2019年10月2020届北京市西城区四中2017级高三上学期10月月考数学试卷及解析.pdf
2019年 10 月 2020届西城区四中 2017级高三上学期 10 月月考数学试卷祝考试顺利一、选择题1.tan690o的值为（）A.33B.3C.33D.3【答案】C【解析】试题分析：因33,故应选 C.2.设数列 an 是等差数列，若 a3+a4+a512，则 a1+a2+a7（）A.14 B.21 C.28 D.35【答案】C【解析】【分析】根据等差数列性质得到44a，再计算12747aaaa得到答案.【详解】数列 an是等差数列，则345443142aaaaa；1247728aaaa故选：C3.设R，则“sincos”是“sin21”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】sincos，得4k，得sin21 成立；若sin21，得4k，得sincos.，即可判断【详解】若sincos，则tan1,4k，得sin2sin 2sin142k成立；反之，若sin21，则2224kk，得sincos?sincos?“sin21?.，故是的充分必要条件故选 C.【点睛】本题考查充分条件与必要条件，属基础题.易错点是“sincos”推出“sin21”.4.定义：abadbccd，若复数 z 满足112ziii，则 z 等于（）A.1+iB.1 iC.3+iD.3 i【答案】B【解析】【分析】根据定义得到1zziiii，代入数据化简得到答案.【详解】根据题意知：11121ziziiiziiii故选：B5.已知集合512,1,1Mx xxRPxxZx，则MPI等于（）A.03,xxxZB.03,xxxZC.10,xxxZD.10,xxxZ【答案】B【解析】【分析】解绝对值不等式可得集合M,解分式不等式可得集合P,即可求得 MPI【详解】集合12,Mx xxR解绝对值不等式12x,可得13Mxx集合51,1PxxZx解分式不等式51,1xZx,可得14,PxxxZ则1314,03,MPxxxxxZxxxZ故选:B 6.在同一坐标系内，函数11()2,()2xxf xg x的图象关于（）A.原点对称B.x 轴对称C.y 轴对称D.直线y=x 对称【答案】C【解析】因为1()2()xg xfx，所以两个函数的图象关于y 轴对称，故选 C7.函数112ln xy（）在点 P（2，k）处的切线是（）A.x2y0 B.xy10 C.x2y10 D.2 x2y30【答案】C【解析】【分析】求导得到121yx，当2x时，11,22yy，计算得到切线方程.【详解】1ln11221xyyx（），当2x时，11,22yy故切线方程为：11221022yxxy故选：C8.函数()f x在定义域 R内可导，若()(2)fxfx，且当(,1)x时，(1)()0 xfx，设(0)af，1)2(bf，(3)cf，则（）A.abcB.cabC.cbaD.bca【答案】B【解析】【详解】x（-，1）时，x-1 0，由（x-1）?f （x）0，知 f （x）0，所以（-，1）上f（x）是增函数f（x）=f（2-x），f（3）=f（2-3）=f（-1）所以 f（-1）（0）1()2f，因此 cab故选 B9.已知fx是定义在 R上的周期为 4的奇函数，当0,2x时，2lnfxxx，则2019f（）A.1B.0C.1D.2【答案】A【解析】【分析】由函数yfx的周期性和奇函数的性质可得出201911fff，代入解析式可得出2019f的值.【详解】由于函数yfx定义在 R上周期为 4的奇函数，且当0,2x时，2lnfxxx，2201945051111ln11ffff，故选 A.10.设函数 f（x）3sinxm，若存在 f（x）的极值点 x0满足 x02+f（x0）2m2，则 m的取值范围是（）A.（，6）（6，+）B.（，4）（4，+）C.（，2）（2，+）D.（，1）（1，+）【答案】C【解析】【分析】求导得到3cosxfxmm，计算得到0,2mxmk kZ，代入式子化简得到223304kkm，取0k或1k时计算得到答案.【详解】3sinxfxm，则3cosxfxmm故00003cos0,22xxmfxkxmk kZmmm2222222003330,24mmxf xkmkkmkZm（）当0k或1k时得：233024mm或2m故选：C二、填空题11.函数 f（x）12121logx（）的定义域是 _【答案】（12，0）（0，+）【解析】【分析】根据定义域定义得到12210log210 xx（）计算得到答案.【详解】函数1212log1fxx（）的定义域满足：12210100,log2102xxx，（）故答案：100,2，12.曲线xye在点22,e处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 .【答案】22e【解析】解析：依题意得 y=ex，因此曲线 y=ex在点 A（2，e2）处的切线的斜率等于e2，相应的切线方程是y-e2=e2（x-2），当 x=0 时，y=-e2即 y=0 时，x=1，切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：221122eSe13.已知等比数列na的公比为 2,前 n 项和为nS,则42Sa=_.【答案】152【解析】由等比数列的定义，S4=a1a2a3a4=2aqa2a2qa2q2，得42Sa1q1qq2=152.14.如图，设 A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在 A所在的河岸边选定一点 C，测出 AC的距离为 50 m，ACB 45，CAB 105后，则 A，B两点的距离为 m【答案】50 2m【解析】由正弦定理得50sin 4550 2sin(18010545)oooo15.已知函数2()lnf xxxx，且0 x是函数()f x的极值点给出以下几个命题：010 xe；01xe；00()0f xx；00()0f xx其中正确的命题是 _ （填出所有正确命题的序号）【答案】【解析】试 题 分 析：的 定 义 域 为，所 以 有，所 以 有即即，所以有；因为，所以有16.设函数 f（x）21421xaxxaxax，（）（），若 a1，则 f（x）的最小值为 _；若 f（x）恰有 2 个零点，则实数a 的取值范围是 _【答案】(1).1 (2).12a1，或 a2【解析】【分析】分别计算1x和1x的最小值，比较得到答案.设h（x）2xa，g（x）4（xa）（x2a），讨论h x有一个零点和没有零点两种情况，计算得到答案【详解】当 a1 时，f（x）2114121xxxxx，（）（），当 x1 时，f（x）2x1 为增函数，f（x）1，当 x1 时，f（x）4（x1）（x2）4（x23x+2）4（x32）21，当 1x32时，函数单调递减，当x32时，函数单调递增，故当x32时，f（x）minf（32）1，故最小值为1设h（x）2xa，g（x）4（xa）（x2a）若在 x1 时，h（x）与 x 轴有一个交点，所以 a0，并且当 x1 时，h（1）2a0，所以 0a2，而函数 g（x）4（xa）（x2a）有一个交点，所以 2a1，且 a1，所以12a1，若函数 h（x）2xa 在 x1 时，与 x 轴没有交点，则函数 g（x）4（xa）（x2a）有两个交点，当 a0时，h（x）与 x 轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当 h（1）2a0时，即 a2时，g（x）的两个交点满足x1a，x22a，满足题意的综上所述：a 的取值范围是12a1，或 a2故答案为：-1；12a1，或 a2三、解答题17.已知：an是公比大于 1 的等比数列，Sn为其前 n 项和，S37，且 a1+3，3a2，a3+4 构成等差数列（1）求数列 an通项公式；（2）令 bnlog2a3n+1，求数列 bn的前 n 项和 Tn【答案】（1）an2n1，nN（2）Tn32（n2+n）【解析】【分析】（1）直接利用等比数列公式和等差中项公式计算得到答案.（2）计算得到3nbn，直接利用等差数列求和公式得到答案.【详解】（1）an是公比 q 大于 1 的等比数列，Sn为其前 n 项和，S37，可得a1（1+q+q2）7，a1+3，3a2，a3+4 构成等差数列，可得6a2a1+3+a3+4，即 6a1qa1+a1q2+7，由可得 a11，q2，则 an2n1，nN*；（2）32312logl23ognnnban，数列 bn的前 n 项和 Tn3（1+2+n）312n（n+1）32（n2+n）18.设函数 f(x)sin(2 x)(0)，因而 f(1)1，f(1)1，所以曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程为 y1(x 1)，即 xy20.(2)由 f(x)1axxax，x0知：当 a0时，f(x)0，函数 f(x)为(0，)上的增函数，函数 f(x)无极值；当 a0 时，由 f(x)0，解得 xa，又当 x(0，a)时，f(x)0，从而函数 f(x)在 xa 处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当 a0时，函数 f(x)无极值；当 a0时，函数 f(x)在 xa 处取得极小值 aaln a，无极大值20.在ABC中，内角,A B C对边分别是,a b c，若4cos,2.5Bb（1）当5,3a求角A的度数；（2）求ABC面积的最大值【答案】（1）30.A（2）3.【解析】【详解】解：（1）43cos,sin,55sinsinabBBABQQ52153sin,2,(0,),30.3sin2325AAAAQ 5 分（2）13sin,210SacBacQ22222882cos,242555bacacBacacacacacQ得10ac，3310Sac所以ABC面积的最大值为 3.12 分21.某制药厂准备投入适当的广告费，对产品进行宣传，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q311xx（x0）已知生产此产品的年固定投入为3 万元，每生产 1 万件此产品仍需后期再投入32 万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和（注：投入包括“年固定投入”与“后期再投入”）（1）试将年利润 w万元表示为年广告费x 万元的函数，并判断当年广告费投入100 万元时，企业亏损还是盈利？（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？【答案】（1）w2983521xxx（）,企业亏损（2）当年广告费投入7 万元时，企业年利润最大【解析】【分析】（1）先计算售价为9962QxQ，再计算利润为9963322QxwQxQQ，化简得到答案.（2）化简得到164(1)5021wxx，利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）由题意，每件售价为332QQ150%xQ50%9962QxQ，则299699626649835332222(1)QxQxxQxxwQxQQx，则当 x100 时，w100009800352 1010，故企业亏损（2）29835164(1)50508422(1)21xxwxxx（当且仅当 x7 时等号成立）故当年广告费投入7 万元时，企业年利润最大22.已知：函数 f（x）2lnx ax2+3x，其中 aR（1）若f（1）2，求函数f（x）的最大值；（2）若 a1，正实数 x1，x2满足 f（x1）+f（x2）0，证明：123172xx【答案】（1）f（x）max2ln 2+2（2）证明见解析【解析】【分析】（1）计算得到1a，求导得到函数的单调区间，再计算最大值得到答案.（2）代入数据得到22ln3fxxxx=，得到21212121232lnxxxxx xx x，设lnh ttt 得到函数的最小值得到不等式（x1+x2）2+3（x1+x2）2，计算得到答案.【详解】（1）f（1）2，a+32，a1，f（x）2lnx x2+3x，f （x）2x2x+3212xxx（）（），由 f （x）0 得，0 x2，有 f （x）0 得，x2，f（x）在（0，2）为增函数，在（2，+）为减函数，f（x）maxf（2）2ln 2+2；（2）证明：当 a1，f（x）2lnx+x2+3x，f（x1）+f（x2）2lnx1+x12+3x1+2lnx2+x22+3x20，（x1+x2）2+3（x1+x2）2（x1x2lnx1x2），令 h（t）t lnt，h（t）111ttt，由h（x）0 得，t1，由h（x）0 得，0t1，h（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+）上为增函数，h（x）minh（1）1，（x1+x2）2+3（x1+x2）2，（x1+x2）2+3（x1+x2）20，解得：123172xx【点睛】本题考查了函数的最值，利用导数证明不等式，构造函数lnh ttt是解题的关键.
