2020年山西省太原市高考数学二模试卷(理科)(解析版).pdf

2020 年高考（理科）数学二模试卷一、选择题（共12 小题）.1已知集合Ax|x2+x20B1，0，1，2，则（）AAB 2BABRCB（?RA）1，2DB（?RA）x|1x22已知 a 是实数，?+?1-?是纯虚数，则a 等于（）A1B 1C?D-?3已知?=?，?=?.?.?，?=?.?.?，则（）AabcBacbCbacDca b4如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理nN（modm）表示正整数 n 除以正整数m 的余数为N，例如 104（mod6）执行该程序框图，则输出的n 等于（）A11B13C14D175若?，?是两个非零向量，且|?+?|=?|?|=?|?|，?，?则向量?与?-?夹角的取值范围是（）A?3，2?3B?3，5?6C2?3，5?6D5?6，?6函数?=1?-?(?+1)的图象大致为（）ABCD7圆周率 是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对进行了估算现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算假设某校共有学生N 人，让每人随机写出一对小于1 的正实数a，b，再统计出a，b，1 能构造锐角三角形的人数M，利用所学的有关知识，则可估计出的值是（）A4?B4(?-?)?C2?+?D4?+2?8设奇函数f（x）在（0，+）上为增函数，且f（1）0，则不等式?(?)-?(-?)?0 的解集为（）A（1，0）（1，+）B（，1）（0，1）C（，1）（1，+）D（1，0）（0，1）9过抛物线y24x 的焦点的直线l 与抛物线交于A，B 两点，设点M（3，0）若 MAB的面积为?，则|AB|（）A2B4C?D810 已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 an=(?-1)2?数列 bn满足 bn（1）n?（2n+1）an，则数列 bn的前 100 项和 T100为（）A101100B-101100C-100101D10010111对于函数?(?)=12(?+?)-12|?-?|有下列说法：f（x）的值城为 1，1；当且仅当?=?+?4(?)时，函数f（x）取得最大值；函数f（x）的最小正周期是；当且仅当?(?，?+?2)(?)时 f（x）0其中正确结论的个数是（）A1B2C3D412 三棱锥 PABC 中 ABBC，PAC 为等边三角形，二面角 PAC B 的余弦值为-63，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8 则三棱锥体积的最大值为（）A1B2C12D13二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13已知（x1）（ax+1）5的展开式中，x2的系数为0，则实数a14已知双曲线?2?2-?2?2=?（a0，b0）的左右顶点分别为A，B，点 P 是双曲线上一点，若 PAB 为等腰三角形，PAB 120，则双曲线的离心率为15已知数列 an满足?=?-1?(?+1?+1-?)+?（n N*），且a26，则 an的通项公式为16改革开放40 年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求某城市的A 先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5 分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1（单位：分钟）服从正态分布N（33，42），下车后步行再到单位需要 12 分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2（单位：分钟）服从正态分布 N（44，22），从地铁站步行到单位需要5 分钟现有下列说法：若 8：00 出门，则乘坐公交一定不会迟到；若 8：02 出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同；若 8：06 出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大；若 8：12 出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大则以上说法中正确的序号是参考数据：若ZN（，2），则 P（Z+）0.6826，P（2 Z+2）0.9544，P（3 Z+3）0.9974三、解答题：共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若?2?-?2?=2?-?2，且 ABC外接圆的半径为1（）求角C；（）求 ABC 面积的最大值18 如图，四边形 ABCD 是边长为4 的菱形，BAD 60，对角线 AC 与 BD 相交于点O，四边形 ACFE 为梯形，EFAC，点 E 在平面 ABCD 上的射影为OA 的中点，AE 与平面 ABCD 所成角为45（）求证：BD平面 ACF；（）求平面DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值19已知 F1，F2是椭圆 C：?2?2+?2?2=?（ab 0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线 x+y1 被椭圆截得的弦的中点坐标为?(34，14)（）求椭圆C 的方程；（）过F1的直线 l 交椭圆于A，B 两点，当 ABF2面积最大时，求直线l 的方程20 为实现 2020 年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400 件，对其核心部件的尺寸x，进行统计整理的频率分布直方图根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x 满足：|x12|1 为一级品，1|x 12|2为二级品，|x 12|2 为三级品（）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400 件样本中抽取40件产品，再从所抽取的40 件产品中，抽取2 件尺寸 x 12，15的产品，记 为这 2 件产品中尺寸x 14，15的产品个数，求的分布列和数学期望；（）将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验已知每箱有100 件产品，每件产品的检验费用为50 元检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二级品；若不检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付200 元补偿现从一箱产品中随机抽检了 10 件，结果发现有1 件三级品 若将甲设备的样本频率作为总体的慨率，以厂家支付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检验？请说明理由；（）为加大升级力度，厂家需增购设备已知这种产品的利润如下：一级品的利润为500 元/件；二级品的利润为400 元/件；三级品的利润为200 元/件乙种设备产品中一、二、三级品的概率分别是25，12，110若将甲设备的样本频率作为总体的概率，以厂家的利润作为决策依据应选购哪种设备？请说明理由21已知函数f（x）lnx+ax+1（）若函数f（x）有两个零点，求a 的取值范围；（）f（x）xex恒成立，求a 的取值范围（二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为?=?+1，?=2?+1?+1（t 为参数），曲线C2的参数方程为?=?+?=?（为参数），以坐标原点为极点x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（）射线?=?(?2)与曲线 C2交于 O，P 两点，射线?=?2+?与曲线 C1交于点 Q，若 OPQ 的面积为1，求|OP|的值选修 4-5：不等式选讲23已知 a，b，c 为正实数（）若a+b+c1，证明：(1?-?)(1?-?)(1?-?)?；（）证明：?+?+?+?+?+?32参考答案一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1已知集合Ax|x2+x20B1，0，1，2，则（）AAB 2BABRCB（?RA）1，2DB（?RA）x|1x2【分析】先求出集合A，再求两集合的交，并，补，可判断正误解：Ax|x2+x2 0 x|x 2 或 x1 AB2 故选：A【点评】本题考查集合的基本运算，属于基础题2已知 a 是实数，?+?1-?是纯虚数，则a 等于（）A1B 1C?D-?【分析】利用复数的运算法则即可得出解：?+?1-?=(?+?)(1+?)(1-?)(1+?)=?-12+?+12?是纯虚数，?-12=?，?+120，解得 a1，故选：A【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题3已知?=?，?=?.?.?，?=?.?.?，则（）AabcBacbCbacDca b【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解解：?，0 a12，log0.50.2log25 log24，b2，0.510.50.20.50，12?，ac b，故选：B【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用4如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理nN（modm）表示正整数 n 除以正整数m 的余数为N，例如 104（mod6）执行该程序框图，则输出的n 等于（）A11B13C14D17【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足以下条件的最小两位数：被 3 除余 2，被 4 除余 1，故输出的n 为 17，故选：D【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题5若?，?是两个非零向量，且|?+?|=?|?|=?|?|，?，?则向量?与?-?夹角的取值范围是（）A?3，2?3B?3，5?6C2?3，5?6D5?6，?【分析】根据题意，设|?|?|t，向量?与?-?夹角为 ，又由|?+?|mt，由向量模的计算公式变形可得：?=?2?22-t2，进而可得|?-?|的值，由数量积公式可得cos=?(?-?)|?|?-?|=-12?-?，结合 m 的范围，分析可得cos的范围，结合余弦函数的性质分析可得答案解：根据题意，设|?|?|t，则|?+?|mt，再设向量?与?-?夹角为 ，则有|?+?|2（?+?）2=?2+?2+2?=m2t2，变形可得：?=?2?22-t2，则有|?-?|2（?-?）2=?2+?22?=2t22（?2?22-t2）4t2m2t2，变形可得|?-?|=?-?t，则 cos=?(?-?)|?|?-?|=?-?2|?|?-?|=?2?22-?2-?2?4-?2?=12?2-44-?2=-12?-?，又由 1m?，则 1?-?，则有-32cos -12，又由 0 ，则有2?3 5?6，即 的取值范围为2?3，5?6；故选：C【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题6函数?=1?-?(?+1)的图象大致为（）ABCD【分析】根据函数是否存在零点，以及f（1）的符号，利用排除法进行判断即可解：f（1）=11-?20，排除 C，D，由?=1?-?(?+1)=0，则方程无解，即函数没有零点，排除B，故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法是解决本题的关键7圆周率 是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对进行了估算现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算假设某校共有学生N 人，让每人随机写出一对小于1 的正实数a，b，再统计出a，b，1 能构造锐角三角形的人数M，利用所学的有关知识，则可估计出的值是（）A4?B4(?-?)?C2?+?D4?+2?【分析】N 个实数对（a，b）都在边长为1 的正方形AOBC 内，若 a，b，1 能构造锐角三角形，则a2+b2 1，所以 N 对实数对落在单位圆x2+y2 1 外的有M 对，再利用几何概率的概率公式即可求出的近似值解：学校共有学生N 人，每人随机写出一对小于1 的正实数a，b，得到 N 个实数对（a，b），因为 0a1，0b1，所以N 个实数对（a，b）都在边长为1 的正方形AOBC 内，如图所示：若 a，b，1 能构造锐角三角形，因为1 是最长边，所以1 所对的角为锐角，所以?2+?2-12?，即 a2+b21，所以 N 对实数对落在单位圆x2+y21 外的有 M 对，由几何概率的概率公式可得：?=1 1-14?1211=1-14?，所以=4(?-?)?，故选：B【点评】本题主要考查了几何概率的概率公式，是中档题8设奇函数f（x）在（0，+）上为增函数，且f（1）0，则不等式?(?)-?(-?)?0 的解集为（）A（1，0）（1，+）B（，1）（0，1）C（，1）（1，+）D（1，0）（0，1）【分析】根据函数为奇函数求出f（1）0，再将不等式x f（x）0 分成两类加以分析，再分别利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集解：f（x）为奇函数，且在（0，+）上是增函数，f（1）0，f（1）f（1）0，在（，0）内也是增函数?(?)-?(-?)?=2?(?)?0，即?(?)?或?(?)?根据在（，0）和（0，+）内是都是增函数解得：x（1，0）（0，1）故选：D【点评】本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于基础题结合函数的草图，会对此题有更深刻的理解9过抛物线y24x 的焦点的直线l 与抛物线交于A，B 两点，设点M（3，0）若 MAB的面积为?，则|AB|（）A2B4C?D8【分析】求得抛物线的焦点F 的坐标，可设直线l 的方程为x ty+1，联立抛物线的方程，消去 x，可得 y 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，以及三角形的面积公式，解得 t，进而得到所求值解：抛物线y24x 的焦点 F 为（1，0），可设直线l 的方程为 xty+1，代入抛物线方程，可得y2 4ty40，设 A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y24t，y1y2 4，则|AB|=?+?|y1y2|=?+?(?+?)?-?=?+?+?，MAB 的面积为12|MF|?|y1y2|=122|y1 y2|4?，即?+?=4?，解得 t 1，则|AB|=?+?+?=8，故选：D【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题10 已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 an=(?-1)2?数列 bn满足 bn（1）n?（2n+1）an，则数列 bn的前 100 项和 T100为（）A101100B-101100C-100101D100101【分析】由 an=(?-1)2?求出 a1，a2，猜想出 an=1?(?+1)，然后用数学归纳法证明猜想，再使用裂项相消法求数列bn的前 100 项和 T100解：?=(?-1)2?，当 n 1 时，有 a1=(?1-1)2?1，解得 a1=12；当 n2 时，可解得a2=16，故猜想：an=1?(?+1)，下面利用数学归纳法证明猜想：当 n1，2 时，由以上知道an=1?(?+1)显然成立；假设当nk（k2）时，有ak=1?(?+1)成立，此时Sk=112+123+?+1?(?+1)=11-12+12-13+?+1?-1?+1=?+1成立，那么当n k+1 时，有ak+1=(?+1-1)2?+1=(?+?+1-1)2?+?+1=(?+1+?+1-1)2?+1+?+1，解得 ak+1=1(?+1)(?+1)+1，这说明当nk+1 时也成立由 知：an=1?(?+1)bn（1）n?（2n+1）an，bn（1）n?（2n+1）?1?(?+1)=（1）n（1?+1?+1），数列 bn的前 100 项和 T100（11+12）+（12+13）（13+14）+（1100+1101）1+1101=-100101故选：C【点评】本题主要考查数学归纳法在求数列通项公式中的应用及裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题11对于函数?(?)=12(?+?)-12|?-?|有下列说法：f（x）的值城为 1，1；当且仅当?=?+?4(?)时，函数f（x）取得最大值；函数 f（x）的最小正周期是；当且仅当?(?，?+?2)(?)时 f（x）0其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4【分析】根据绝对值的定义将函数f（x）写成分段函数，再作出函数的图象即可判断各命题的真假解：因为f（x）=?，?，?，作出函数f（x）的图象，如图所示：所以，f（x）的值城为 1，22，错误；函数 f（x）的最小正周期是2，错误；当且仅当?=?+?4(?)时，函数f（x）取得最大值，正确；当且仅当?(?，?+?2)(?)时，f（x）0，正确故选：B【点评】本题主要考查分段函数的图象，以及三角函数的图象与性质的应用，属于中档题12 三棱锥 PABC 中 ABBC，PAC 为等边三角形，二面角 PAC B 的余弦值为-63，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8 则三棱锥体积的最大值为（）A1B2C12D13【分析】由已知作出图象，找出二面角PACB 的平面角，设出AB，BC，AC 的长，即可求出三棱锥PABC 的高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值（用含有 AC 长度的字母表示），再设出球心O，由球的表面积求得半径，根据球的几何性质，利用球心距，半径，底面半径之间的关系求得AC 的长度，则三棱锥体积的最大值可求解：如图所示，过点 P 作 PE面 ABC，垂足为E，过点 E 作 EDAC 交 AC 于点 D，连接 PD，则 PDE 为二面角PACB 的平面角的补角，即有cos PDE=63，易知 AC面 PDE，则 ACPD，而 PAC 为等边三角形，D 为 AC 中点，设 ABa，BCb，AC=?+?=c，则 PEPDsinPDE=32c33=?2，故三棱锥P ABC 的体积为：V=1312ab?2=112?112?2+?22=?324，当且仅当ab=22?时，体积最大，此时B、D、E 共线设三棱锥P ABC 的外接球的球心为O，半径为R，由已知，4 R28，得 R=?过点 O 作 OF PE 于 F，则四边形ODEF 为矩形，则 ODEF=?-(?2)?，ED OFPDcosPDE=32?63=22?，PE=?2，在 Rt PFO 中，（?）2=(22?)?+(?2-?-(?2)?)?，解得 c2三棱锥P ABC 的体积的最大值为：?324=2324=13故选：D【点评】本题考查三棱锥体积最值的求法与三棱锥外接球的表面积的求法，涉及二面角的运用，基本不等式的应用，以及球的几何性质的应用，属于难题二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13已知（x1）（ax+1）5的展开式中，x2的系数为0，则实数a12【分析】将原式转化为x（ax+1）5（ax+1）5，然后利用（ax+1）5的通项研究x2解：原式 x（ax+1）5（ax+1）5，因为（ax+1）5（1+ax）5，故原式 x2项为：?-?(?)?=(?-?)?，令?-?=?，即 5a10a20，解得?=12或 a0（舍）故答案为：12【点评】本题考查二项式展开式通项的应用，以及学生利用方程思想解决问题的能力属于基础题14已知双曲线?2?2-?2?2=?（a0，b0）的左右顶点分别为A，B，点 P 是双曲线上一点，若 PAB 为等腰三角形，PAB 120，则双曲线的离心率为?【分析】设P（m，n）在第二象限，由题意可得|PA|AB|2a，求得P 的坐标，代入双曲线的方程，化简可得a，b 的关系，即可得到所求离心率解：设 P（m，n）在第二象限，由 PAB 为等腰三角形，PAB120，可得|PA|AB|2a，可得 m2acos120 a 2a，n2asin60=?a，即 P（2a，?a），由 P 在双曲线上，可得4?2?2-3?2?2=1，即有?2?2=1，即 a b，可得 e=?=?+?2?2=?，故答案为：?【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查任意角三角函数的定义，考查方程思想和运算能力，属于基础题15已知数列 an满足?=?-1?(?+1?+1-?)+?（n N*），且 a26，则 an的通项公式为2n2 n【分析】易求a11，当 n2 时，对已知等式变形得?-1?-1=?+1?+1-1?，所以数列?-1?-1从第二项开始是常数列，所以?-1?-1=2，从而求出an，验证首项满足an，进而得到 an的通项公式解：数列 an满足?=?-1?(?+1?+1-?)+?（n N*），?-?=?-1?(?+1?+1-?)当 n1 时，a11，当 n2 时，?-?=?-1?(?+1?+1-?)?-1?-1=?+1?+1-1?，数列?-1?-1从第二项开始是常数列，又?22-12-1=2，?-1?-1=2，?=?-?（n2），又 a11 满足上式，?=?-?，故答案为：2n2n【点评】本题主要考查了数列的递推式，是中档题16改革开放40 年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求某城市的A 先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5 分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1（单位：分钟）服从正态分布N（33，42），下车后步行再到单位需要 12 分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2（单位：分钟）服从正态分布 N（44，22），从地铁站步行到单位需要5 分钟现有下列说法：若 8：00 出门，则乘坐公交一定不会迟到；若 8：02 出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同；若 8：06 出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大；若 8：12 出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大则以上说法中正确的序号是参考数据：若ZN（，2），则 P（Z+）0.6826，P（2 Z+2）0.9544，P（3 Z+3）0.9974【分析】利用正态分布对每一个说法求解器复数的概率，逐项分析，即可选出正确答案解：若 8：00 出门，江先生乘坐公交，从家到车站需要5 分钟，下车后步行再到单位需要 12 分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1服从正态分布N（33，42），故当满足P（Z45）=1-?(21?45)2=1-0.99742=?.?江先生仍有可能迟到，只不过概率较小，故 错误；若 8：02 出门，江先生乘坐公交从家到车站需要5 分钟，下车后步行再到单位需要12 分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1服从正态分布N（33，42），故当满足P（Z 41）=1-?(25?41)2+?(?)=?.?时，江先生乘坐公交不会迟到；若 8：02 出门，江先生乘坐地铁从家到车站需要5 分钟，下地铁后步行再到单位需要5 分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2服从正态分布N（44，22），故当满足P（Z 48）=1-?(40?48)2+?(?)=?.?时，江先生乘坐地铁不会迟到此时两种上班方式江先生不迟到的概率相当，故 正确；若 8：06 出门，江先生乘坐公交从家到车站需要5 分钟，下车后步行再到单位需要12 分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1服从正态分布N（33，42），故当满足P（Z37）=1-?(29?37)2+?(?)=0.8413 时，江先生乘坐公交不会迟到；若 8：06 出门，江先生乘坐地铁从家到车站需要5 分钟，下地铁后步行再到单位需要5 分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2服从正态分布N（44，22），故当满足P（Z44）=12=0.5 时，江先生乘坐地铁不会迟到此时两种上班方式，乘坐公交比地铁上班迟到的可能性小，故 错误；若 8：12 出门，江先生乘坐公交从家到车站需要5 分钟，下车后步行再到单位需要12 分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1服从正态分布N（33，42），故当满足P（Z31）时，江先生乘坐公交不会迟到，而 P（Z31）P（Z29）=1-?(29?37)2=?.?；若 8：12 出门，江先生乘坐地铁从家到车站需要5 分钟，下地铁后步行再到单位需要5 分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2服从正态分布N（44，22），故当满足P（Z38）=1-?(38?50)2=?.?时，江先生乘坐地铁不会迟到由 0.1857 0.00135，若 8：12 出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大，故 正确故答案为：【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，正确理解题意是关键，考查计算能力，是中档题三、解答题：共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若?2?-?2?=2?-?2，且 ABC外接圆的半径为1（）求角C；（）求 ABC 面积的最大值【分析】（）由已知利用正弦定理可得sinA=?2，sinB=?2，sinC=?2，代入已知等式整理可得?2+?2-?22?=22，由余弦定理可得cosC，结合范围C（0，），可求C 的值（）由正弦定理可得c，由余弦定理，基本不等式可求ab22-2=2+?，进而利用三角形的面积公式可求ABC 面积的最大值解：（）由正弦定理?=?=?=?，可得 sinA=?2，sinB=?2，sinC=?2，又?2?-?2?=2?-?2，?24-?24?2=2?-?2，a2b2=?ab b2，即?2+?2-?22?=22，由余弦定理可得cosC=?2+?2-?22?=22，C（0，），C=?4（）由正弦定理?=?，可得 c2sin?4=?，由余弦定理2 a2+b22ab?222ab-?ab（2-?）ab，可得 ab22-2=2+?，当且仅当 ab 时等号成立，可得 SABC=12absinC=24ab2+12，当且仅当ab 时等号成立，即ABC 面积的最大值为 2+12【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理可，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18 如图，四边形 ABCD 是边长为4 的菱形，BAD 60，对角线 AC 与 BD 相交于点O，四边形 ACFE 为梯形，EFAC，点 E 在平面 ABCD 上的射影为OA 的中点，AE 与平面 ABCD 所成角为45（）求证：BD平面 ACF；（）求平面DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值【分析】（）取AO 中点 H，连结EH，则 EH 平面ABCD，从而EH BD，再由ACBD，能证明BD 平面 ACF（）以H 为原点，HA 为 x 轴，在平面ABCD 中过 H 作 AC 的垂线为y 轴，HE 为 z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值解：（）证明：取AO 中点 H，连结 EH，则 EH 平面 ABCD，BD 在平面 ABCD 内，EH BD，又菱形 ABCD 中，ACBD，且 EH AC H，EH，AC 在平面 EACF 内，BD 平面 EACF，BD平面 ACF（）解：由（）知EH 平面 ABCD，以 H 为原点，HA 为 x 轴，在平面ABCD 中过 H 作 AC 的垂线为y 轴，HE 为 z 轴，建立空间直角坐标系，EH 平面 ABCD，EAH 为 AE 与平面 ABCD 所成的角，即EAH 45，AB 4，AO2?，AH=?，EH=?，H（0，0，0），A（?，0，0），D（-?，2，0），O（-?，0，0），E（0，0，?），平面 ABCD 的法向量?=（0，0，1），?=（2?，0，0），?=（?，?，?），EF AC，?=?=（2?，0，0），设平面 DEF 的法向量?=（x，y，z），则?=?+?+?=?=-?=?，取 y=?，得?=（0，?，2），cos?，?=?|?|?|?|=-21?7=-277平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值为?-(-277)?=217【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19已知 F1，F2是椭圆 C：?2?2+?2?2=?（ab 0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线 x+y1 被椭圆截得的弦的中点坐标为?(34，14)（）求椭圆C 的方程；（）过F1的直线 l 交椭圆于A，B 两点，当 ABF2面积最大时，求直线l 的方程【分析】（）利用点差法和斜率公式即可求出；（）设A（x3，y3），B（x4，y4），联立直线与椭圆的方程可得（m2+2）y22my10，由三角形面积公式和基本不等式即可求出解：（）直线x+y1 与 y 轴的交于（0，1）点，b 1，设直线 x+y1 与椭圆 C 交于点 M（x1，y1），N（x2，y2），则 x1+x2=32，y1+y2=12，?12?2+?12?2=1，?22?2+?22?2=1，两式相减可得1?2（x1x2）（x1+x2）+1?2（y1 y2）（y1+y2）0，?1-?2?1-?2=-?2(?1+?2)?2(?1+?2)，-?2?2?3212=-1，解得 a2 3，椭圆 C 的方程为?23+y21（）由（）可得F1（-?，0），F2（-?，0），设 A（x3，y3），B（x4，y4），讲直线 l 的方程 x my-?代入?23+y21，可得（m2+3）y22?my 10，则 y3+y4=22?2+3，y3y4=-1?2+3，|y3y4|=(?-?)?-?=23?2+1?2+3，?=12|F1F2|?|y3y4|=?|?|y3y4|=26?2+1?2+3=26?2+1+2?2+12626=?，当且仅当?+?=2?2+1，即 m 1，ABF2面积最大，即直线 l 的方程为xy+?=0 或 x+y+?=0【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，解题的关键是确定几何量之间的关系，利用直线与椭圆联立，结合韦达定理求解20 为实现 2020 年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400 件，对其核心部件的尺寸x，进行统计整理的频率分布直方图根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x 满足：|x12|1 为一级品，1|x 12|2为二级品，|x 12|2 为三级品（）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400 件样本中抽取40件产品，再从所抽取的40 件产品中，抽取2 件尺寸 x 12，15的产品，记 为这 2 件产品中尺寸x 14，15的产品个数，求的分布列和数学期望；（）将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验已知每箱有100 件产品，每件产品的检验费用为50 元检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二级品；若不检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付200 元补偿现从一箱产品中随机抽检了 10 件，结果发现有1 件三级品 若将甲设备的样本频率作为总体的慨率，以厂家支付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检验？请说明理由；（）为加大升级力度，厂家需增购设备已知这种产品的利润如下：一级品的利润为500 元/件；二级品的利润为400 元/件；三级品的利润为200 元/件乙种设备产品中一、二、三级品的概率分别是25，12，110若将甲设备的样本频率作为总体的概率，以厂家的利润作为决策依据应选购哪种设备？请说明理由【分析】（I）计算各区间尺寸的产品件数，再根据超几何分布计算；（II）计算三极品的概率，分别计算两种情况下的费用得出结论；（III）分别计算两种设备生产一件产品的利润数学期望，得出结论解：（I）抽取的 40 件产品中，产品尺寸x 12，15的件数为：40（0.2+0.175+0.075）118，其中 x 14，15的产品件数为40（0.0751）3，的可能取值为0，1，2，P（0）=?152?182=3551，P（1）=?151?31?182=517，P（2）=?32?182=151，的分布列为：01P3551517E 03551+1517+2151=13（II）三级品的概率为（0.1+0.075）10.175，若对剩余产品逐一检验，则厂家需支付费用501005000；若对剩余产品不检验，则厂家需支付费用5010+200900.1753650，50003650，故不对剩余产品进行逐一检验（III）设甲设备生产一件产品的利润为y1，乙设备生产一件产品的利润为y2，则 E（y1）500（0.3+0.2）+400（0.150+0.175）+2000.175415，E（y2）50025+40012+200110=420E（y1）E（y2）应选购乙设备【点评】本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列，数学期望计算，属于中档题21已知函数f（x）lnx+ax+1（）若函数f（x）有两个零点，求a 的取值范围；（）f（x）xex恒成立，求a 的取值范围【分析】（）研究函数f（x）的单调性、极值情况，根据极值的符号构造出关于a 的不等式求解；（）不等式恒成立，即可转化为函数的最值问题，因为原函数的单调性不好研究，所以可分离参数a，即问题转化为?-?-1?在（0，+）上恒成立再研究函数g（x）=?-?-1?的单调性，求其最小值即可解：（）由已知得x0，?(?)=1?+?当 a0 时，f（x）0，此时 f（x）是增函数，故不会有两个零点；当 a0 时，由?(?)=1?+?=?，得?=-1?，此时?(?，-1?)时，?(?)?，此时?(?)递增；当?(-1?，+)时，?(?)?，此时?(?)是减函数所以?=-1?时，f（x）取得极大值，由f（x）有两个零点，所以?(-1?)?，解得 1a 0又?(1?)=?，所以 f（x）在（0，-1?）有唯一零点再取?=?(-?)2-1?，则?(?)=?+?(-1?)+?+?+?(-1?-?)+?=?-2?所以 f（x）在（-1?，+）有唯一实数根a 的取值范围是（1，0）（）f（x）xex恒成立，即 xexlnx+ax+1 在（0，+）上恒成立，即?-?-1?在（0，+）上恒成立令 g（x）=?-?-1?，则?(?)=?+?2=?2?+?2令 h（x）x2ex+lnx，则?(?)=?+?+1?0所以 h（x）在（0，+）上递增而 h（1）e0，h（1?）=?1?2-?，故存在?(1?，?)使得 h（x0）0，即?+?=?=-1?0?=1?0?1?0=?1?0?1?0令 （x）xex，在（0，+）上，（x）（x+1）ex0，所以 （x）在（0，+）上递增，?=?1?0而在（0，x0）上，h（x）0，即 g（x）0，所以 g（x）在（0，x0）上递减；在（x0，+）上，h（x）0，即 g（x）0，故 g（x）在（x0，+）上递增所以 g（x）ming（x0）=?-?0?0-1?0=?1?0-?0?0-1?0=?，a 1所以 a 的取值范围是（，1【点评】本题考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，从而解决函数的零点、不等式恒成立问题属于较难的题目一、选择题22在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为?=?+1，?=2?+1?+1（t 为参数），曲线C2的参数方程为?=?+?=?（为参数），以坐标原点为极点x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（）射线?=?(?2)与曲线 C2交于 O，P 两点，射线?=?2+?与曲线 C1交于点 Q，若 OPQ 的面积为1，求|OP|的值【分析】（）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用及三角形的面积公式的应用求出结果解：（）曲线C1的参数方程为?=?+1，?=2?+1?+1（t 为参数），转换为直角坐标方程为：xy+10曲线 C2的参数方程为?=?+?=?（为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2 4x0，根据?=?