(最新资料)河北省衡水中学2020届高三上学期四调考试试题数学(理)【含解析】.pdf

河北省衡水中学2020 届高三上学期四调考试试题数学（理）一、选择题（本大题共12 小题，每题5 分，共 60 分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合|10Ax x x，|lnBx yxa，若ABA，则实数a的取值范围为（）A.,0B.,0C.1,D.1,【答案】A【解析】【分析】分别求出集合A集合 B范围，根据ABA得到 A是 B子集，根据范围大小得到答案.【详解】|1001Ax x xx|lnBx yxaxaABAAB所以0a故答案选A【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.2.已知AB是抛物线22yx的一条焦点弦，4AB，则AB中点C的横坐标是 ()A.2 B.32C.12D.52【答案】B【解析】【分析】先设AB，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标.【详解】设1122A,B,x yxy，C的横坐标为0 x，则1202x xx，因为AB是抛物线22yx的一条焦点弦，所以121214ABxxpxx，所以123xx，故120322x xx.故选 B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3.如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（）A.33B.55C.306D.66【答案】D【解析】【分析】取BC的中点H，连接,?EH AH ED，则异面直线AE与BC所成角即为EAD，再利用余弦定理求cos EAD得解.【详解】取BC的中点H，连接,90,EH AHEHA设2,AB则1,5,BHHEAH所以6,AE连接,6,ED ED因为/,BCAD所以异面直线AE与BC所成角即为,EAD在EAD中6466cos,62 26EAD故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.已知、都为锐角，且217sin、2114cos，则（）A.3B.3C.6D.6【答案】C【解析】【分析】由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解.【详解】因为、都为锐角，且217sin、2114cos，所以2 7cos7，5 7sin14，由21212 7 5 7491sinsincoscossin714714982，且、都为锐角，所以6故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题.5.设aR，0,2 b.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3xaxb，则满足条件的有序实数对（a,b）的对数为（）.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333xxx，又4sin(3)sin(3)sin(3)333xxx，4(,)(3,)3a b，注意到0,2)b，只有这两组故选B【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.【此处有视频，请去附件查看】6.已知F是双曲线22:145xyC的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若=OPOF，则OPF的面积为（）A.32B.52C.72D.92【答案】B【解析】【分析】设00,P xy，因为=OPOF再结合双曲线方程可解出0y，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点00,P xy，则2200145xy又453OPOF，22009xy由得20259y，即053y，0115532232OPFSOFy，故选 B【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅7.已知等差数列na的公差不为零，其前n项和为nS，若3S，9S，27S成等比数列，则93SS（）A.3B.6C.9D.12【答案】C【解析】【分析】由题意，得29327SSS，利用等差数列的求和公式，列出方程求得12da，即可求解93SS的值，得到答案.【详解】由题意，知3S，9S，27S成等比数列，所以29327SSS，即219131279()3()27()222aaaaaa，整理得2521437821aaa，所以2111(4)()(13)adadad，解得12da，所以919135329()3()9223SaaaaaSa11113(4)2793adaada，故选 C.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.在ABC中，点P满足3BPPC，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若AMAB，0,0ANAC，则的最小值为（）A.212B.312C.32D.52【答案】B【解析】【分析】由题意得出1344APABAC，再由AMAB，ANAC，可得出1344APAMAN，由三点共线得出13144，将代数式与1344相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.【详解】如下图所示：3BPPC，即3APABACAP，1344APABAC，AMAB，0,0ANAC，1ABAM，1ACAN，1344APAMAN，M、P、N三点共线，则13144.1333312114444442，当且仅当3时，等号成立，因此，的最小值为312，故选 B.【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.9.如图，点P在正方体1111ABCDA B C D的面对角线1BC上运动，则下列四个结论：三棱锥1AD PC的体积不变；1/A P平面1ACD；1DPBC；平面1PDB平面1ACD其中正确的结论的个数是()A.1 个B.2个C.3 个D.4 个【答案】C【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【详解】对于，由题意知11/ADBC，从而1/BC平面1AD C，故BC1上任意一点到平面1AD C的距离均相等，所以以P为顶点，平面1AD C为底面，则三棱锥1AD PC的体积不变，故正确；对于，连接1A B，11AC，111/ACAD且相等，由于知：11/ADBC，所以11/BA C面1ACD，从而由线面平行的定义可得，故正确；对于，由于DC平面11BCB C，所以1DCBC，若1DPBC，则1BC平面DCP，1BCPC，则P为中点，与P为动点矛盾，故错误；对于，连接1DB，由1DBAC且11DBAD，可得1DB面1ACD，从而由面面垂直的判定知，故正确故选C【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想10.过三点(1,3)A，(4,2)B，(1,7)C的圆截直线20 xay所得弦长的最小值等于（）A.2 3B.4 3C.13D.2 13【答案】B【解析】【分析】因为圆心在弦AC的中垂线上，所以设圆心P坐标为（a，-2），再利用222rAPBP，求得1a，确定圆的方程.又直线过定点Q，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P为（a,-2），则r22222132422aa，解得 a=1，所以 P（1，-2）.又直线过定点Q（-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长22l=2 r-PQ=2 25-13=4 3直线20 xay被圆截得的弦长为4 3故选B11.如图，三棱柱111ABCA B C的高为 6，点 D，E分别在线段11A C，1B C上，111A C3DC，11B C4BE.点 A，D，E所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面ABC的面积为6，则较大部分的体积为()A.22 B.23 C.26 D.27【答案】B【解析】【分析】延长AD与CC1的交点为P，连接PE与C1B1的交点为N，延长PE交B1B为M，与面ABC交于点Q，得到截面为DNMA，由题意得A1D2DC1，由此能求出较大部分的体积【详解】如图，延长AD与1CC的交点为P，连接 PE与11C B的交点为N，延长 PE交1B B为 M，与面 ABC交于点 Q，得到截面为DNMA，111A C3DC，11B C4B E，M，N分别为11C B，1B B的中点，下部分体积11P AQCP DNCMABQAQCABQDNC11111hVVVVShhShS23323232下故选 B【点睛】本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间不规则几何体体积的求解方法的培养12.设22D22xxaeaa,其中2.71828e，则D的最小值为()A.2B.3C.21D.31【答案】C【解析】分析：由2()(2)xxaea表示两点(,)xC x e与点(,2)A aa的距离，而点A在抛物线24yx上，抛物线的焦点(1,0)F，准线为1x，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加上1，画出图象，当,F A C三点共线时，可求得最小值.详解：由题意0a，2()(2)2xDxaeaa，由2()(2)xxaea表示两点(,)xC x e与点(,2)A aa的距离，而点A在抛物线24yx上，抛物线的焦点(1,0)F，准线为1x，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加上1，由图象可知,F A C三点共线时，且QF为曲线xye的垂线，此时D取得最小值，即Q为切点，设(,)mm e，由011mmeem，可得21mme，设2mg mme，则g m递增，且(0)1g，可得切点(0,1)Q，即有1 12FQ=，则D的最小值为21，故选 C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：（本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分）13.已知函数2log,042,0 xx xfxx，则18ff_.【答案】-4【解析】【分析】先求18f，再求18ff.【详解】因为函数2log,042,0 xx xfxx，则211log388f1348fff.故答案为-4.【点睛】本题考查了分段函数求值，属于简单题型.14.已知1F，2F分别为椭圆22:1259xyC的左、右焦点，且点A是椭圆C上一点，点M的坐标为(2,0)，若AM为12F AF的角平分线，则2AF_.【答案】52【解析】【分析】由题意可知：A在y轴左侧，1122AFF MAFMF3，根据椭圆的性质可知：|AF1|+|AF2|2a10，即可求得|AF2|的值【详解】解：由题意可知：F1AMMAF2，设A在y轴左侧，1122AFF MAFMF3，由|AF1|+|AF2|2a10，A在y轴右侧时，|AF2|10542，故答案为：52【点睛】本题考查椭圆的几何性质及角平分线的性质，属于基本知识的考查15.如图（1），在等腰直角ABC中，斜边4AB，D为AB的中点，将ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥CA BD，若三棱锥CABD的外接球的半径为5，则A DB_.图（1）图（2）【答案】23【解析】【分析】根据题意，先找到球心的位置，再根据球的半径是5，以及已有的边的长度和角度关系，分析即可解决【详解】解：球是三棱锥CABD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图根据题意，CD平面ABD，取CD的中点E，AB的中点G，连接CG，DG，因为ADBD，CD平面ABD，所以A 和B关于平面CDG对称，在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平行线，交平面ABD于点F，则OF平面ABD，且OFDE1，因为AF在平面ABD内，所以OFAF，即三角形AOF为直角三角形，且斜边OA R5，AF2251ROF2，所以，BF2，所以四边形ADBF为菱形，又知ODR，三角形ODE为直角三角形，OE2251RDE2，三角形ADF为等边三角形，ADF3，故ADB23，故填：23【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键属于中档题16.设定义在D上的函数()yh x在点00(,()P xh x处的切线方程为:()lyg x，当0 xx时，若0()()0h xg xxx在D内恒成立，则称P点为函数()yh x的“类对称中心点”，则函数22()ln2xfxxe的“类对称中心点”的坐标是_.【答案】3(,)2e【解析】【分析】由求导公式求出函数f（x）的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出yg（x），设F（x）f（x）g（x），求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断出F（x）的单调性和最值，从而可判断出0fxg xxx的符号，再由“类对称中心点”的定义确定“类对称中心点”的坐标【详解】解：由题意得，f（x）21xex，f（x0）20022xlnxe（x0），即函数yf（x）的定义域D（0，+），所以函数yf（x）在点P（x0，f（x0）处的切线方程l方程为：y（20022xlnxe）（0201xex）（xx0），则g（x）（0201xex）（xx0）+（20022xlnxe），设F（x）f（x）g（x）222xelnx（0201xex）（xx0）+（20022xlnxe），则F（x0）0，所以F（x）fx）g（x）21xex（0201xex）02011xxexx0002200111xxxxxxxexxxex当 0 x0e时，F（x）在（x0，20ex）上递减，x（x0，20ex）时，F（x）F（x0）0，此时00fxg xxx，当x0e时，F（x）在（20ex，x0）上递减；x（20ex，x0）时，F（x）F（x0）0，此时00fxg xxx，yF（x）在（0，e）（e，+）上不存在“类对称点”若x0e，22211()xxexexeexe0，则F（x）在（0，+）上是增函数，当xx0时，F（x）F（x0）0，当xx0时，F（x）F（x0）0，故00fxg xxx，即此时点P是yf（x）的“类对称点”，综上可得，yF（x）存在“类对称点”，e是一个“类对称点”的横坐标，又f（e）22322elnee，所以函数f（x）的“类对称中心点”的坐标是32e，故答案为：32e，【点睛】本题考查利用导数求函数的单调增区间，求函数的最值问题、新定义的问题，考查了分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，以及化简变形能力，此题是难题三、解答题：（本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在平面四边形ABCD中，AC，1AB，3BC，2CDDA.（1）求C；（2）若E是BD的中点，求CE.【答案】（1）60C；（2）192CE【解析】【分析】（1）利用余弦定理进行化简，求出C；（2）利用向量法求出CE【详解】（1）由题设及余弦定理得：2222cosBDBCCDBC CD1312cosCC，BD2AB2+DA22AB?DAcosA5+4cosC，所以 cosC12，60C；（2）由1()2CECDCB，得2221(2)4CECDCBCD CB1119(49223)424所以192CE.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查了向量数量积运算，属于中档题18.如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P在平面 ABC内的正投影为点D，D在平面 PAB内的正投影为点E，连结 PE并延长交AB于点 G.（）证明：G是 AB的中点；（）在图中作出点E在平面 PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积【答案】（）见解析；（）作图见解析，体积为43.【解析】试题分析：证明.ABPG由PAPB可得G是AB的中点.（）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA，可得2,2 2.DEPE在 等 腰 直 角 三 角 形EFP中，可 得2.EFPF四 面 体PDEF的 体 积114222.323V试题解析：（）因为P在平面ABC内的正投影为D，所以.ABPD因为D在平面PAB内的正投影为E，所以.ABDE所以AB平面PED，故.ABPG又由已知可得，PAPB，从而G是AB的中点.（）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又EFPB,所以EFPAEFPC，,因此EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影.连结 CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心.由（）知，G是AB的中点，所以D在 CG 上，故2.3CDCG由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以DEPC，因此21,.33PEPG DEPC由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA，可得2,22.DEPE在等腰直角三角形EFP中，可得2.EFPF所以四面体PDEF的体积114222.323V【考点】线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.【此处有视频，请去附件查看】19.设椭圆22221(0)xyabab的右顶点为A，上顶点为B已知椭圆的离心率为53，13AB（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)lykx k与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点 M，且点 P，M均在第四象限 若BPM的面积是BPQ面积的 2 倍，求k的值【答案】（1）22194xy；(2)12【解析】分析：（I）由题意结合几何关系可求得3,2ab.则椭圆的方程为22194xy.（II）设点P的坐标为11,x y，点M的坐标为22,xy，由题意可得215xx.易知直线AB的方程为236xy，由方程组236,xyykx可得2632xk.由方程组221,94,xyykx可得12694xk.结合215xx，可得89k，或12k.经检验k的值为12.详解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得2259ca，又由222abc，可得23ab由22|13ABab,从而3,2ab所以，椭圆的方程为22194xy（II）设点P的坐标为11(,)x y，点M的坐标为22(,)xy，由题意，210 xx，点Q的坐标为11(,)xy由BPM的面积是BPQ面积的 2 倍，可得|=2|PMPQ，从而21112()xxxx，即215xx易知直线AB的方程为236xy，由方程组236,xyykx消去y，可得2632xk由方程组221,94,xyykx消去y，可得12694xk由215xx，可得2945(32)kk，两边平方，整理得2182580kk，解得89k，或12k当89k时，290 x，不合题意，舍去；当12k时，212x，1125x，符合题意所以，k的值为12点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题20.如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED平面ABCD，/EFAB，2AB，3DE，1BCEF，6AE，60BAD，G为BC的中点.（1）求证：平面BED平面AED；（2）求直线EF与平面BED所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）56【解析】【分析】（1）根据余弦定理求出BD3，继而得到BDAD，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）先判断出直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案【详解】（1）证明：在ABD中，1AD，2AB，60BAD，由余弦定理可得3BD，进而90ADB，即BDAD，又平面AED平面ABCD，BD平面ABCD，平面AED平面ABCDAD，BD平面AED，BD平面BED，平面BED平面AED.（2）/EFAB，直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，过点 A作AHDE于点 H，连接BH，又平面BED平面AEDED，由（1）知AH平面BED，直线AB与平面BED所成的角为ABH，在ADE，1AD，3DE，6AE，由余弦定理得2cos3ADE，5sin3ADE，53AHAD，在Rt AHB中，5sin6AHABHAB，直线EF与平面BED所成角的正弦值56.【点睛】本题考查了平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题21.设抛物线的方程为22ypx，其中常数0p，F是抛物线的焦点.（1）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线上的动点，求|PAPF的最大值；（2）设2p，1l，2l是两条互相垂直，且均经过点F直线，1l与抛物线交于点A，B，2l与抛物线交于点C，D，若点G满足4FGFAFBFCFD，求点G的轨迹方程.【答案】（1）最大值为2；（2）23yx【解析】【分析】（1）求得A的坐标，设出过A的直线为yk（x2p），ktan，联立抛物线方程，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；（2）求得F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），设l1：yk（x 1），联立抛物线方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件：斜率之积为1，结合向量的坐标表示，以及消元，可得所求轨迹方程【详解】（1）A是点(,0)2pF关于顶点O的对称点，可得(,0)2pA，设过A的直线为()2pyk x，tank，联立抛物线方程可得22222(2)04k pk xk pp x，由直线和抛物线相切可得2242(2)0k ppk p，解得1k，可取1k，可得切线的倾斜角为45，由抛物线的定义可得|11|sin(90)cosPAPF，而的最小值为45，|PAPF的最大值为2；（2）由24yx，可得(1,0)F，设11(,)A xy，22(,)B xy，33(,)C xy，44(,)D xy，()G x y,，设1:(1)lyk x，联立抛物线24yx，可得2222(24)0k xkxk，即有12242xxk，12124()2yyk xxkk，由两直线垂直的条件，可将k换为1k，可得23424xxk，344yyk，点G满足4FGFAFBFCFD，可得123412344(1,)(4,)xyxxxxyyyy，即为2123424444xxxxxkk，1234444yyyyykk，可得222211()23ykkxkk，则G的轨迹方程为23yx.【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用判别式和韦达定理，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，属于中档题22.设,a bR，|1a.已知函数32()63(4)fxxxa axb，()()xg xe fx.（）求()f x 的单调区间；（）已知函数()yg x和xye的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：()f x 在0 xx处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式()exg x在区间001,1xx上恒成立，求b的取值范围.【答案】（I）单调递增区间为(,)a，(4,)a，单调递减区间为(,4)aa.（II）（i）见解析.（ii）7,1.【解析】试题分析：求导数后因式分解根据1a，得出4aa，根据导数的符号判断函数的单调性，给出单调区间，对()g x求导，根据函数()yg x和xye的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，解得0()0fx，根据()f x 的单调性可知()()1ffxa在1,1aa上恒成立，关于x的不等式()exg x在区间001,1xx上恒成立，得出32()63(4)1f aaaa aab，得32261baa，11a，求出()f a的范围，得出b的范围.试题解析：（I）由32634fxxxa axb，可得23123434fxxxa axaxa，令0fx，解得xa，或4xa.由1a，得4aa.当x变化时，fx，fx的变化情况如下表：x,a,4aa4,afx-fx增减增所以，fx的单调递增区间为,a，4,a，单调递减区间为,4aa.（II）（i）因为xgxefxfx，由题意知0000 xxg xegxe，所以0000000 xxxxfxeeefxfxe，解得0010fxfx.所以，fx在0 xx处的导数等于0.（ii）因为xg xe，001,1xxx，由0 xe，可得1fx.又因为01fx，00fx，故0 x为fx的极大值点，由（I）知0 xa.另一方面，由于1a，故14aa，由（I）知fx在1,aa内单调递增，在,1a a内单调递减，故当0 xa时，1fxf a在1,1aa上恒成立，从而xg xe在001,1xx上恒成立.由326341f aaaa aab，得32261baa，11a.令32261t xxx，1,1x，所以2612txxx，令0tx，解得2x（舍去），或0 x.因为17t，13t，01t，故t x的值域为7,1.所以，b的取值范围是7,1.【考点】导数的应用【名师点睛】利用导数工具研究函数是历年高考题中的难点问题，利用导数判断函数的单调性，求函数的极值或最值，利用导数的几何意义研究曲线的切线方程以及利用导数研究函数的零点和值域也是常见考法，本题把恒成立问题转化为函数值域问题很巧妙，问题转化为借助导数研究函数在某区间上的取值范围去解决，方法灵活思维巧妙，匠心独运.