2020年黑龙江省哈尔滨市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(解析版).pdf

2020 年黑龙江省哈尔滨市高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（共12 小题）.1已知集合Ax|0 x 5，B x N*|x12，则 AB（）Ax|1x3Bx|0 x3C0，1，2，3D1，2，32已知复数z+2i，则|z|（）AB2CD3 向量，在正方形网格中的位置如图所示若向量 与共线，则实数 （）A 2B 1C1D24设 x，y 满足约束条件，则的最大值为（）A0BCD25已知双曲线x2 1 的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）AB2C3D46已知函数f（x）sin4xcos4x，则下列说法正确的是（）Af（x）的最小正周期为2B f（x）的最大值为2Cf（x）的图象关于y 轴对称Df（x）在区间，上单调递减7算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完（开始善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的S值为 0，则开始输入的S值为（）ABCD8设 alog3，b log2，clog3，则（）AabcBacbCbacDbc a9我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在律学新说中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个c1键的 8 个白键与5 个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音c1的频率正好是中音c 的2 倍已知标准音a1的频率为440Hz，那么频率为220Hz 的音名是（）AdBfCeD#d10正方体ABCD A1B1C1D1中，点 Q 是线段 D1C1的中点，点P 在线段 AA1上，且 AP2A1P，则异面直线PQ 与 AB 所成角的余弦值为（）ABCD11把方程表示的曲线作为函数yf（x）的图象，则下列结论正确的是（）f（x）在 R 上单调递减 yf（x）的图象关于原点对称 yf（x）的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3 函数 g（x）4f（x）+3x 不存在零点ABCD12 设实数 m0，若对任意的正实数x，不等式恒成立，则 m 的最小值为（）ABCD二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.13若钝角满足 3tan2 8tan，则14已知 f（x）xln（ax），则与曲线yf（x）切于点（1，0）处的切线方程为15等差数列 an，bn的前 n 项和分别为Sn，Tn，若，则16已知抛物线C：y24x 的焦点为F，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线C 上的两个动点，若 x1+x2+22|MN|，则 MFN 的最大值为三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.172022 年北京冬奥运动会即第24 届冬季奥林匹克运动会将在2022 年 2 月 4 日至 2 月 20日在北京和张家口举行，某研究机构为了了解大学生对冰壶运动的兴趣，随机从某大学生中抽取了100 人进行调查，经统计男生与女生的人数比为9：11，男生中有20 人表示对冰壶运动有兴趣，女生中有15 人对冰壶运动没有兴趣（1）完成 22 列联表，并判断能否有99%把握认为“对冰壶运动是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没有兴趣合计男20女15合计100（2）用分层抽样的方法从样本中对冰壶运动有兴趣的学生中抽取6人，求抽取的男生和女生分别为多少人？若从这6 人中选取两人作为冰壶运动的宣传员，求选取的2 人中恰好有 1 位男生和1 位女生的概率附：，其中 n a+b+c+dP（K2k0）0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.0763.8415.0246.63518在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足sin，?6（1）求 ABC 的面积；（2）若 c+a8，求 b 的值19如图，在四棱台A1B1C1D1ABCD 中，O1，O 分别为上、下底面对角线的交点，OO1平面 ABCD，底面 ABCD 是边长为2 的菱形，且 ABC 60（1）证明：AC平面 BB1D1D；（2）若 O1BO30，求三棱锥DB1BC 的体积20记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”已知椭圆，以椭圆 E 的焦点为顶点作相似椭圆M（）求椭圆M 的方程；（）设直线l 与椭圆 E 交于 A，B 两点，且与椭圆M 仅有一个公共点，试判断ABO的面积是否为定值（O 为坐标原点）？若是，求出该定值；若不是，请说明理由21已知函数（1）当 ae 时，求函数f（x）的单调区间；（2）证明：当a 2 时，f（x）2（二）选考题：共10 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22如图，在极坐标系Ox 中，过极点的直线l 与以点 A（2，0）为圆心、半径为2 的圆的一个交点为B（2，），曲线M1是劣弧，曲线 M2是优弧（）求曲线M1的极坐标方程；（）设点 P（1，）为曲线 M1上任意一点，点 Q（2，）在曲线 M2上，若|OP|+|OQ|6，求 的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|xa|+|x+b|（a 0，b0）（1）当 ab1 时，证明：f（x）2；（2）若 f（x）的值域为 2，+），且f（3）5，解不等式f（x）4参考答案一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合Ax|0 x 5，B x N*|x12，则 AB（）Ax|1x3Bx|0 x3C0，1，2，3D1，2，3【分析】容易求出B1，2，3，然后进行交集的运算即可解：B1，2，3，且 Ax|0 x5；AB1，2，3故选：D2已知复数z+2i，则|z|（）AB2CD【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解解：z+2i，|z|故选：D3 向量，在正方形网格中的位置如图所示若向量 与共线，则实数 （）A 2B 1C1D2【分析】根据图形便可看出，这样即可得出的值解：根据图形可看出；满足与共线；2故选：D4设 x，y 满足约束条件，则的最大值为（）A0BCD2【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值解：约束条件对应的区域如图：表示可行域中一点（x，y）与坐标原点连线的斜率，由解得 A（1，2），由图形可知OA 的斜率取得最大值，即当 x1，y 2 时取得最大值2故选：D5已知双曲线x2 1 的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）AB2C3D4【分析】根据题意，设双曲线的焦点为（c，0），由双曲线的方程求出渐近线的方程，结合点到直线的距离公式可得b，可得 b 的值，由双曲线的几何性质计算求出 c的值，由离心率公式即可得答案解：根据题意，设双曲线的一个焦点为（c，0），其中一条渐近线的方程为ybx，即 bxy0，若双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则有b，则 c2，则双曲线的离心率e2；故选：B6已知函数f（x）sin4xcos4x，则下列说法正确的是（）Af（x）的最小正周期为2B f（x）的最大值为2Cf（x）的图象关于y 轴对称Df（x）在区间，上单调递减【分析】先利用同角平方关系及二倍角余弦个公式对已知函数进行化简可得f（x）cos2x，结合余弦函数的性质对选项进行判断即可解：f（x）sin4x cos4xsin2xcos2x cos2x，函数的最小正周期T，f（x）cos（2x）cos2xf（x），f（x）为偶函数，其图象关于y 轴对称，f（x）cos2x 在，上单调递减，故f（x）cos2x 在，上单调递增故选：C7算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完（开始善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的S值为 0，则开始输入的S值为（）ABCD【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案解：模拟程序的运行，可得当 i1 时，S 2S1，i1，满足条件i3，执行循环体；当 i2 时，S 2（2S1）1，i2，满足条件i3，执行循环体；当 i3 时，S 22（2S 1）11，i 3，不满足条件i3，退出循环体，输出S 0，所以 22（2S1）110，故选：B8设 alog3，b log2，clog3，则（）AabcBacbCbacDbc a【分析】利用对数函数ylogax的单调性进行求解当a1 时函数为增函数当0a1时函数为减函数，如果底 a不相同时可利用1 做为中介值解：log3bclog2ababc，故选：A9我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在律学新说中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个c1键的 8 个白键与5 个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音c1的频率正好是中音c 的2 倍已知标准音a1的频率为440Hz，那么频率为220Hz 的音名是（）AdBfCeD#d【分析】220Hz 的音比 a1的频率低，故可将a1的频率记为第一项，220Hz 的音设为第 n 项，则这个数列是以440Hz 为第一项，以 q为公比的等比数列，代入等比数列的通项公式可得解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比故从g起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为q由 220440，解得 n 7，频率为 220Hz 的音名是（#d），故选：D10正方体ABCD A1B1C1D1中，点 Q 是线段 D1C1的中点，点P 在线段 AA1上，且 AP2A1P，则异面直线PQ 与 AB 所成角的余弦值为（）ABCD【分析】连接PD1，由于 AB D1C1，所以 PQD1即为所求，设正方体的棱长为a，在Rt PQD1中，结合勾股定理和三角函数的知识，求出cosPQD1即可解：连接PD1，如图所示，因为 ABD1C1，所以 PQD1为异面直线PQ 与 AB 所成角，由正方体的性质可知，D1C1面 ADD1A1，因为 PD1?面 ADD1A1，所以 D1C1PD1，设正方体的棱长为a，在RtPQD1中，D1QD1C1，PD1，所以 tanPQD1，cosPQD1所以异面直线PQ 与 AB 所成角的余弦值为故选：D11把方程表示的曲线作为函数yf（x）的图象，则下列结论正确的是（）f（x）在 R 上单调递减 yf（x）的图象关于原点对称 yf（x）的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3 函数 g（x）4f（x）+3x 不存在零点ABCD【分析】画出函数的图象判断函数的单调性判断；通过两点间距离公式判断；函数的零点判断；解：去绝对值分四个象限讨论，方程当 x0，y0 时，方程，不成立；当 x0，y0 时，方程为：，是双曲线的一部分；当 x0，y0 时，方程为：，是双曲线的一部分；当 x0，y0 时，方程为：，是椭圆的一部分；函数图象如右图示，由图判断函数在R 上单调递减，故 正确，错误由图判断yf（x）图象上的点到原点距离的最小值点应在x0，y 0 的图象上，即满足，设图象上的点P（x，y），当 x0 时取最小值3，故 正确；当 4f（x）+3x0，即，函数 g（x）4f（x）+3x 的零点，就是函数yf（x）和 y的交点，而是曲线，x0，y0 和，x0，y 0 的渐近线，所以没有交点由图象可知，和，x0，y0 没有交点，所以函数g（x）4f（x）+3x 不存在零点，故 正确故选：C12 设实数 m0，若对任意的正实数x，不等式恒成立，则 m 的最小值为（）ABCD【分析】对任意的xe，不等式x2lnx0 恒成立，令f（x）x2lnx，转化为f（x）min在 xe时恒成立；即可求解解：m0，memxlnx，即 mxemxxlnx elnx?lnx，构造函数g（x）xex，g（x）ex+xex（x+1）ex，当 x0，g（x）0，当 x0 时，g（x）递增，则不等式恒成立等价于g（mx）g（lnx）恒成立，即 mxlnx，恒成立，设，G（x）在（0，1）递增，（1，+）递减，故选：A二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.13若钝角满足 3tan2 8tan，则 3【分析】由题意，可设xtan 0，利用二倍角的正切函数公式化简已知等式可求x 的值，进而根据同角三角函数基本关系式化简即可求解解：由题意，设xtan 0，3tan2 8tan ，x0，故答案为：314已知f（x）xln（ax），则与曲线yf（x）切于点（1，0）处的切线方程为xy10【分析】先将切点代入f（x），求出a 的值，然后求出导数，再将切点横坐标代入，求出切线斜率，进而求出切线的点斜式直线方程解：由已知得：0 lna，故 a1所以 f（x）xlnx 所以 f（x）lnx+1，所以 kf（1）1故切线为：yx1，即 xy 10故答案为：xy1 015等差数列 an，bn的前 n 项和分别为Sn，Tn，若，则【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解解：由 an为等差数列可得，同理可得T99a5，所以故答案为：16已知抛物线C：y24x 的焦点为F，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线C 上的两个动点，若 x1+x2+22|MN|，则 MFN 的最大值为【分析】依抛物线的定义，可得|MF|x1+1，|NF|x2+1，|可得|MF|+|NF|2|MN|，由余弦定理得cos MFN 的范围，即可求解解：如图，依抛物线的定义，可得|MF|x1+1，|NF|x2+1，x1+x2+22|MN|?|MF|+|NF|2|MN|，由余弦定理得cosMFN 0MFN，故答案为：三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.172022 年北京冬奥运动会即第24 届冬季奥林匹克运动会将在2022 年 2 月 4 日至 2 月 20日在北京和张家口举行，某研究机构为了了解大学生对冰壶运动的兴趣，随机从某大学生中抽取了100 人进行调查，经统计男生与女生的人数比为9：11，男生中有20 人表示对冰壶运动有兴趣，女生中有15 人对冰壶运动没有兴趣（1）完成 22 列联表，并判断能否有99%把握认为“对冰壶运动是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没有兴趣合计男20女15合计100（2）用分层抽样的方法从样本中对冰壶运动有兴趣的学生中抽取6人，求抽取的男生和女生分别为多少人？若从这6 人中选取两人作为冰壶运动的宣传员，求选取的2 人中恰好有 1 位男生和1 位女生的概率附：，其中 n a+b+c+dP（K2k0）0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.0763.8415.0246.635【分析】（1）根据题目所给的数据填写22 列联表，计算K 的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论（2）利用古典概型定义列举所有基本事件，找出满足条件的基本事件可得要求的概率，解：（1）根据题意得如下22 列联表：有兴趣没有兴趣合计男201545女401555合计6040100所以，所以有 99%把握认为“对冰壶运动是否有兴趣与性别有关”（2）对冰壶运动有兴趣的学生共60 人，从中抽取6 人，抽取的男生数、女生数分别为：，6 24记 2 名男生为a，b；女生为A，B，C，D，则从中选取2 人的基本事件为：ab，aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，AB，AC，AD，BC，BD，CD 共 15 个，其中含有1 男 1 女的基本事件为：aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD 共 8 个，记“对冰壶运动有兴趣的学生中抽取6 人做宣传员，恰好一男一女”的事件为M，则，故选取的2 人中恰好有1 位男生和1 位女生的概率为18在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足sin，?6（1）求 ABC 的面积；（2）若 c+a8，求 b 的值【分析】（1）根据二倍角公式求出cosB，再求出sinB，根据向量的数量积和三角形的面积公式即可求出答案；（2）根据余弦定理即可求出答案【解答】解；（1）sin，cosB12sin21，sinB，?6，?|?|?cosB6，|?|10，SABC|?|?sinB10 4；（2）由（1）可知 ac 10，又 c+a8，又余弦定理可得，b2a2+c22accosB（a+c）22ac2ac641032，b419如图，在四棱台A1B1C1D1ABCD 中，O1，O 分别为上、下底面对角线的交点，OO1平面 ABCD，底面 ABCD 是边长为2 的菱形，且 ABC 60（1）证明：AC平面 BB1D1D；（2）若 O1BO30，求三棱锥DB1BC 的体积【分析】（1）由底面ABCD 是菱形，得ACBD，再由 OO1平面 ABCD，可得 ACO1O，由直线与平面垂直的判定可得AC平面 BB1D1D；（2）由底面ABCD 是边长为2 的菱形，且ABC 60，求得OB结合已知求得 OO11求出三角形BCD 的面积，然后利用等体积法求三棱锥D B1BC 的体积【解答】（1）证明：底面ABCD 是菱形，ACBD，OO1平面 ABCD，ACO1O，BD O1OO，AC平面 BB1D1D；（2）解：底面ABCD 是边长为2 的菱形，且ABC 60，OB连接 O1B，在 Rt O1OB 中，由，得 OO11则，又 B1O1平面 BCD，B1到平面 BCD 的距离等于O1到平面 BCD 的距离20记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”已知椭圆，以椭圆 E 的焦点为顶点作相似椭圆M（）求椭圆M 的方程；（）设直线l 与椭圆 E 交于 A，B 两点，且与椭圆M 仅有一个公共点，试判断ABO的面积是否为定值（O 为坐标原点）？若是，求出该定值；若不是，请说明理由【分析】（）由条件知，椭圆 M 的离心率，且长轴的顶点为（2，0），（2，0），即可求出椭圆方程，（）当直线l 的斜率存在时，设直线l：ykx+b，根据韦达定理和弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出三角形的面积，当直线 l 的斜率不存在时，可求出三角形的面积解：（）由条件知，椭圆M 的离心率，且长轴的顶点为（2，0），（2，0），椭圆 M 的方程为，（）当直线l 的斜率存在时，设直线l：y kx+b由得，（3+4k2）x2+8kbx+4b2120令 64k2b24（3+4k2）（4b212）0 得，b2 3+4k2联立 ykx+b 与，化简得（3+4k2）x2+8kbx+4b2 480设 A（x1，y1），B（x2，y2），则，而原点O 到直线 l 的距离当直线 l 的斜率不存在时，l：x2 或 x 2，则|AB|6，原点 O 到直线 l 的距离 d 2，SABO6综上所述，ABO 的面积为定值621已知函数（1）当 ae 时，求函数f（x）的单调区间；（2）证明：当a 2 时，f（x）2【分析】（1）当 ae 时，然后求出函数的导数，通过 当 x0 时，当 0 x1 时，当 x1 时，判断导函数的符号，得到函数的单调性（2）证明：当 a 2 时，f（x）（x22x+2）ex+x2，令 g（x）（x22x+2）ex+x2，则 g（x）x2ex+2xx（xex+2），令 h（x）xex+2，有 h（x）（x+1）ex，判断函数的单调性，求出函数的最值，然后转化求解证明即可【解答】（1）解：当ae 时，所以 f（x）x2exexx（xexe），讨论：当 x0 时，xex e0，有 f（x）0；当 0 x1 时，由函数y xex为增函数，有xexe0，有 f（x）0；当 x1 时，由函数yxex为增函数，有xexe0，有 f（x）0综上，函数f（x）的增区间为（，0），（1，+），减区间为（0，1）（2）证明：当a 2 时，有，所以，所以 f（x）（x22x+2）ex+x2，令 g（x）（x22x+2）ex+x2，则 g（x）x2ex+2xx（xex+2），令 h（x）xex+2，有 h（x）（x+1）ex，令 h（x）0，得 x 1，分析知，函数h（x）的增区间为（1，+），减区间为（，1），所以所以分析知，函数g（x）的增区间为（0，+），减区间为（，0），所以，故当 a 2 时，f（x）2（二）选考题：共10 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22如图，在极坐标系Ox 中，过极点的直线l 与以点 A（2，0）为圆心、半径为2 的圆的一个交点为B（2，），曲线M1是劣弧，曲线 M2是优弧（）求曲线M1的极坐标方程；（）设点 P（1，）为曲线 M1上任意一点，点 Q（2，）在曲线 M2上，若|OP|+|OQ|6，求 的值【分析】（）利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，求出结果（）利用极径和三角函数关系式的变换的应用求出结果解：（）过极点的直线l 与以点 A（2，0）为圆心、半径为 2 的圆上任意一点（，），整理得 4cos 由于的圆的一个交点为B（2，），曲线M1是劣弧，所以 M1的方程为（）点P（1，）为曲线M1上任意一点，所以，点 Q（2，）在曲线M2上，所以（）整理得由于|OP|+|OQ|6，所以 1+26，整理得6，即：，由于且解得选修 4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|xa|+|x+b|（a 0，b0）（1）当 ab1 时，证明：f（x）2；（2）若 f（x）的值域为 2，+），且f（3）5，解不等式f（x）4【分析】（1）利用绝对值三角不等式可得f（x）|a+b|，然后结合ab1，利用基本不等式即可证明f（x）2；（2）根据 f（x）的值域为 2，+），且f（3）5，求出 a，b 的值，然后利用零点分段法解出不等式f（x）4 即可解：（1）证明：ab1，f（x）|xa|+|x b|x+b（xa）|a+b|，当且仅当ab1 时，取等号，f（x）2；（2）f（x）|xa|+|x b|a+b|a+b，a+b2，又 f（3）|3 a|+|3+b|3a|+3+b5，f（x）4，或或，故原不等式的解集为x|x或 x