2021届高三数学(理)“大题精练”.pdf
第 1 页 共 9 页2021 届高三数学（理）“大题精练”17为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间(2,2)xs xs之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中x,s 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得15s（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）求样本平均数的大小；（2）若一个零件的尺寸是100 cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件.18如图，在三棱柱111ABCA B C中，111,2,1,ACBCABBCBC平面ABC.第 2 页 共 9 页（1）证明：平面11A ACC平面11BCC B（2）求二面角1AB BC的余弦值.19,a b c分别为ABC的内角,A B C的对边.已知sin4sin8sinaABA.（1）若1,6bA，求sin B；（2）已知3C，当ABC的面积取得最大值时，求ABC的周长.20已知函数32()21f xxmxm.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在区间0,)上的最小值为3，求 m 的值.21如图,已知抛物线E:y2=4x 与圆 M:(x3)2+y2=r2(r 0)相交于 A,B,C,D 四个点.(1)求 r 的取值范围;(2)设四边形ABCD 的面积为S,当 S最大时,求直线 AD 与直线 BC 的交点 P 的坐标.第 3 页 共 9 页22在直角坐标系中，已知圆222:()(1)1Mxaya，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线sin24平分圆 M 的周长.（1）求圆 M 的半径和圆M 的极坐标方程；（2）过原点作两条互相垂直的直线12,l l，其中1l与圆 M 交于 O，A 两点，2l与圆 M 交于 O，B 两点，求OAB面积的最大值.23已知正实数ab，满足4ab.（1）求14ab的最小值.（2）证明：2211252abab第 4 页 共 9 页2021 届高三数学（理）“大题精练”（答案解析）17为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间(2,2)xs xs之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中x,s 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得15s（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）求样本平均数的大小；（2）若一个零件的尺寸是100 cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件.【解】（1）35100.00545 100.01055 100.01565 100.030 x75 100.020850.01595 100.00566.5（2）266.53096.5,266.53036.5,10096.5xsxs所以该零件属于“不合格”的零件18如图，在三棱柱111ABCA B C中，111,2,1,ACBCABBCBC平面ABC.第 5 页 共 9 页（1）证明：平面11A ACC平面11BCC B（2）求二面角1AB BC的余弦值.【解】（1）证明：因为1BC平面 ABC，所以1B CAC因为1,2ACBCAB.所以222ACBCAB.即ACBC又1BCB CC.所以AC平面11BCC B因为AC平面11A ACC.所以平面11A ACC平面11BCC B（2）解：由题可得1,B C CA CB两两垂直，所以分别以1,CA CB B C所在直线为x 轴，y 轴.轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，则1(1,0,0),(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1)ACBB，所以1(0,1,1),(1,1,0)BBAB设平面1ABB的一个法向量为(,)mx y z，由10,0m BBm AB.得00yzxy令1x，得(1,1,1)m又CA平面1CBB，所以平面1CBB的一个法向量为CA(1,0,0).13cos,33m CA所以二面角1AB BC的余弦值为33.19,a b c分别为ABC的内角,A B C的对边.已知sin4sin8sinaABA.第 6 页 共 9 页（1）若1,6bA，求sin B；（2）已知3C，当ABC的面积取得最大值时，求ABC的周长.【解】（1）由sin4sin8sinaABA，得48a aba，即48ab.因为1b，所以4a.由41sinsin6B，得1sin8B.（2）因为482 44ababab，所以4ab，当且仅当44ab时，等号成立.因为ABC的面积11sin4sin3223SabC.所以当44ab时，ABC的面积取得最大值，此时2224124 1 cos133c，则13c，所以ABC的周长为513.20已知函数32()21f xxmxm.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在区间0,)上的最小值为3，求 m 的值.【解】（1）2()622(3)fxxmxxxm若0m，当(,0),3mx时，()0fx；当0,3mx时.()0fx，所以()f x 在(,0),3m上单调递增，在0,3m上单调递减若0,()0mfx.()f x 在 R 上单调递增若0m，当,(0,)3mx时，()0fx；第 7 页 共 9 页当,03mx时.()0fx，所以()f x 在,(0,)3m上单调递增，在,03m上单调递减（2）由（1）可知，当0m时，()f x 在0,)上单调递增，则min()(0)13f xfm.则-4m不合题意当0m时，()fx 在0,3m上单调递减，在,3m上单调递增.则33min2()133279mmmf xfm，即34027mm又因为3()427mg mm单调递增，且(3)0g，故3m综上，3m21如图,已知抛物线E:y2=4x 与圆 M:(x3)2+y2=r2(r 0)相交于 A,B,C,D 四个点.(1)求 r 的取值范围;(2)设四边形ABCD 的面积为S,当 S最大时,求直线 AD 与直线 BC 的交点 P 的坐标.【解】(1)联立抛物线与圆的方程22224,(3),yxxyr消去 y,得 x22x+9r2=0.由题意可知x22x+9r2=0 在(0,+)上有两个不等的实数根,所以2244(9)0,90,rr解得 22r 3,即 r(22,3).(2)根据(1)可设方程x22x+9r2=0 的两个根分别为x1,x2(0 x1x2),则 A(x1,21x),B(x1,21x),C(x2,22x),D(x2,22x),且 x1+x2=2,x1x2=9r2,所以 S=12(AB+CD)(x2x1)=12(41x+42x)(x2x1)第 8 页 共 9 页=212122xxx x21212()4xxx x=2222 9r244(9)r.令 t=29r(0,1),f(t)=S2=4(2+2t)(44t2)=32(t3+t2t1),f(t)=32(3t2+2t1)=32(t+1)(3t1),可得 f(t)在(0,13)上单调递增,在(13,1)上单调递减,即当 t=13时,四边形 ABCD 的面积取得最大值.根据抛物线与圆的对称性,可设 P 点坐标为(m,0),由 P,A,D 三点共线,可得212122xxxx=112mxx,整理得 m=12x x=t=13,所以点 P 的坐标为(13,0).22在直角坐标系中，已知圆222:()(1)1Mxaya，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线sin24平分圆 M 的周长.（1）求圆 M 的半径和圆M 的极坐标方程；（2）过原点作两条互相垂直的直线12,l l，其中1l与圆 M 交于 O，A 两点，2l与圆 M 交于 O，B 两点，求OAB面积的最大值.【解】（1）将sin24化成直角坐标方程，得2xy则12a，故1a，则圆22:(1)(1)2Mxy，即22220 xyxy，所以圆 M 的半径为2.将圆 M 的方程化成极坐标方程，得22(sincos)0.即圆 M 的极坐标方程为2(sincos).（2）设1:212,:,|,|2llOAOB，则12(sincos),用2代替.可得22(cossin),22121,|2 cossin2cos 222OHBllSOAOBmax2OABS第 9 页 共 9 页23已知正实数ab，满足4ab.（1）求14ab的最小值.（2）证明：2211252abab【解】（1）因为4ab，所以141414544abbaababab因为00ab，所以44baab（当且仅当4baab，即48,33ab时等号成立），所以14195(54)444baab（2）证明：2222111141122ababababab因为4ab，所以1111111()2(22)1444ababababba故2211252abab（当且仅当2ab时，等号成立）
