2020年高中数学必修2同步练习：2.3.2平面与平面垂直的判定含答案解析.pdf
2.3.2平面与平面垂直的判定课时过关能力提升一、基础巩固1.下列说法:两个相交平面所组成的图形叫做二面角;二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的角;二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系.其中说法正确的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3 答案:A 2.如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA平面 ABC,BAC=60,则二面角 B-PA-C 的大小等于()A.90B.60C.45D.30解析:因为 PA平面 ABC,所以 PAAB,PAAC.所以BAC是二面角 B-PA-C的平面角.又BAC=60,则二面角 B-PA-C 的平面角是 60.答案:B 3.对于直线 m,n 和平面 ,能得出 的一个条件是 ()A.mn,m,nB.mn,=m,n?C.mn,n,m?D.mn,m,n解析:mn,n,m.又 m?,.答案:C 4.如图,AB是圆的直径,PAAC,PABC,C是圆上一点(不同于 A,B),且 PA=AC,则二面角P-BC-A 的平面角为()A.PACB.CPAC.PCAD.CAB解析:因为 AB为圆的直径,所以 ACBC.因为 PABC,AC PA=A,所以 BC平面 PAC.所以 BCPC.所以PCA为二面角 P-BC-A的平面角.答案:C 5.如图,在四棱锥 S-ABCD中,底面 ABCD 为正方形,SA平面 ABCD,AC与 BD 相交于点O,点 P 是侧棱 SC上一动点,则一定与平面 PBD 垂直的平面是()A.平面 SABB.平面 SACC.平面 SCDD.平面 ABCD解析:在四棱锥 S-ABCD中,底面 ABCD 为正方形,BDAC.SA平面 ABCD,SABD.SA AC=A,BD平面 SAC.BD?平面 PBD,平面 PBD平面 SAC.故选 B.答案:B 6.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,截面 C1D1AB 与底面 ABCD 所成的二面角 C1-AB-C的大小为.解析:ABBC,ABBC1,C1BC 为二面角 C1-AB-C 的平面角,其大小为 45.答案:457.经过平面 外一点和平面 内一点与平面 垂直的平面有个.解析:设平面 外的一点为 A,平面 内的一点为 B,当直线 AB垂直于平面 时,经过直线AB的任意一个平面均垂直于平面,即此时有无数个;当直线 AB 与平面 相交但不垂直时,过点 A作直线 AC垂直于平面 ,则直线 AC 仅有一条,由于直线 AC和 AB 是两条相交直线,则 AB和 AC确定一个平面且该平面垂直于平面,此时仅有一个与平面 垂直的平面.答案:1 个或无数8.如图,在三棱锥 P-ABC 中,已知 PAPB,PBPC,PCPA,则在三棱锥 P-ABC的四个面中,互相垂直的面有对.解析:因为 PAPB,PAPC,PB PC=P,所以 PA平面 PBC.因为 PA?平面 PAB,PA?平面 PAC,所以平面 PAB平面 PBC,平面 PAC平面 PBC.同理可证平面 PAB平面 PAC.答案:3 9.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA平面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,ABAD,CDAD.求证:平面 PDC平面 PAD.证明:因为 PA平面 AC,CD?平面 AC,所以 PACD.因为 CDAD,PA AD=A,所以 CD平面 PAD.因为 CD?平面 PDC,所以平面 PDC平面 PAD.二、能力提升1.如果直线 l,m与平面 ,满足:l=,l,m?和 m,那么必有()A.,且 lmB.,且 mC.m,且 lmD.,且 解析:m?,m,.l=,l?,ml.答案:A 2.在四棱锥 P-ABCD 中,已知 PA底面 ABCD,且底面 ABCD 为矩形,则下列结论中错误的是()A.平面 PAB平面 PADB.平面 PAB平面 PBCC.平面 PBC平面 PCDD.平面 PCD平面 PAD解析:因为底面 ABCD 是矩形,所以 ABAD.因为 PA平面 AC,AB?平面 AC,所以 ABPA.而 AD PA=A,所以 AB平面 PAD.因为 AB?平面 PAB,所以平面 PAB平面 PAD.同理可证,平面 PAB平面 PBC,平面 PCD平面 PAD.答案:C 3.如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角()A.相等B.互补C.相等或互补D.大小关系无法确定解析:如图,平面 EFDG平面 ABC,当平面 HDG 绕 DG 转动时,平面 HDG 始终与平面BCD 垂直,因为二面角 H-DG-F 的大小不确定,所以两个二面角的大小关系不确定.答案:D 4.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,E,F 分别在 AD 和 BC 上,且 EFAB.若二面角 C1-EF-C 等于 45,则 BF=.解析:因为 AB平面 BC1,C1F?平面 BC1,CF?平面 BC1,所以 ABC1F,ABCF.又 EFAB,所以 C1FEF,CFEF,所以C1FC是二面角 C1-EF-C 的平面角,即C1FC=45.所以 FCC1是等腰直角三角形,所以 CF=CC1=AA1=1.又 BC=2,所以 BF=BC-CF=2-1=1.答案:1 5.如图,ABC 是等腰直角三角形,BAC=90,AB=AC=1,将 ABC沿斜线 BC 上的高 AD折叠,使平面 ABD平面 ACD,则 BC=.解析:因为 ADBC,所以 ADBD,ADCD,所以BDC 是二面角 B-AD-C 的平面角.因为平面 ABD平面 ACD,所以BDC=90.连接 BC,在 BCD中,BDC=90,BD=CD=22,所以BC=(22)2+(22)2=1.答案:1 6.如图,已知在三棱锥 P-ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,PAAC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线 PA平面 DEF;(2)平面 BDE平面 ABC.证明:(1)因为 D,E分别为棱 PC,AC的中点,所以 DEPA.又因为 PA?平面 DEF,DE?平面 DEF,所以直线 PA平面 DEF.(2)因为 D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,PA=6,BC=8,所以 DEPA,DE=12?=3,?=12?=4.又因为 DF=5,故 DF2=DE2+EF2,所以DEF=90,即 DEEF.又 PAAC,DEPA,所以 DEAC.因为 AC EF=E,AC?平面 ABC,EF?平面 ABC,所以 DE平面 ABC.又 DE?平面 BDE,所以平面 BDE平面 ABC.7.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,BCD=60,E 是 CD 的中点,PA底面 ABCD,PA=3.(1)求证:平面 PBE平面 PAB;(2)求二面角 A-BE-P 的大小.(1)证明:如图,连接 BD,由 ABCD 是菱形,且BCD=60知,BCD 是等边三角形.因为 E 是 CD 的中点,所以 BECD.又 ABCD,所以 BEAB.又因为 PA平面 ABCD,BE?平面 ABCD,所以 PABE.而 PA AB=A,因此 BE平面 PAB.又 BE?平面 PBE,所以平面 PBE平面 PAB.(2)解:由(1)知 BE平面 PAB,PB?平面 PAB,所以 PBBE.又 ABBE,所以PBA是二面角 A-BE-P的平面角.在 Rt PAB 中,tanPBA=?=3,PBA=60,故二面角 A-BE-P的大小是 60.
