【最新】2019-2020学年陕西省西安市莲湖区高一下学期期末考试数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 15 页2019-2020 学年陕西省西安市莲湖区高一下学期期末考试数学试题一、单选题1已知向量11,3,3,2ab，则2ab（）A7,2B7,2C115,2D115,2【答案】A【解析】根据向量的坐标运算公式直接计算即可.【详解】因为1(1,3),3,2ab，所以21,36,1(7,2)ab故选：A.【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.2已知a、b是平面向量，下列命题正确的是（）A若1ab，则 abB若ab，则abC若0ab，则/a bD零向量与任何非零向量都不共线【答案】C【解析】利用向量的概念可判断A 选项的正误；利用向量不能比大小可判断B 选项的正误；利用共线向量的定义可判断C 选项的正误；利用零向量的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于 A，向量方向不相同则向量不相等，选项A 错误；对于 B向量不能比较大小，选项B 错误；对于 C，若0ab，则ba，/b a，选项 C 正确；对于 D，零向量与任一向量共线，选项D 错误.故选：C第 2 页 共 15 页【点睛】本题考查与平面向量相关概念的判断，属于基础题.3已知角为锐角，则下列各角中为第四象限角的是（）A90B180C90D180【答案】C【解析】根据角的范围，确定四个选项所在象限，即可得出答案.【详解】因为角为锐角，所以9090180,90为第二象限角；180180270,180为第三象限角；90900,90为第四象限角；18018090,180为第三象限角故选：C【点睛】本题主要考查了由已知角确定某角所在象限，属于基础题.4已知1tan2,tan2，则tan()（）A74B54C1 D34【答案】D【解析】由两角差的正切公式计算【详解】12tantan32tan()11tantan4122故选：D【点睛】本题考查两角差的正切公式，属于简单题掌握两角和与差的正切公式是解题关键5为了得到函数cos3yx的图象，只需把函数cos 34yx的图象（）A向左平移6个单位长度第 3 页 共 15 页B向左平移12个单位长度C向右平移6个单位长度D向右平移12个单位长度【答案】B【解析】对比两个函数中自变量x的变化情况，再结合“左加右减”的平移原则，即可得答案；【详解】cos 34yx向左平移12单位可得cos 3(cos34)12yxx，故选：B.【点睛】本题考查三角函数的平移变换，考查对概念的理解，属于基础题.6cos40 cos20sin40 sin20（）A32B22C12D12【答案】C【解析】利用两角和的余弦公式的逆应用即可求解.【详解】1cos40 cos20sin 40 sin 20cos 4020cos602故选：C【点睛】本题考查了两角和的余弦公式，需熟记公式，属于基础题.7将曲线2sin45yx上的每个点的横坐标伸长为原来的2 倍(纵坐标不变),得到的曲线的对称中心为()A,0210kkZB,0210kkZC,010kkZD,010kkZ【答案】A 第 4 页 共 15 页【解析】由图像变换原则可得新曲线为2sin25yx,令25kxkZ求解即可【详解】将曲线2sin45yx上的每个点的横坐标伸长为原来的2 倍后得到曲线2sin25yx,令25kxkZ,得102kxkZ故选：A【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查正弦型函数的对称中心8已知tan4，则sin5cossincos（）A2B5C4D3【答案】D【解析】在所求分式的分子和分母中同时除以cos，将所求分式变形为只含tan的代数式，代值计算即可得解.【详解】因为tan4，所以sin5cossin5costan545coscos3sincossincostan141coscos故选：D.【点睛】本题考查正、余弦齐次式的计算，考查弦化切思想的应用，属于基础题.9已知D为ABC所在平面内一点，且23CDBC，则AD（）A2133ABACB2533ABACC1433ABACD2533ABAC【答案】D 第 5 页 共 15 页【解析】本题首先可以绘出ABC的图像，然后根据23CDBC得出53BDBC，最后根据向量的线性运算对AD进行转化，即可得出结果.【详解】如图，绘出ABC的图像，因为23CDBC，所以53BDBC，则5525()3333ADABBDABBCABACABABAC故选：D.【点睛】本题考查向量的线性运算，主要考查向量的加法与减法，考查学生对向量的三角形法则的掌握，体现了基础性，是简单题.10已知向量,a b的夹角为34，|2,|1ab，则|3|ab（）A4 B 5 C4 2D5 2【答案】B【解析】根据平面向量的数量积公式可得1a b，再根据2|3|(3)abab可求得结果.【详解】因为32|cos21()142a bab，所以2|3|(3)abab2296aa bb18615.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量的数量积和平面向量的模，属于基础题.11函数cossinxfxxx的部分图象大致为（）第 6 页 共 15 页ABCD【答案】C【解析】根据函数为奇函数和(1)f的正负，即可得答案；【详解】()f x 的定义域为|0 x x，关于原点对称，且()()fxfx，()f x 为奇函数，排除B，D；cos1(1)01sin1f，排除 A；故选：C.【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数图象，考查数形结合思想，求解时注意函数性质的运用.12已知函数()3cos 2(0)3f xx在5,36上是减函数，且在0,2上恰好取得一次最小值3，则的取值范围是（）A20,5B1 2,6 5C10,2D1 1,6 2【答案】B【解析】首先求出函数的单调递减区间，再根据函数在5,36上是减函数，求出的取值范围，再根据函数在0,2上恰有一个最小值，求出的取值范围，最后取交集即可；【详解】第 7 页 共 15 页解：令222()3kxkkZ，解得()63kkxkZ，则函数fx的减区间为,()63kkkZ 因为fx在5,36上是减函数，所以5,3663，则0,365,63解得205令22()3xkkZ，解得()3kxkZ因为fx在0,2上恰好取得一次最小值3，所以402,233，解得1263综上，的取值范围是1 2,6 5故选：B【点睛】本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题.二、填空题13函数()2 tan 26fxx的最小正周期是_【答案】2【解析】由函数tan()(0)yx的周期是T计算【详解】()2 tan 26f xx的最小正周期2T故答案为：2【点睛】本题考查求正切型函数的周期掌握三角函数周期计算公式是解题基础()fx 的最小正周期是0T，则函数()(0)fx的最小正周期是0TT第 8 页 共 15 页14已知3cos4，则cos2_【答案】18【解析】若3cos4，由二倍角的余弦公式可得，2231cos22cos1=2148，故答案为18.15已知一扇形的圆心角的弧度数为3，面积为12，则该扇形的半径为_【答案】2 2【解析】由扇形弧长公式得出扇形半径与弧长的关系，根据扇形面积公式可得半径【详解】设该扇形的半径为0r r，圆心角为3 弧度，所以弧长为3lr，所以面积为12lr213122r，解得2 2r故答案为：2 2【点睛】本题考查扇形的弧长公式和面积公式，属于基础题16在ABC中，90,6CCACB，P为ABC所在平面内一动点，则()CPAPBP的最小值为 _【答案】9【解析】建立坐标系，利用向量的坐标运算公式将()CPAPBP用,P x y的坐标表示，利用配方法求得最小值.【详解】由题意可建立如图所示的直角坐标系，易知6,0,0,6,0,0ABC，设,P x y，则(,),(6,),(,6)CPx yAPxyBPx y，故2233()(26)(26)229922CPAPBPxxyyxy当且仅当32xy时取得等号，所求最小值为9，故答案为：9.第 9 页 共 15 页【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算和配方法求最值，关键在于建立坐标系，用,P x y的坐标表达所求的向量的数量积，属中档题.三、解答题17已知向量1,4akbk（1）若/a b，求 k 的值；（2）若4abab，求 k 的值【答案】（1）2k或2k；（2）1k或4k【解析】（1）利用向量共线的坐标表示即可求解.（2）利用向量坐标的线性运算以及向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】解：（1）因为/a b，所以240k，解得2k或2k（2）由题知1,4,44,44abk kabkk因为4abab，所以144440kkkk，解得1k或4k【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示、向量垂直的坐标表示，属于基础题.18已知角的终边经过点12,5P，（1）求sin,cos,tan的值；第 10 页 共 15 页（2）求3sin2tan()cos()sin()的值【答案】（1）5sin13，12cos13，5tan12；（2）13165.【解析】（1）根据三角函数第二定义即可求值；（2）根据诱导公式化简可得3sincos2tan()cos()sinsin()sin，再把（1）中的三角函数值代入即得答案.【详解】（1）角的终边经过点12,5P，2255sin1312(5)，221212cos1312(5)，55tan1212（2）3sincos2tan()cos()(tan)(cos)sin()sin12cos512513sin5sin135131313165【点睛】本题考查三角函数第二定义和诱导公式，属于基础题.19已知函数()sin()0,0,|2f xAxA的部分图象如图所示第 11 页 共 15 页（1）求fx的解析式；（2）求fx在,5 上的最大值和最小值【答案】（1）1()3sin33f xx；（2）max3 3()2f x；min()3fx.【解析】（1）由最大值确定A，由周期确定，由点的坐标确定；（2）求出133x的范围，再根据正弦函数的性质得最值【详解】解：（1）由图可知3A，2(2)6T，则213T，将,32代入fx得3sin36，则2,62kkZ因为|2，所以3故1()3sin33f xx（2）由,5 x，得12,2333x当12333x，即x时，fx取得最大值，且max3 3()()2fxf；当13332x，即72x时，fx取得最小值，且min7()32fxf【点睛】本题考查由图象求三角函数的解析式，考查正弦函数的性质，掌握正弦函数性质是解题关键20已知02，4sin5，5sin()5.第 12 页 共 15 页（1）求sin2；（2）求cos().【答案】（1）24sin 225；（2）2 525.【解析】（1）先求出cos，再利用二倍角的正弦公式求sin2；（2）先求出7cos225，再利用cos()cos2()求解.【详解】解：（1）因为02a，4sin5，所以3cos5，从而24sin 22sincos25.（2）由题知，27cos212sin25.因为02，所以02，所以22 5cos()1sin()5，所以cos()cos2()cos2cos()sin2sin()72 52452 525525525.【点睛】本题主要考查同角的平方关系，考查二倍角的正弦公式的应用，考查差角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.21如图，在梯形ABCD中，E 为DC的中点，/,2AD BCBAD,3BDABCBD（1）求AE BD；（2）求 AC 与BD夹角的余弦值第 13 页 共 15 页【答案】（1）0；（2）714.【解析】（1）由BCD为等边三角形得出2BCAD，由向量的加法和减法运算得出13,22AEABAD BDADAB，再由向量的数量积公式得出AE BD的值；（2）设ADa，则3,2,7ABa BCBDa ACa，由数量积公式得出AC BD，进而得出AC与BD夹角的余弦值【详解】解：（1）因为/AD BC，,23BADBDABCBD所以BCD为等边三角形，2 323BCABAD又 E 为DC的中点所以1113()(),2222AEACADABBCADABAD BDADAB则221313()02222AE BDABADADABABAB ADAD（2）设ADa，则3,2,7ABa BCBDa ACa222(2)()2AC BDABADADABABAD ABADa设AC与BD的夹角为，则227cos142 7AC BDaaAC BD【点睛】本题主要考查了利用定义求向量的数量积以及夹角，属于中档题.22已知函数()2sin213f xx（1）求fx的单调递增区间；（2）当713,1212x时，关于x的方程22()(21)()0fxmf xmm恰有三个不同的实数根，求m的取值范围第 14 页 共 15 页【答案】（1）5,()1212kkkZ；（2）1,0.【解析】（1）本题可根据正弦函数的单调性得出222()232kxkkZ，然后通过计算即可得出结果；（2）首先可通过22()(21)()0f xmf xmm解得1fxm或fxm，然后绘出函数fx在区间713,1212上的图像，再然后将“有三个不同的实数根”转化为()1f xm有一个实数解且fxm有两个不同的实数解或1fxm有两个不同的实数解且fxm有一个实数解，最后分为1m或2m、1m、10m、02m四种情况进行讨论，即可得出结果.【详解】（1）令222()232kxkkZ，解得5()1212kxkkZ，故fx的单调递增区间为5,()1212kkkZ，（2）22()(21)()0f xmf xmm等价于()(1)()0f xmf xm，解得1fxm或fxm，因为713,1212x，所以5112,366x，()1,2f x，如图，绘出函数fx的图像，方程22()(21)()0fxmfxmm有三个不同的实数根等价于()1f xm有一个实数解且fxm有两个不同的实数解或1fxm有两个不同的实数解且fxm有一个实数解，当1m或2m时，fxm无解，不符合题意；第 15 页 共 15 页当1m时，则10m，fxm有一个实数解，1fxm有两个不同的实数解，符合题意；当10m时，则012m，fxm有两个不同的实数解，1fxm有一个实数解，符合题意；当02m时，则113m，fxm有一个实数解，1fxm至多有一个实数解，不符合题意，综上，m的取值范围为 1,0【点睛】本题考查三角函数单调区间的求解以及三角函数图像的综合应用，可借助正弦函数、余弦函数以及正切函数的单调性来求解三角函数的单调区间，考查数形结合思想以及分类讨论思想，考查推理能力，是难题.