?=?，E 是 C1D1的中点，F是 CE 的中点（1）求证：EA平面 BDF；（2）求证：平面BDF 平面 BCE；（3）求二面角D EBC 的正切值【分析】（1）连接 AC 交 BD 于 O 点，连接 OF，欲证 EA平面 BDF，在平面BDF 内寻找一直线与直线EA 平行即可，而 OF 是 ACE 的中位线，OF AE，又 AE?平面 BDF，OF?平面 BDF，满足定理条件；（2）欲证平面BDF 平面BCE，找线面垂直，根据线面垂直的判定定理可知DF 平面 BCE，又 DF?平面 BDF，从而得到结论；（3）由（2）知 DF 平面 BCE，过 F 作 FG BE 于 G 点，连接 DG，则 DG 在平面 BCE中的射影为FG，则 DGF 即为二面角DEBC 的平面角，在三角形DGF 中求出此角的正切值即可解：（1）连接 AC 交 BD 于 O 点，连接OF，可得 OF 是 ACE 的中位线，OF AE，又 AE?平面 BDF，OF?平面 BDF，所以 EA平面 BDF；（2）计算可得DEDC2，又 F 是 CE 的中点，所以DF CE又 BC平面 CDD1C1，所以 DF BC，又 BCCEC，所以 DF 平面 BCE又 DF?平面 BDF，所以平面BDF 平面 BCE（理）；（3）由（2）知 DF 平面 BCE，过 F 作 FG BE 于 G 点，连接 DG，则 DG 在平面 BCE中的射影为FG，从而 DGBE，所以 DGF 即为二面角DEBC 的平面角，设其大小为 ，计算得?=?，?=22，?=?=?18正四棱锥PABCD 的底面正方形边长是3，O 是在底面上的射影，PO 6，Q 是 AC上的一点，过Q 且与 PA、BD 都平行的截面为五边形EFGHL（1）在图中做出截面EFGHL，并写出作图过程；（2）求该截面面积的最大值【分析】（1）Q 是 AC 上的一点，过Q 作 ELBD，交 AB 于点 E，交 AD 于点 L，过Q 作 QGPA，交 PC 于点 G，过点 E 作 EF PA，交 PB 于 F，过点 L 作 HL PA，交PD 于点 H，连结 FG，GH，FH，从而得到过Q 且与 PA，BD 都平行的截面EFGHL（2）由 PA截面 EFGHL，BD截面 EFGHL，得 PAEF，PAHL，PAGQ，BDEL，BD FH，推导出 PO平面 ABCD，BD AC，POBD，从而 BD 平面 PAC，BD PA，EF EL，由 FH BD，PABCD 是正四棱锥，得到截面EFGHL是由两个全等的直角梯形组成，AEL 是等腰直角三角形，由此能求出截面EFGHL 的面积最大值解：（1）由题可知，Q 是 AC 上的一点，过 Q 且与 PA，BD 都平行的截面为五边形EFGHL，过 Q 作 ELBD，交 AB 于点 E，交 AD 于点 L，过 Q 作 QGPA，交 PC 于点 G，过点 E 作 EF PA，交 PB 于 F，过点 L 作 HL PA，交 PD 于点 H，连结 FG，GH，FH，EF PA，HL PA，GQPA，EF HL GQ，E，F，G，H，L 共面，Q 平面 EFGHL，ELBD，EL?平面 EFGHL，BD 平面 EFGHL，同理，PA平面 EFGHL，过 Q 且与 PA，BD 都平行的截面EFGHL 如右图（2）由题意可知，PA截面 EFGHL，BD截面 EFGHL，PA EF，PAHL，PAGQ，BD EL，BDFH，O 是 P 在底面上的射影，PO6，PO平面 ABCD，BD AC，PO BD，且 ACBD O，BD 平面 PAC，则 BDPA，EF EL，FH BD，PABCD 是正四棱锥，PH PF，PFG PHG，GF GH，截面 EFGHL 是由两个全等的直角梯形组成，EL BD，AEL 是等腰直角三角形，设 EQx，则 QLx，?=?=?=322-?3 22，EF（1-23?）PA，同理，QG（1-26?）PA，PA=?+?=922，设截面 EFGHL 面积为 S，则 S（EF+QG）EQ（2-22?）?9 22?，S=-92?+?=-92（x-?）2+9，当且仅当x=?时，S有最大值为9，截面 EFGHL 的面积最大值为9