2020届高三开学摸底大联考全国卷数学(文)试题(解析版).pdf

第 1 页 共 18 页2020 届高三开学摸底大联考全国卷数学（文）试题一、单选题1若复数122iz，21zi，则12zz（）A2iB2iC22iD22i【答案】B【解析】直接利用复数的除法计算得解.【详解】由题得12(22)(1)42(1)(1)2ziiiizii.故选：B【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2某商场开展转转盘抽奖活动，每抽奖一次转动一次转盘（转盘如图），经测量可知一等奖，二等奖和三等奖所在扇形区域的圆心角分别为20，50和60，则抽奖一次中一等奖的概率为（）A1336B1736C1936D118【答案】D【解析】直接利用几何概型的概率公式求解.【详解】由几何概型的概率公式得抽奖一次中一等奖的概率20136018P.故选：D【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.第 2 页 共 18 页3已知实数,x y满足2,2,0,yxyx则xy的最小值为（）A0B 2C2D1【答案】C【解析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合求xy的最小值.【详解】由题得不等式组对应的可行域如图所示，设,zxyyxz，它表示斜率为1，纵截距为-z 的直线系，当直线经过点A(0,2)时，直线的纵截距-z 最大，z 最小.所以min022z.故选：C【点睛】本题主要考查线性规划，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4已知椭圆2222:1(0)xyCabab，12,FF为其左、右焦点，122 2F F，B 为短轴的一个端点，三角形1BF O（O为坐标原点）的面积为7，则椭圆的长轴长为（）A4B 8C1332D133【答案】B【解析】先根据已知求出b，c,再求出 a 得解.【详解】第 3 页 共 18 页由题得2c，172bc，又222cab，解得14b，4a，所以长轴长为8.故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5函数212()log68f xxx的单调递增区间为（）A(4,)B(,2)C(3,)D(3,4)【答案】A【解析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性原理求解.【详解】由题得函数()f x 定义域为(,2)(4,)，函数268(4uxxx或2x）的增区间为(4,)，函数12logvu在定义域内是减函数，kv在定义域内是减函数，由复合函数的单调性得()f x 的单调递增区间为(4,).故选：A【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6已知集合|31Axx，集合2|lg 2Bx yx，则AB（）A2,1B(2,1C 3,2)D(3,2)【答案】D【解析】先化简集合B,再求AB得解.【详解】由题得(2,2)B，因为|31 Axx，所以(3,2)AB.第 4 页 共 18 页故选：D【点睛】本题主要考查对数函数的定义域的求法，考查集合的并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7如图，在梯形ABCD中，2BCAD，DEEC，设BAa，BCb，则BE（）A1124ab+rrB1536abC2233ab+rrD1324ab【答案】D【解析】取BC中点F，再利用向量的线性运算求解即可.【详解】取BC中点F，则1113122242BEBCCEBCFABCBABCBCBA1324ab.故选：D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.8在一次考试后，为了分析成绩，从1、2、3 班中抽取了3 名同学（每班一人），记这三名同学为、ABC，已知来自 2 班的同学比B 成绩低，A与来自 2 班的同学成绩不同，C的成绩比来自3 班的同学高.由此判断，下列推断正确的为（）AA来自 1 班B B 来自 1 班CC来自 3 班DA来自 2 班【答案】B【解析】由题分析得B 不是来自2 班，A不是来自2 班，C来自 2 班，再进一步分析得解.第 5 页 共 18 页【详解】由题得，B 不是来自2 班，A不是来自2 班，所以C来自 2 班，又 B 的成绩比来自2 班的同学高，C的成绩比来自3 班的同学高，所以 B 不能来自 3 班，只能来自1 班.故选：B【点睛】本题主要考查推理证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9执行如图所示的程序框图，则输出S的值为()A3B 2020C3030D1010【答案】C【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】解：模拟程序的运行，可得10a，23a，32a，45a，54a，67a可知12343aaaa，当2020i时，1010 33030S故选：C【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题10元代数学家朱世杰编著的算法启蒙中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七第 6 页 共 18 页节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（）A1 升B32升C23升D43升【答案】B【解析】由题意得12676aaaa，由等差数列的性质即可直接得解.【详解】设竹子自下而上的各节容米量分别为1a，2a7a，则有12676aaaa，由等差数列的性质可得17423aaa，所以432a故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.11已知函数(2)yf x的图像关于直线2x对称，在(0,)x时，()f x 单调递增.若ln34af，13ebf，1lncf（其中 e为自然对数的底，为圆周率），则,a b c的大小关系为（）AacbB abcCcabDcba【答案】A【解析】由题得函数()f x 的图像关于y轴对称，且(0,)x时，()fx 单调递增，再求出ln344，1013e，12ln1，即得解.【详解】因为函数(2)yf x的图像关于直线2x对称，所以函数()f x 的图像关于y轴对称，且(0,)x时，()f x 单调递增，又ln 31，所以ln344，1013e，因为2ee，所以12ln1，第 7 页 共 18 页因为1013e，所以ln3114ln3e，所以acb.故选：A【点睛】本题主要考查函数的图象和性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 2 的正方形，PA底面ABCD，异面直线AC与PD所成的角的余弦值为105，则四棱锥外接球的表面积为（）A48B 12C36D 9【答案】D【解析】如图，将其补成长方体.设PAx，连接1B C，利用余弦定理求出x=1,再求出几何体外接球的半径，即得解.【详解】如图，将其补成长方体.设PAx，连接1B C，则异面直线AC与PD所成的角就是1ACB或其补角.则2212210844cos522 22xxACBx，所以1x，所以外接球的半径为2221312222，所以棱锥外接球的表面积为23492.故选：D【点睛】第 8 页 共 18 页本题主要考查余弦定理和几何体外接球的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13命题:px，(0,1)y，2xy的否定为 _.【答案】00,(0,1)xy，002xy【解析】直接利用全称命题的否定得解.【详解】因为命题:px，(0,1)y，2xy是全称命题，所以它的否定为00,(0,1)xy，002xy.故答案为：00,(0,1)xy，002xy.【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.14已知()sin(0,10)3f xAxA在12x时取得最大值，则_.【答案】2【解析】由图像得1232k，kZ，解之得解.【详解】由图像得1232k，kZ.解得122k，kZ，10，所以2.故答案为：2【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15已知数列na，其前n项和2nSnn，设12nanb，则数列nb的前 10 项和等于 _.【答案】10231024【解析】先求出2nan，12nnb，再利用等比数列的求和公式求解.第 9 页 共 18 页【详解】当 n=1 时，11=2aS.2211(1)(1)2(1)nnnaSSnnnnn，所以2nan，(2)n,适合 n=1.所以2nan.所以12nnb，所以数列nb是一个以12为首项，以12为公比的等比数列，所以nb的前 10 项和为10101112211023112102412.故答案为：10231024【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等比数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16 双曲线22221(0,0)xyabab，12,FF为其左、右焦点，线段2F A垂直直线byxa，垂足为点A，与双曲线交于点B，若2F BBA，则该双曲线的离心率为_.【答案】2【解析】先求出2,aabAcc，22,22caabBcc，将点 B 坐标代入双曲线方程得222ca，即得解.【详解】由题得2F A所在的直线方程为()ayxcb，与直线byxa的交点为2,aabAcc.因为2F BBA，所以 B 为线段2F A的中点，所以22,22caabBcc，第 10 页 共 18 页将点 B 坐标代入双曲线方程得2222222222244aca bbaa bcc所以222ca，所以2cea.【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17在ABC中，,a b c分别为角,A B C对应的边，已知：222210cos6cos3bBabCbca.（1）求cosB；（2）若2AB，D为BC边上的点，且2BDDC，56ADC，求ADC的面积.【答案】（1）35；（2）1216325【解析】（1）利用余弦定理化简222210cos6cos3bBabCbca得3cos5B；（2）由正弦定理得165AD，再求出34 3sin10BAD，即得ADC的面积.【详解】（1）由222210cos6cos3bBabCbca得222210cos6cos3cbBabcCc bca.所以22235 cos3 cos2c bcabBaCbc.所以5 cos3 cos3 cosbBaCcA.所以5sincos3sincos3sincosBBACCA.所以5sincos3sin()3sinBBACB所以3cos5B.（2）由（1）得4sin5B，第 11 页 共 18 页所以sinsinADABBADB，即24152AD得165AD.又34 3sinsin610BADB.所以12432 3sin225ABDSABADBAD.所以11216 3225ADCABDSS.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18如图，三角形DCF所在平面垂直四边形ABCD所在平面，2ABADFC，5BC，90ADCDABFCD，,N P分别为,AF BC的中点.（1）证明：/PN平面FDC；（2）求棱锥ABDF的高.【答案】（1）见解析；（2）4 1717【解析】（1）取AD中点M，连接,PM MN，先证明平面/PMN平面FDC，/PN平面FDC即得证；（2）设棱锥ABDF的高为h，求出43A BDFFABDVV，再解方程11417333A BDFBDFVShh得解.【详解】（1）取AD中点M，连接,PM MN，因为,P N分别为,BC AF的中点，第 12 页 共 18 页所以/MNFD，因为MN平面 FDC,FD平面 FDC,所以/MN平面FDC.由题得/PMCD，因为PM平面 FDC,CD平面 FDC,所以/PM平面FDC.因为,MN PM平面 MNP,MNPNN,由面面平行的判定定理得平面/PMN平面FDC，又PN平面PMN，所以/PN平面FDC.（2）由ABCD是直角梯形，90ADCDAB，2ABAD，5BC，得3CD，又平面PCD平面ABCD，FCCD，FC平面ABCD.1111422232323ABDFFABDVVABADFC.设棱锥ABDF的高为h，2213FDFCCD，222 2BDADAB=+=.223FBBCCF，所以2222cos26BDFBFDDBFBDFB.所以2234sin166DBF，1134sin2 2317226BDFSBDFBDBF.11417333A BDFBDFVShh.得4 1717h.所以棱锥ABDF的高为4 1717.【点睛】第 13 页 共 18 页本题主要考查直线平面位置关系的证明，考查点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握和计算水平.19移动支付（支付宝支付，微信支付等）开创了新的支付方式，使电子货币开始普及，为了了解习惯使用移动支付方式是否与年龄有关，对某地 200 人进行了问卷调查，得到数据如下：60 岁以上的人群中，习惯使用移动支付的人数为30 人；60 岁及以下的人群中，不习惯使用移动支付的人数为40 人.已知在全部200 人中，随机抽取一人，抽到习惯使用移动支付的人的概率为0.6.（1）完成如下的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关，并说明理由.习惯使用移动支付不习惯使用移动支付合计（人数）60 岁以上60 岁及以下合计（人数）200（2）在习惯使用移动支付的60 岁以上的人群中，每月移动支付的金额如下表：每月支付金额100,2000(2000,3000300 以上人数15x5现采用分层抽样的方法从中抽取6 人，再从这6 人中随机抽取2 人，求这 2 人中有 1人月支付金额超过3000 元的概率.附：22()()()()()n adbcKab cdac bd，其中nabcd.20P Kk0.1000.0500.0100.0010k2.7063.8416.63510.828【答案】（1）表格见解析，有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关；（2）13【解析】（1）完成列联表，再利用独立性检验计算判断得解；（2）利用古典概型的概率第 14 页 共 18 页公式求这2 人中有 1 人月支付金额超过3000 元的概率.【详解】（1）列联表如图：习惯使用移动支付不习惯使用移动支付合计（人数）60 岁以上30407060 岁及以下9040130合计（人数）1208020022002400 2400120013.18710.82870 130 120 8091K.所以有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关.（2）由（1）得10 x，所以在抽取的6 人中，月支付金额在100,2000的有 3 人，记为123,AAA；在(2000,3000)的为 2 人，记为12,B B；3000 以上的为1 人，记为C.则从 6 人中抽取两人，共有12,A A，13,A A，11,A B，12,A B，1,A C，23,AA，21,A B，22,A B，2,A C，31,A B，32,A B，3,A C，12,B B，1,B C2,BC15 种取法.其中共有1,A C，2,A C，3,A C，1,B C，2,B C5 种符合条件，所以51153P.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算和独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20已知圆22:()(1)13()CxayaR，点3,3P在圆内，在过点P 所作的圆的所有弦中，弦长最小值为4 2.（1）求实数a 的值；（2）若点 M 为圆外的动点，过点M 向圆 C 所作的两条切线始终互相垂直，求点M 的轨迹方程.第 15 页 共 18 页【答案】（1）2或 4；（2）22(2)(1)26xy或22(4)(1)26xy.【解析】(1)由题点P与圆心的连线与弦垂直,即点P为弦的中点时,过点P的弦长最短.再根据垂径定理求解实数a 的值即可.(2)根据圆的性质可得点M 的轨迹为,1a为圆心,以26为半径的圆,再根据(1)中的两种情况求解即可.【详解】（1）由圆22:()(1)13()CxayaR得到圆心坐标为,0a点3,3P在圆内,所以22(3)(13)13a解得06a,由圆的弦的性质可知,点 P 与圆心的连线与弦垂直,即点 P 为弦的中点时,过点 P 的弦长最短在过点 P 所作的圆的所有弦中,弦长最小值为4 2.所以222(3)(1 3)(2 2)13a,解得2a或 4,（符合06a）.（2）由（1）可知,2a或4a时,因为过点M 向圆 C 作的两条切线总互相垂直,所以由圆的切线的性质可知两条切线和垂直于切线的两条半径构成的四边形为正方形,且边长为13,对角线长为26,所以,点 M 的轨迹为,1a为圆心,以26为半径的圆所以点 M 的轨迹方程为22(2)(1)26xy或22(4)(1)26xy.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,包括垂径定理以及轨迹方程的求解,属于中等题型.21函数21()ln,af xxaRxa.（1）讨论函数f(x)的单调性；第 16 页 共 18 页（2）设()2ag xx，当 a0 时，证明：()()0f xg x恒成立.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；【解析】（1）由题意可知0 x，22122()axafxxxx，再对a分情况讨论，分别分析函数()f x 的单调性；（2）要证()()0f xg x，只需证12 0alnxxa，设1()2ah xlnxxa，利用导数得到()h x在xa时取得极小值，所以11minh xh alnaa，再令11m alnaa，利用导数得到m a在1a时取得极小值，所以最小值为10m，从而得出当0a时，()0h x恒成立，即()()0f xg x恒成立【详解】解：（1）由题意可知0 x，22122()axafxxxx，当0a时，()0fx，()f x 在(0,)上单调递增，当0a时，i当02xa时，()0fx，所以()f x 在(0,2)a上单调递减，ii 当2xa时，()0fx，iii当2xa时，()0fx，所以()f x 在(2,)a上单调递增；（2）要证()()0f xg x，所以只需证12 0alnxxa，设1()2ah xlnxxa，则221()axah xxxx，当(0,)xa时，()0h x；当xa时，()0h x；当(,)xa时，()0h x，()h x在xa时取得极小值，即为最小值11minh xh alnaa，令11m alnaa，则22111amaaaa，当(0,1)a时，0m a；当1a时，0m a；当(1,)a时，0m a，m a在1a时取得极小值，即最小值为10m，当0a时，()0h x恒成立，即()()0f xg x恒成立【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，属于中档题第 17 页 共 18 页22在平面直角坐标系xOy中，直线l的倾斜角为4，且过点(5,)Ma，曲线C的参数方程为4cos,3sinxy（为参数）.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）当曲线C上的点到直线l的最大距离为5 2时，求直线l的直角坐标方程.【答案】（1）221169xy；（2）50 xy或50 xy.【解析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果【详解】解：（1）由4cos,3sinxy（为参数）得cos,4sin.3xy所以2222sincos43xy.所以曲线C的直角坐标方程为221169xy.（2）直线l的方程为5yax，即50 xya.设曲线C上任一点(4cos,3sin)M，则点M到直线l的距离|4cos3sin(5)|5cos()(5)|22aad（其中3tan4）.当5a时，max555 22ad，解得10a.当50a时，max|55|105 222aad，解得0a综合可知直线l的直角坐标方程为50 xy或50 xy.【点睛】第 18 页 共 18 页本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题23已知函数()|1|2|f xxx.（1）求不等式()1fx的解集；（2）若()|1|f xa的解集为实数集R，求实数a的取值范围.【答案】（1）(,0)；（2）(,24,).【解析】（1）将()f x 写为分段函数的形式，然后根据()1f x，分别解不等式即可；（2）由（1）知()3maxf x，然后根据()|1|f xa的解集为实数集R，可得()|1|maxf xa，再解关于a的不等式即可【详解】（1）由题可得3,1,()21,12,3,2,xf xxxx()1f x，1x或12211xx，1x或10 x，0 x，所以不等式的解集为(,0).（2）由（1）可得()3maxf x若()|1|f xa的解集为R，只需|1|3a.解得2a或4a，所以实数a的取值范围为(,24,).【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题