2020年浙江省金华市永康市中考数学一模试卷(解析版).pdf

2020 年金华市永康市中考数学一模试卷一、选择题1 2 的倒数是（）A 2B2CD2下列计算不正确的是（）Aa2?a3a5B（a2）3 a6Ca3a2 aDa3+a3a63截至 2020 年 5 月 4 日，海外确诊病例累计逾349.5 万例，数 349.5 万用科学记数法表示为（）A3.495 106B34.95 105C3.495105D0.3495 1074如图，直线a，b 被直线 c 所截，那么2 的同旁内角是（）A 1B 3C 4D 55如图所示的几何体，它的左视图是（）ABCD6中国抗击疫情最宝贵的经验就是“早发现，早报告，早隔离，早治疗”在这12 个字中“早”字出现的频率是（）ABCD7如图，将等边AOB 放在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，4），点 B 在第一象限，将等边 AOB 绕点 O 顺时针旋转180得到 AOB，则点 B 的对应点B的坐标是（）ABCD（0，4）8如图，将边长分别为10cm 和 4cm 的矩形纸片沿着虚线剪成两个全等的梯形纸片裁剪线与矩形较长边所夹的锐角是45，则梯形纸片中较短的底边长为（）A2cmB2.5cmC3cmD3.5cm9公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形如果大正方形的面积是 125，小正方形面积是25，则（sin+cos）2（）ABCD10如图，抛物线y ax2+bx+1 的顶点在直线ykx+1 上，对称轴为直线x1，有以下四个结论：ab0，b，a k，当 0 x1 时，ax+bk，其中正确的结论是（）ABCD二、填空题（本题有6 小题，每小题4 分，共 24 分）11若二次根式有意义，则x 的取值范围是12因式分解：a3+2a2+a13不等式组的解集为14已知样本1，3，9，a，b 的众数是9，平均数是6，则中位数为15如图，在四边形ABCD 中，ADBC，ARt，AD2cm，AB4cm，BC6cm，点 E 是 CD 中点，过点B 画射线 BF 交 CD 于点 F，交 AD 延长线于点G，且 GBE CBE，则线段DG 的长为cm16图 1 是一种推磨工具模型，图2 是它的示意图，已知ABPQ，APAQ3dm，AB12dm，点 A 在中轴线l 上运动，点B 在以 O 为圆心，OB 长为半径的圆上运动，且OB4dm（1）如图3，当点B 按逆时针方向运动到B时，AB与 O 相切，则AAdm（2）在点 B 的运动过程中，点P 与点 O 之间的最短距离为dm三、解答题（本题有8 小题，共66 分，各小题都必须写出解答过程）17 4sin60+|3|+（2020）018解分式方程：19如图 1 是一手机支架，其中AB8cm，底座 CD1cm，当点 A 正好落在桌面上时如图2 所示，ABC 80，A60（1）求点 B 到桌面 AD 的距离；（2）求 BC 的长（结果精确到0.1cm；参考数据：sin50 0.77，cos50 0.64，tan501.19，1.73）20某学校为了解学生疫情期间一天在线学习时长，进行了一次随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图请根据图中信息解答下列问题：（1）求参与问卷调查的总人数（2）补全条形统计图，并求出一天在线学习“57 个小时”的扇形圆心角度数（3）若该校共有学生1800 名，试估计全校一天在线学习“7 小时以上”的学生人数21如图，在84 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点 A，B，C 都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图（1）画出 ABC 的重心 P（2）在已知网格中找出所有格点D，使点 D 与 ABC 的其中两个顶点构成的三角形的面积与 ABC 的面积相等22如图，已知 C 过菱形 ABCD 的三个顶点B，A，D，连结 BD，过点 A 作 AE BD 交射线 CB 于点 E（1）求证：AE 是C 的切线（2）若半径为2，求图中线段AE、线段 BE 和围成的部分的面积（3）在（2）的条件下，在C 上取点F，连结 AF，使 DAF 15，求点F 到直线AD 的距离23我们知道求函数图象的交点坐标，可以联立两个函数解析式组成方程组，方程组的解就是交点的坐标如：求直线 y2x+3 与 y x+6 的交点坐标，我们可以联立两个解析式得到方程组，解得，所以直线y 2x+3 与 y x+6 的交点坐标为（1，5）请利用上述知识解决下列问题：（1）已知直线ykx 2 和抛物线yx22x+3，当 k4 时，求直线与抛物线的交点坐标；当 k 为何值时，直线与抛物线只有一个交点？（2）已知点 A（a，0）是 x 轴上的动点，B（0，4），以 AB 为边在 AB 右侧做正方形 ABCD，当正方形ABCD 的边与反比例函数y的图象有4个交点时，试求a 的取值范围24如图 1，矩形 ABCD 中，AB8，BC6，点 E，F 分别为 AB，AD 边上任意一点，现将 AEF 沿直线 EF 对折，点A 对应点为点G（1）如图 2，当 EF BD，且点 G 落在对角线BD 上时，求DG 的长；（2）如图 3，连接 DG，当 EF BD 且 DFG 是直角三角形时，求AE 的值；（3）当 AE2AF 时，FG 的延长线交BCD 的边于点H，是否存在一点H，使得以 E，H，G 为顶点的三角形与AEF 相似，若存在，请求出AE 的值；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题（本题有10 小题，每小题3分，共 30 分）1 2 的倒数是（）A 2B2CD【分析】根据倒数的定义：乘积是1 的两数互为倒数一般地，a?1（a0），就说 a（a0）的倒数是解：2 的倒数是，故选：C2下列计算不正确的是（）Aa2?a3a5B（a2）3 a6Ca3a2 aDa3+a3a6【分析】直接利用幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案解：A、a2?a3a5，正确，故此选项不合题意；B、（a2）3a6，正确，故此选项不合题意；C、a3a2a，正确，故此选项不合题意；D、a3+a32a3，原题错误，故此选项符合题意；故选：D3截至 2020 年 5 月 4 日，海外确诊病例累计逾349.5 万例，数 349.5 万用科学记数法表示为（）A3.495 106B34.95 105C3.495105D0.3495 107【分析】科学记数法表示较大的数形式为a 10n的形式，其中1|a|10，n 为整数，10 的指数 n 比原来的整数位数少1解：349.5 万 34950003.495106，故选：A4如图，直线a，b 被直线 c 所截，那么2 的同旁内角是（）A 1B 3C 4D 5【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角解：直线a、b 被直线 c 所截，2 的同旁内角是4故选：C5如图所示的几何体，它的左视图是（）ABCD【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案解：从左边看是等宽的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线，故选：D6中国抗击疫情最宝贵的经验就是“早发现，早报告，早隔离，早治疗”在这12 个字中“早”字出现的频率是（）ABCD【分析】根据频率进行计算即可解：在这12 个字中“早”字出现的频率是：，故选：D7如图，将等边AOB 放在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，4），点 B 在第一象限，将等边 AOB 绕点 O 顺时针旋转180得到 AOB，则点 B 的对应点B的坐标是（）ABCD（0，4）【分析】作BH y 轴于 H，如图，利用等边三角形的性质得到OH AH2，BOA 60，再计算出BH，从而得到B 点坐标为（2，2），然后根据关于原点对称的点的坐标特征求出点B的坐标解：作 BHy 轴于 H，如图，OAB 为等边三角形，OHAH 2，BOA 60，BH OH 2，B 点坐标为（2，2），等边 AOB 绕点 O 顺时针旋转180得到 AOB，点 B的坐标是（2，2）故选：C8如图，将边长分别为10cm 和 4cm 的矩形纸片沿着虚线剪成两个全等的梯形纸片裁剪线与矩形较长边所夹的锐角是45，则梯形纸片中较短的底边长为（）A2cmB2.5cmC3cmD3.5cm【分析】根据矩形的性质得出A B90，ABDC4，AD BC，根据矩形的判定得出四边形ABFQ 是矩形，求出 ABFQ DC4，求出 EQFQ4，即可得出答案解：过 F 作 FQ AD 于 Q，则 FQE 90，四边形ABCD 是矩形，A B90，ABDC4，ADBC，四边形ABFQ 是矩形，AB FQDC4，AD BC，QEF BFE 45，EQFQ4，AE CF（104）3（cm），故选：C9公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形如果大正方形的面积是 125，小正方形面积是25，则（sin+cos）2（）ABCD【分析】先由两个正方形的面积分别得出其边长，设 ACBD a，由勾股定理解得a 的值，后按照正弦函数和余弦函数的定义得出sin和 cos的值，最后代入要求的式子计算即可解：大正方形的面积是125，小正方形面积是25，大正方形的边长是5，小正方形的边长是5，设 ACBD a，如图，ABD 中，由勾股定理得：a2+（5+a）2，解得 a5，sin，cos，（sin+cos）2故选：A10如图，抛物线y ax2+bx+1 的顶点在直线ykx+1 上，对称轴为直线x1，有以下四个结论：ab0，b，a k，当 0 x1 时，ax+bk，其中正确的结论是（）ABCD【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案解：抛物线开口向下，a0，抛物线的对称轴为直线x1，b 2a0，ab0，所以 正确，符合题意；x 1 时，y0，即 ab+10，b 2a，a，b+10，b，所以 错误，不符合题意；当 x1 时，ya+b+1a2a+1 a+1，抛物线的顶点坐标为（1，a+1），把（1，a+1）代入 ykx+1 得 a+1k+1，a k，所以 正确，符合题意；当 0 x1 时，ax2+bx+1kx+1，即 ax2+bxkx，ax+bk，所以 正确，符合题意故选：B二、填空题（本题有6 小题，每小题4 分，共 24 分）11若二次根式有意义，则x 的取值范围是x 1【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+10，再解不等式即可解：由题意得：x+10，解得：x 1，故答案为：x 112因式分解：a3+2a2+aa（a+1）2【分析】先提取公因式a，再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式完全平方公式：a22ab+b2（a b）2解：a3+2a2+a，a（a2+2a+1），（提取公因式）a（a+1）2（完全平方公式）故答案为：a（a+1）213不等式组的解集为2x5【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可解：，由 得，x2，由 得 x5，故此不等式组的解集为：2x5故答案为：2x514已知样本1，3，9，a，b 的众数是9，平均数是6，则中位数为8【分析】先根据众数的定义判断出a，b 中至少有一个是9，再用平均数求出a+b17，即可得出结论解：样本1，3，9，a，b 的众数是 9，a，b中至少有一个是9，样本 1，3，9，a，b 的平均数为6，（1+3+9+a+b）6，a+b17，a，b中一个是9，另一个是8，这组数为1，3，9，8，9，即 1，3，8，9，9，这组数据的中位数是8故答案为：815如图，在四边形ABCD 中，ADBC，ARt，AD2cm，AB4cm，BC6cm，点 E 是 CD 中点，过点B 画射线 BF 交 CD 于点 F，交 AD 延长线于点G，且 GBE CBE，则线段DG 的长为1cm【分析】延长BE 交 AG 的延长线于H，由“AAS”可证 DH BC6cm，由等腰三角形的性质可得BG GH6DG，由勾股定理可求解解：如图，延长BE 交 AG 的延长线于H，AD BC，H EBC，C HDE，点 E 是 CD 中点，DE CE，DEH CEB（AAS），DH BC6cm，GBE CBE，GBE H，BGGH 6DG，BG2AG2+AB2，（6DG）2（2+DG）2+16，DG1cm，故答案为：116图 1 是一种推磨工具模型，图2 是它的示意图，已知ABPQ，APAQ3dm，AB12dm，点 A 在中轴线l 上运动，点B 在以 O 为圆心，OB 长为半径的圆上运动，且OB4dm（1）如图 3，当点 B 按逆时针方向运动到B时，A B与 O 相切，则 AA（164）dm（2）在点 B 的运动过程中，点P 与点 O 之间的最短距离为（34）dm【分析】（1）AAOAOA AB+OBOA，即可求解；（2）当 B、O、P 三点共线时，OP 的距离最短，即可求解解：（1）A A OA OA AB+OB OA 12+4 16 16 4，故答案为：（164）；（2）当 B、O、P 三点共线时，OP 的距离最短，则 OPBP OB34（dm），故答案为：（34）三、解答题（本题有8 小题，共66 分，各小题都必须写出解答过程）17 4sin60+|3|+（2020）0【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案解：原式 42+3+122+3+1418解分式方程：【分析】按解分式方程的步骤求解即可，注意检验解：去分姆，得3xx2解方程，得x 1经检验，x 1 是分式方程的解所以，原分式方程的解为x 119如图 1 是一手机支架，其中AB8cm，底座 CD1cm，当点 A 正好落在桌面上时如图2 所示，ABC 80，A60（1）求点 B 到桌面 AD 的距离；（2）求 BC 的长（结果精确到0.1cm；参考数据：sin50 0.77，cos50 0.64，tan501.19，1.73）【分析】（1）过点 B 作 BEAD 于点 E，根据含30 度角的直角三角形的性质即可求出答案（2）延长交 BE 于点 F，根据锐角三角函数的定义即可求出答案解：（1）过点 B 作 BEAD 于点 E，AEB 90，A60，AB8，BE 4，点 B 到桌面 AD 的距离是4（2）延长交 BE 于点 F，BFC 90 A60，ABC 80，CBF 50，由题意可知：BF41，cos50，BC9.3cm，BC 的长度为9.3cm20某学校为了解学生疫情期间一天在线学习时长，进行了一次随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图请根据图中信息解答下列问题：（1）求参与问卷调查的总人数（2）补全条形统计图，并求出一天在线学习“57 个小时”的扇形圆心角度数（3）若该校共有学生1800 名，试估计全校一天在线学习“7 小时以上”的学生人数【分析】（1）利用 A 类的人数除以所占百分比即可；（2）利用总人数乘以B 类所占百分比可得B 类人数，再减去 18 可得 B 类男生人数，再补图即可利用360乘以 C 类人数所占比例可得一天在线学习“57 个小时”的扇形圆心角度数；（3）利用样本估计总体的方法计算即可解：（1）参与问卷调查的总人数：（40+26）55%120（人）；（2）120 25%1812（人），一天在线学习“5 7个小时”的扇形圆心角度数：36018；（3）1800 45（人），答：估计全校一天在线学习“7 小时以上”的学生人数为45 人21如图，在84 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点 A，B，C 都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图（1）画出 ABC 的重心 P（2）在已知网格中找出所有格点D，使点 D 与 ABC 的其中两个顶点构成的三角形的面积与 ABC 的面积相等【分析】（1）重心是三角形的中线的交点，作ABCD 的中线 CE，BF 交于点 P，点 P即为所求（2）根据等高模型解决问题即可解：（1）如图 1 中，点 P 即为所求（2）如图 2 中，点 D，D，D即为所求22如图，已知 C 过菱形 ABCD 的三个顶点B，A，D，连结 BD，过点 A 作 AE BD 交射线 CB 于点 E（1）求证：AE 是C 的切线（2）若半径为2，求图中线段AE、线段 BE 和围成的部分的面积（3）在（2）的条件下，在C 上取点F，连结 AF，使 DAF 15，求点F 到直线AD 的距离【分析】（1）连接 AC证明 AEAC 即可解决问题（2）证明 ABC 是等边三角形，推出ACB 60，AE AC?tan60 2，根据 S阴 SAECS扇形ACB求解即可（3）分两种情形：如图 2 中，当点F 在上时 如图 3 中，当点F 在优弧上时，分别求解即可【解答】（1）证明：如图1 中，连结AC，四边形ABCD 是菱形，AC BD，又 BD AE，AC AE，AE 是O 的切线（2）如图 1 中，四边形ABCD 是菱形，AB BC，又 ACBC，ABC 是等边三角形，ACB 60，AC 2，AE AC?tan60 2，S阴 SAEC S扇形ACB222（3）如图 2 中，当点 F 在上时，DAF 15，DCF 30，ACD 60，ACF FCD，点 F 是弧 AD 的中点，CF AD，点 F 到直线 AD 的距离 CFCA?cos30 2 如图 3 中，当点F 在优弧上时，DAF 15，DCF 30，过点 C 作 CG AD 于 D，过点 F 作 FH CG 于 H，可得 AFH 15，HFC 30，CH 1，点 F 到直线 AD 的距离 CG CHAC?cos30 CH 1综上所述，满足条件的点F 到直线 AD 的距离为2或 123我们知道求函数图象的交点坐标，可以联立两个函数解析式组成方程组，方程组的解就是交点的坐标如：求直线 y2x+3 与 y x+6 的交点坐标，我们可以联立两个解析式得到方程组，解得，所以直线y 2x+3 与 y x+6 的交点坐标为（1，5）请利用上述知识解决下列问题：（1）已知直线ykx 2 和抛物线yx22x+3，当 k4 时，求直线与抛物线的交点坐标；当 k 为何值时，直线与抛物线只有一个交点？（2）已知点 A（a，0）是 x 轴上的动点，B（0，4），以 AB 为边在 AB 右侧做正方形 ABCD，当正方形ABCD 的边与反比例函数y的图象有4个交点时，试求a 的取值范围【分析】（1）由题意得：，解得，即可求解；利用 0，即可求解；（2）分 a0、a0 两种情况，探讨正方形的边与反比例函数图象交点的情况，进而求解解：（1）由题意得：，解得：，所以直线与抛物线的交点坐标是（1，2），（5，18）；联立两个函数并整理得：x2（k+2）x+50，（k2）2450，解得：k 2；（2）当 a0 时，如图1，点 A、B 的坐标分别为：（a，0）、（0，4），由点 A、B 的坐标得，直线AB 的表达式为：yx+4，当线段 AB 与双曲线有一个交点时，联立 AB 表达式与反比例函数表达式得：x+4，整理得：4x24ax+2a0，（4a）216 2a0，解得：a2，故当 a2 时，正方形ABCD 与反比例函数的图象有4 个交点；当 a0 时，如图2，（）当边AD 与双曲线有一个交点时，过点 D 作 ED x 轴于点 E，BAO+DAE 90，DAE+ADE 90，ADE BAO，AB AD，AOB DEA 90，AOB DEA（AAS），ED AO a，AEOB4，故点 D（a+4，a），由点 A、D 的坐标可得，直线AD 的表达式为：ya（xa），联立 AD 与反比例函数表达式并整理得：ax2a2x160，（a2）24a（16）0，解得：a 4（不合题意值已舍去）；（）当边BC 与双曲线有一个交点时，同理可得：a 16，所以当正方形ABCD 的边与反比例函数的图象有4个交点时，a 的取值范围为：16a 4；综上所述，a 的取值范围是a2 或 16a 424如图 1，矩形 ABCD 中，AB8，BC6，点 E，F 分别为 AB，AD 边上任意一点，现将 AEF 沿直线 EF 对折，点A 对应点为点G（1）如图 2，当 EF BD，且点 G 落在对角线BD 上时，求DG 的长；（2）如图 3，连接 DG，当 EF BD 且 DFG 是直角三角形时，求AE 的值；（3）当 AE2AF 时，FG 的延长线交BCD 的边于点H，是否存在一点H，使得以 E，H，G 为顶点的三角形与AEF 相似，若存在，请求出AE 的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）连接 AG，如图 2 所示，首先证明AG BD，解直角三角形即可解决问题（2）分两种情形：当 DGF 90时，此时点D，G，E 三点共线，当 GDF 90时，点G 在 DC 上，过点E 作 EH CD 于 H，则四边形ADHE 是矩形，分别求解即可（3）分四种情形：当 AEF GHE 时，如图41，过点 H 作 HP AB 于 P当 AEF GHE 时，如图42，过点 H 作 HP AB 于 P 当 AEF GEH 时，如图 43，过点 G 作 MN AB 交 AD 于点 M，过点 E 作 EN MN 于 N 当 AEF GEH 时，如图 44，过点 G 作 MN AB 交 AD 于点 M，过点 E 作 EN MN 于 N，过点 H 作 HQAD 于 Q，分别求解即可解：（1）连接 AG，如图 2 所示，由折叠得：AGEF，EF BD，AGBD，在矩形 ABCD 中，AB8，BC6，DAB 90，AD BC6，DB 10，cos ADB，DGAD?cosADB 6（2）当 DGF 90时，此时点D，G，E 三点共线，设 AF 3t，则 FG 3t，AE4t，DF 63t，在 Rt DFG 中，DG2+FG2DF2，即 DG2（63t）2（3t）23636t，tan FDG，解得 t，AE 当 GDF 90时，点G 在 DC 上，过点 E 作 EH CD 于 H，则四边形ADHE 是矩形，EH AD 6设 AF 3t，则 FG 3t，AE4t，DF 63t，FDG FGE EHG 90，DGF+DFG 90，DGF+EGH 90，DFG EGH，GDF EHG，DG，GH8 4k，DG+GHAE，+84k4k，k，AE综上所述：AE或（3）当 AEF GHE 时，如图41，过点 H 作 HPAB 于 P，AEF FEG EHG，EHG+HEG 90，FEG+HEG 90，A FEH 90，AEF EHF，EF：HEAF：AE1：2，A HPE 90，AEF+HEP 90，HEP+EHP 90，AEF EHP，AEF HPE，EA：HPEF：EH 1：2，HP 6，AE 3 当 AEF GHE 时，如图42，过点 H 作 HP AB 于 P，同法可得EF：HE 1：2，EA：HP 1：2，设 AF t，则 AE 2t，EP2t，HP4t，BP 84t，BHP BDA，4t：6（8 4t）：8，解得：t，AE 当 AEF GEH 时，如图 43，过点 G 作 MN AB 交 AD 于点 M，过点 E 作 ENMN 于 N设 AF t，则 AE 2t，DF6t，由翻折可知：AEF GEF，AE GE，AEF GEH，AEGE，AEF GEH（AAS 或 ASA），FG GH，MGDH，FM（6t），AM EN AF+FM，又 FMG GNE，且 GF：GE 1：2，MGNEAM，GN2FN 6t，MN AE，+6t2t，解得 t，AE 当 AEF GEH 时，如图 44，过点 G 作 MN AB 交 AD 于点 M，过点 E 作 ENMN 于 N，过点 H 作 HQ AD 于 Q，设 AF t，则 AE2t，设 FM a，NG2a，NE a+t，MGENAM，+2a2t，由上题可知：MF MQ a，QH 2MGa+t，DQ6t 2a，解得 t，AE，综上所述，满足条件的AE 的值为 3 或或或